Mecânica quântica I–II
Desenvolva estados em espaço de Hilbert, operadores, dinâmica, spin, métodos de aproximação e partículas idênticas.
Vá da mecânica ondulatória à estrutura formal necessária para campos quânticos, estados de vácuo, física de Casimir, matéria condensada e leitura crítica de afirmações sobre tecnologia quântica.
Antes de começar
- • Mecânica quântica do Nível 2
- • Cálculo e equações diferenciais
- • Álgebra linear e números complexos
Ao final, você consegue
- • Usar estados ket, produtos internos e operadores hermitianos.
- • Resolver a dinâmica de Schrödinger e os estados estacionários.
- • Calcular probabilidades de spin e de estados compostos.
- • Aplicar métodos perturbativos e variacionais com as aproximações declaradas.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Lição 1 de 3
Espaço de Hilbert, estados e operadores
Como a álgebra linear codifica preparação, evolução e medição?
Um estado puro é um vetor normalizado a menos de uma fase global. Observáveis são operadores hermitianos; os autovalores são os resultados possíveis e as projeções fixam as probabilidades.
Operadores que não comutam não podem compartilhar uma base completa bem definida, o que produz relações de incerteza estruturais.
Exemplo resolvido
Para o estado normalizado |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2, encontre as probabilidades na base {|0⟩,|1⟩}.
- 1. Projete sobre |0⟩ e |1⟩.
- 2. As amplitudes são 1/√2 e i/√2.
- 3. Eleve os módulos ao quadrado.
Cada resultado tem probabilidade 1/2; a fase relativa importa em outras bases.
Experimente
Rotação de base
Materiais: Caderno de código com vetores complexos de duas componentes.
- 1. Defina a base computacional e uma base girada.
- 2. Projete um mesmo estado em cada uma.
- 3. Verifique a normalização das probabilidades.
- 4. Varie a fase relativa.
Repare: As probabilidades dependem da base de medição, enquanto o vetor de estado se transforma de forma consistente.
Verifique o que entendeu: Por que os operadores de observáveis precisam ser hermitianos?
Resposta: Eles têm autovalores reais e estrutura espectral ortogonal, adequada a resultados de medição.
A hermiticidade sustenta valores esperados reais e decomposição unitária de base.
Lição 2 de 3
Dinâmica de Schrödinger e estados ligados
Como uma hamiltoniana e as condições de contorno determinam as energias permitidas?
A equação de Schrödinger dependente do tempo gera evolução unitária. Separar o tempo para uma hamiltoniana independente do tempo leva a um problema de autovalores.
As condições de contorno e a normalizabilidade quantizam as energias dos estados ligados. O tunelamento decorre de a função de onda ter amplitude não nula em regiões classicamente proibidas.
Exemplo resolvido
Encontre as energias do poço infinito de largura L.
- 1. Dentro do poço, resolva ψ″+k²ψ=0.
- 2. Imponha ψ(0)=ψ(L)=0.
- 3. Obtenha k=nπ/L.
- 4. Use E=ℏ²k²/(2m).
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…
Experimente
Busca de autovalores no poço finito
Materiais: Caderno numérico.
- 1. Defina um poço quadrado finito.
- 2. Integre para energias de teste.
- 3. Detecte o descasamento nas fronteiras.
- 4. Encontre as raízes das energias permitidas e trace os estados.
Repare: Barreiras finitas deslocam as energias e produzem caudas que decaem exponencialmente.
Verifique o que entendeu: Por que n=0 não aparece no poço infinito?
Resposta: Ele dá a função de onda nula sob as duas condições de contorno, o que não pode ser normalizado como estado físico.
O primeiro modo estacionário não trivial é n=1.
Lição 3 de 3
Spin, sistemas compostos e métodos de aproximação
Como graus de liberdade intrinsecamente quânticos e aproximações ampliam os modelos solúveis?
Estados de spin 1/2 vivem num espaço complexo bidimensional e se transformam sob rotações de modo diferente de setas clássicas. Sistemas compostos usam produtos tensoriais e podem estar emaranhados.
A teoria de perturbação e os métodos variacionais estimam sistemas próximos de casos exatamente solúveis ou além deles, com limites explícitos de convergência e de estados de teste.
Exemplo resolvido
Um estado de spin para cima em z é medido ao longo de x. Que probabilidades resultam?
- 1. Escreva |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
- 2. Projete sobre os autoestados de x.
- 3. Eleve as amplitudes ao quadrado.
Para cima em x e para baixo em x ocorrem cada um com probabilidade 1/2.
Experimente
Estimativa variacional do estado fundamental
Materiais: Caderno de código e uma função de onda de teste com parâmetro.
- 1. Normalize o estado de teste.
- 2. Calcule ⟨H⟩ em função do parâmetro.
- 3. Minimize numericamente.
- 4. Compare com uma referência conhecida.
Repare: O mínimo variacional é um limite superior para a energia fundamental verdadeira dentro da hamiltoniana modelada.
Verifique o que entendeu: O emaranhamento permite enviar mensagens controláveis mais rápido que a luz?
Resposta: Não.
Os resultados locais continuam aleatórios; as correlações exigem comparação clássica e respeitam a ausência de sinalização.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩
A hamiltoniana gera a evolução unitária do estado quântico.
⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩
O valor esperado faz a média dos resultados de um observável num estado.
ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|
Observáveis que não comutam impõem um limite de incerteza dependente do estado.
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Normalize ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ em x≥0 para a>0.
Ver a dica
Imponha ∫|ψ|²dx=1.
Ver a solução
A=√(2a), escolhendo fase real positiva.
2. A partir de [x,p]=iℏ, recupere o limite de incerteza posição-momento.
Ver a dica
Use a desigualdade geral do comutador.
Ver a solução
ΔxΔp≥ℏ/2.
3. Uma perturbação λx desloca em primeira ordem um estado fundamental de paridade par em quanto?
Ver a dica
Avalie λ⟨0|x|0⟩ e use a paridade.
Ver a solução
Deslocamento nulo em primeira ordem para um estado par num sistema não perturbado simétrico por paridade.
Estúdio de derivação
Construa o resultado, linha por linha.
Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.
Ponto de partida
Espectro do poço quadrado infinito
−(ℏ²/2m)ψ″=Eψ on 0<x<L
- 1. Faça k²=2mE/ℏ².
- 2. Resolva ψ=A sin kx+B cos kx.
- 3. Aplique ψ(0)=0 para obter B=0.
- 4. Aplique ψ(L)=0 para exigir kL=nπ.
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)
A quantização da energia vem da dinâmica ondulatória mais as condições de contorno.
Ponto de partida
Energia de perturbação em primeira ordem
H=H₀+λV and |n⟩ expansion in λ
- 1. Insira a série em H|ψ⟩=E|ψ⟩.
- 2. Reúna os termos de primeira ordem.
- 3. Projete com ⟨n⁰|.
- 4. Use a ortonormalidade e a relação de autovalores de H₀.
Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩
O deslocamento de primeira ordem é o valor esperado da perturbação no estado não perturbado.
Caderno computacional
Transforme o modelo em um experimento.
Evolução de um pacote de onda
Como a dispersão e o espalhamento por uma barreira remodelam um pacote gaussiano?
Entradas
- • Centro, largura e momento médio do pacote
- • Grade e passo de tempo
- • Potencial livre ou com barreira
Algoritmo
- 1. Construa e normalize ψ.
- 2. Propague com um método estável de passo dividido ou de Crank–Nicolson.
- 3. Acompanhe a norma e a energia.
- 4. Meça reflexão, transmissão e alargamento.
Evidência a produzir
- • Gráfico da densidade de probabilidade no espaço e no tempo
- • Diagnósticos de conservação de norma e de energia
- • Reflexão e transmissão versus energia
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Capítulo 2: O que é o vácuo?
Estados fundamentais de osciladores e a transição de partículas para modos de campo.
Aula 7: Teoria quântica de campos e o vácuo
A extensão em segunda quantização da matemática do oscilador.
Aula 8: O efeito Casimir
Condições de contorno, resposta dos materiais e medição de precisão.