The Spacetime Metric
Nível 3 · Núcleo da graduaçãoPrimeiro e segundo ano de graduaçãoCerca de 16 horas

Mecânica estatística

Conecte estados microscópicos a temperatura, entropia, flutuações, fases e estatísticas quânticas.

Modelo interativo

Explore antes de calcular

Uma base de modos de campo dentro de uma cavidade idealizada, com uma distribuição difusa de estados em vez de espuma de partículas.
Flutuações estatísticas exigem um ensemble, dinâmica e uma definição de medição; um estado de campo não é turbulência visual nem uma fonte de energia por si só.

Laboratório interativo

Conjunto canônico de dois níveis

Alterar uma lacuna de nível, temperatura e multiplicidade de estados excitados. Pesos de Boltzmann transformam possibilidades microscópicas em populações mensuráveis, energia, entropia e capacidade calorífica.

Campotodos os microestados excitados

População animada: 27.55%

Energia média: 6.89 meV

Entropia: 0.589 kB

Capacidade calorífica: 0.187 kB

Essas são probabilidades de equilíbrio para um reservatório declarado. Flutuações populacionais não fornecem, por si só, trabalho cíclico sustentado; um gradiente, impulso, recurso de medição ou outra alteração fora do equilíbrio deve entrar no livro-registro.

Nível 3 · Núcleo da graduação · Kit didático

Registre a investigação. Ensine o raciocínio.

Um registro de laboratório para estudantes e um guia específico para docentes transformam o modelo interativo em uma investigação repetível.

Registro do estudante

Mapa populacional e de capacidade térmica em conjunto em dois níveis

Como a diferença de temperatura, energia e degenerescência transformam possibilidades microscópicas em médias macroscópicas?

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Guia do docente

Ensine a investigação, não a interface

Os aprendizes derivam o comportamento qualitativo do conjunto a partir dos pesos de Boltzmann e distinguem a multiplicidade de microestados apenas da energia.

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Lição 1 de 3

Microestados, macroestados e ensembles

Como muitas configurações microscópicas podem compartilhar uma mesma temperatura e pressão medidas?

Um macroestado especifica variáveis grosseiras, enquanto muitos microestados as realizam. A entropia de Boltzmann S=kB lnΩ conta os microestados compatíveis.

Um ensemble é um modelo de probabilidade sobre microestados dadas certas restrições. Escolher o ensemble significa declarar o que pode trocar energia, partículas ou volume.

microestado · macroestado · ensemble · entropia de Boltzmann

Exemplo resolvido

Um macroestado tem quatro vezes mais microestados que outro. Encontre a diferença de entropia.

  1. 1. Use ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Substitua a razão 4.
  3. 3. Mantenha a forma logarítmica ou avalie o valor.

ΔS=kB ln4.

Experimente

Contagem de multiplicidade

Materiais: Moedas ou uma simulação de estados binários.

  1. 1. Enumere as contagens de caras para N pequeno.
  2. 2. Calcule as multiplicidades binomiais.
  3. 3. Trace a multiplicidade versus o macroestado.
  4. 4. Aumente N.

Repare: Macroestados parecidos com o de equilíbrio dominam porque muitíssimos mais microestados os realizam.

Verifique o que entendeu: Entropia alta significa que cada microestado é desordenado num sentido visual subjetivo?

Resposta: Não.

A entropia é definida a partir de probabilidades de estado ou de multiplicidades sob restrições macroscópicas especificadas.

Lição 2 de 3

Funções de partição e derivadas termodinâmicas

Como uma única soma ponderada pode gerar energia, entropia, capacidade térmica e populações?

A função de partição canônica Z=Σe⁻ᵝᴱ pondera os autoestados de energia em contato com um reservatório térmico. O logaritmo dela gera as grandezas termodinâmicas.

A energia livre F=−kBT lnZ equilibra energia e entropia e determina o equilíbrio a temperatura e volume fixos.

função de partição · fator de Boltzmann · energia livre · capacidade térmica

Exemplo resolvido

Para um sistema de dois níveis com energias 0 e ε, encontre Z.

  1. 1. Pondere o estado fundamental por 1.
  2. 2. Pondere o estado excitado por e⁻ᵝε.
  3. 3. Some os pesos dos estados permitidos.

Z=1+e⁻ᵝε e a população excitada é e⁻ᵝε/Z.

Experimente

Capacidade térmica de dois níveis

Materiais: Caderno de código e uma faixa de temperaturas.

  1. 1. Calcule a população excitada em função de T.
  2. 2. Calcule a energia média.
  3. 3. Derive numericamente para obter a capacidade térmica.
  4. 4. Localize o máximo dela.

Repare: A capacidade térmica tem um pico onde a energia térmica compete com o intervalo entre níveis.

Verifique o que entendeu: Por que Z em geral não é ela mesma uma probabilidade?

Resposta: Ela é a soma de normalização dos pesos de Boltzmann.

As probabilidades individuais são e⁻ᵝᴱ/Z.

Lição 3 de 3

Flutuações, fases e estatísticas quânticas

Quando flutuações coletivas revelam uma transição em vez de um novo reservatório de energia?

A variância de energia canônica está ligada à capacidade térmica. As flutuações relativas em geral encolhem com o tamanho do sistema, mas crescem perto de alguns pontos críticos.

Bósons e férmions obedecem a estatísticas de ocupação diferentes. Gradientes fora do equilíbrio podem gerar trabalho; no equilíbrio, o balanço detalhado proíbe a retificação passiva em saída cíclica sustentada.

flutuação–dissipação · transição de fase · Bose–Einstein · Fermi–Dirac

Exemplo resolvido

Se N contribuições independentes flutuam com desvio padrão proporcional a √N, como escala a flutuação relativa?

  1. 1. A média escala como N.
  2. 2. O desvio padrão escala como √N.
  3. 3. Divida √N/N.

As flutuações relativas escalam como 1/√N e ficam pequenas em escala macroscópica.

Experimente

Exploração de fases no estilo Ising

Materiais: Uma simulação simples de rede.

  1. 1. Rode em temperatura alta e em temperatura baixa.
  2. 2. Acompanhe a magnetização e a energia.
  3. 3. Varra a região de transição.
  4. 4. Trace as flutuações e faça verificações de histerese.

Repare: Ordem coletiva e flutuações grandes emergem de interações locais sem implicar energia livre além do banho modelado.

Verifique o que entendeu: O ruído térmico de equilíbrio pode ser retificado passivamente para sempre por uma catraca isotérmica?

Resposta: Não.

A própria catraca flutua; o balanço detalhado cancela o trabalho dirigido sustentado a uma única temperatura.

Da fórmula ao significado

Leia a equação em linguagem comum.

  1. S=k_B lnΩ

    A entropia mede a multiplicidade para microestados restritos igualmente prováveis.

  2. Z=Σ_i e^(−βE_i)

    A função de partição normaliza os pesos canônicos dos estados.

  3. F=−k_BT lnZ

    A energia livre de Helmholtz gera a termodinâmica de equilíbrio a temperatura fixa.

Prática independente

Lista de problemas

Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.

  1. 1. Encontre a razão de probabilidades p₂/p₁ para estados separados por ΔE à temperatura T.

    Ver a dica

    Divida os fatores de Boltzmann deles.

    Ver a solução

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Para Z=1+e⁻ᵝε, encontre a energia média.

    Ver a dica

    Só o estado excitado contribui com ε.

    Ver a solução

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. A multiplicidade de um sistema dobra. Encontre ΔS.

    Ver a dica

    Use a razão de multiplicidades.

    Ver a solução

    ΔS=kB ln2.

Estúdio de derivação

Construa o resultado, linha por linha.

Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.

  1. Ponto de partida

    A distribuição canônica

    Sistema pequeno e reservatório grande formando um conjunto isolado com energia total fixa

    1. 1. A probabilidade de o sistema ter energia E é proporcional à multiplicidade do reservatório ΩR(Etot−E).
    2. 2. Expanda a entropia do reservatório SR em torno de Etot.
    3. 3. Use ∂S/∂E=1/T.
    4. 4. Exponencie a variação de entropia de primeira ordem e normalize.

    p_i=e^(−βE_i)/Z

    Os pesos de Boltzmann surgem da contagem dos estados compatíveis com o reservatório.

  2. Ponto de partida

    Variância de energia e capacidade térmica

    ⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

    1. 1. Derive ⟨E⟩ em relação a β.
    2. 2. Reconheça o segundo momento menos a média ao quadrado.
    3. 3. Use dβ/dT=−1/(kBT²).
    4. 4. Relacione d⟨E⟩/dT à capacidade térmica.

    Var(E)=kBT²C_V

    As flutuações de energia no equilíbrio estão quantitativamente ligadas à resposta.

Caderno computacional

Transforme o modelo em um experimento.

  1. Ensembles de dois níveis e de oscilador

    Como espectros discretos moldam energia, entropia e capacidade térmica ao longo da temperatura?

    Entradas

    • • Intervalo de energia ou frequência do oscilador
    • • Grade de temperaturas
    • • Corte no número de estados do oscilador

    Algoritmo

    1. 1. Monte os pesos de Boltzmann.
    2. 2. Normalize as probabilidades.
    3. 3. Calcule E, F, S e C.
    4. 4. Teste a convergência com o corte.

    Evidência a produzir

    • • Curvas de população e curvas termodinâmicas
    • • Comparação dos picos de capacidade térmica
    • • Relatório de convergência numérica

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