The Spacetime Metric
Nível 3 · Núcleo da graduaçãoPrimeiro e segundo ano de graduaçãoCerca de 16 horas

Mecânica estatística

Conecte estados microscópicos a temperatura, entropia, flutuações, fases e estatísticas quânticas.

Desenvolva ensembles e funções de partição, deduza grandezas termodinâmicas e aprenda quando flutuações ou recursos fora do equilíbrio podem — e não podem — sustentar trabalho útil.

Established foundations

Antes de começar

  • • Cálculo e probabilidade
  • • Termodinâmica do Nível 2
  • • Mecânica quântica introdutória

Ao final, você consegue

  • • Usar os ensembles microcanônico, canônico e grande canônico.
  • • Deduzir observáveis a partir de funções de partição.
  • • Calcular escalas de flutuação e probabilidades de fase.
  • • Separar ruído de equilíbrio de recursos de trabalho fora do equilíbrio.

Modelo interativo

Explore antes de calcular

Um fundo flutuante parecido com um campo, representado como muitos modos locais.
Flutuações estatísticas exigem um ensemble, uma dinâmica e uma definição de medição; turbulência visual sozinha não é fonte de energia.

O laboratório interativo, o kit de ensino e as ferramentas de avaliação deste curso estão em inglês →

Lição 1 de 3

Microestados, macroestados e ensembles

Como muitas configurações microscópicas podem compartilhar uma mesma temperatura e pressão medidas?

Um macroestado especifica variáveis grosseiras, enquanto muitos microestados as realizam. A entropia de Boltzmann S=kB lnΩ conta os microestados compatíveis.

Um ensemble é um modelo de probabilidade sobre microestados dadas certas restrições. Escolher o ensemble significa declarar o que pode trocar energia, partículas ou volume.

microestadomacroestadoensembleentropia de Boltzmann

Exemplo resolvido

Um macroestado tem quatro vezes mais microestados que outro. Encontre a diferença de entropia.

  1. 1. Use ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Substitua a razão 4.
  3. 3. Mantenha a forma logarítmica ou avalie o valor.

ΔS=kB ln4.

Experimente

Contagem de multiplicidade

Materiais: Moedas ou uma simulação de estados binários.

  1. 1. Enumere as contagens de caras para N pequeno.
  2. 2. Calcule as multiplicidades binomiais.
  3. 3. Trace a multiplicidade versus o macroestado.
  4. 4. Aumente N.

Repare: Macroestados parecidos com o de equilíbrio dominam porque muitíssimos mais microestados os realizam.

Verifique o que entendeu: Entropia alta significa que cada microestado é desordenado num sentido visual subjetivo?

Resposta: Não.

A entropia é definida a partir de probabilidades de estado ou de multiplicidades sob restrições macroscópicas especificadas.

Lição 2 de 3

Funções de partição e derivadas termodinâmicas

Como uma única soma ponderada pode gerar energia, entropia, capacidade térmica e populações?

A função de partição canônica Z=Σe⁻ᵝᴱ pondera os autoestados de energia em contato com um reservatório térmico. O logaritmo dela gera as grandezas termodinâmicas.

A energia livre F=−kBT lnZ equilibra energia e entropia e determina o equilíbrio a temperatura e volume fixos.

função de partiçãofator de Boltzmannenergia livrecapacidade térmica

Exemplo resolvido

Para um sistema de dois níveis com energias 0 e ε, encontre Z.

  1. 1. Pondere o estado fundamental por 1.
  2. 2. Pondere o estado excitado por e⁻ᵝε.
  3. 3. Some os pesos dos estados permitidos.

Z=1+e⁻ᵝε e a população excitada é e⁻ᵝε/Z.

Experimente

Capacidade térmica de dois níveis

Materiais: Caderno de código e uma faixa de temperaturas.

  1. 1. Calcule a população excitada em função de T.
  2. 2. Calcule a energia média.
  3. 3. Derive numericamente para obter a capacidade térmica.
  4. 4. Localize o máximo dela.

Repare: A capacidade térmica tem um pico onde a energia térmica compete com o intervalo entre níveis.

Verifique o que entendeu: Por que Z em geral não é ela mesma uma probabilidade?

Resposta: Ela é a soma de normalização dos pesos de Boltzmann.

As probabilidades individuais são e⁻ᵝᴱ/Z.

Lição 3 de 3

Flutuações, fases e estatísticas quânticas

Quando flutuações coletivas revelam uma transição em vez de um novo reservatório de energia?

A variância de energia canônica está ligada à capacidade térmica. As flutuações relativas em geral encolhem com o tamanho do sistema, mas crescem perto de alguns pontos críticos.

Bósons e férmions obedecem a estatísticas de ocupação diferentes. Gradientes fora do equilíbrio podem gerar trabalho; no equilíbrio, o balanço detalhado proíbe a retificação passiva em saída cíclica sustentada.

flutuação–dissipaçãotransição de faseBose–EinsteinFermi–Dirac

Exemplo resolvido

Se N contribuições independentes flutuam com desvio padrão proporcional a √N, como escala a flutuação relativa?

  1. 1. A média escala como N.
  2. 2. O desvio padrão escala como √N.
  3. 3. Divida √N/N.

As flutuações relativas escalam como 1/√N e ficam pequenas em escala macroscópica.

Experimente

Exploração de fases no estilo Ising

Materiais: Uma simulação simples de rede.

  1. 1. Rode em temperatura alta e em temperatura baixa.
  2. 2. Acompanhe a magnetização e a energia.
  3. 3. Varra a região de transição.
  4. 4. Trace as flutuações e faça verificações de histerese.

Repare: Ordem coletiva e flutuações grandes emergem de interações locais sem implicar energia livre além do banho modelado.

Verifique o que entendeu: O ruído térmico de equilíbrio pode ser retificado passivamente para sempre por uma catraca isotérmica?

Resposta: Não.

A própria catraca flutua; o balanço detalhado cancela o trabalho dirigido sustentado a uma única temperatura.

Da fórmula ao significado

Leia a equação em linguagem comum.

S=k_B lnΩ

A entropia mede a multiplicidade para microestados restritos igualmente prováveis.

Z=Σ_i e^(−βE_i)

A função de partição normaliza os pesos canônicos dos estados.

F=−k_BT lnZ

A energia livre de Helmholtz gera a termodinâmica de equilíbrio a temperatura fixa.

Prática independente

Lista de problemas

Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.

  1. 1. Encontre a razão de probabilidades p₂/p₁ para estados separados por ΔE à temperatura T.

    Ver a dica

    Divida os fatores de Boltzmann deles.

    Ver a solução

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Para Z=1+e⁻ᵝε, encontre a energia média.

    Ver a dica

    Só o estado excitado contribui com ε.

    Ver a solução

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. A multiplicidade de um sistema dobra. Encontre ΔS.

    Ver a dica

    Use a razão de multiplicidades.

    Ver a solução

    ΔS=kB ln2.

Estúdio de derivação

Construa o resultado, linha por linha.

Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.

Ponto de partida

A distribuição canônica

Small system plus large isolated reservoir with fixed total energy

  1. 1. A probabilidade de o sistema ter energia E é proporcional à multiplicidade do reservatório ΩR(Etot−E).
  2. 2. Expanda a entropia do reservatório SR em torno de Etot.
  3. 3. Use ∂S/∂E=1/T.
  4. 4. Exponencie a variação de entropia de primeira ordem e normalize.

p_i=e^(−βE_i)/Z

Os pesos de Boltzmann surgem da contagem dos estados compatíveis com o reservatório.

Ponto de partida

Variância de energia e capacidade térmica

⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

  1. 1. Derive ⟨E⟩ em relação a β.
  2. 2. Reconheça o segundo momento menos a média ao quadrado.
  3. 3. Use dβ/dT=−1/(kBT²).
  4. 4. Relacione d⟨E⟩/dT à capacidade térmica.

Var(E)=kBT²C_V

As flutuações de energia no equilíbrio estão quantitativamente ligadas à resposta.

Caderno computacional

Transforme o modelo em um experimento.

Ensembles de dois níveis e de oscilador

Como espectros discretos moldam energia, entropia e capacidade térmica ao longo da temperatura?

Entradas

  • • Intervalo de energia ou frequência do oscilador
  • • Grade de temperaturas
  • • Corte no número de estados do oscilador

Algoritmo

  1. 1. Monte os pesos de Boltzmann.
  2. 2. Normalize as probabilidades.
  3. 3. Calcule E, F, S e C.
  4. 4. Teste a convergência com o corte.

Evidência a produzir

  • • Curvas de população e curvas termodinâmicas
  • • Comparação dos picos de capacidade térmica
  • • Relatório de convergência numérica

Siga para a evidência

Próxima leitura, com as fontes

Capítulo 6: Extrair energia do vácuo

Limites termodinâmicos e de informação para protocolos de energia do vácuo.

Aula 8: O efeito Casimir

Fenômenos de fronteira em equilíbrio e acionados, separados experimentalmente.

Capítulo 5: A teoria do vácuo superfluido

Analogias de matéria condensada, modos coletivos e seus limites.