The Spacetime Metric
Nivel 3 · Núcleo universitarioPrimer y segundo año de universidadUnas 16 horas

Mecánica estadística

Conecta los estados microscópicos con la temperatura, la entropía, las fluctuaciones, las fases y la estadística cuántica.

Modelo interactivo

Explora antes de calcular

Una base de modos de campo dentro de una cavidad idealizada, con una distribución difusa de estados en lugar de espuma de partículas.
Las fluctuaciones estadísticas requieren un conjunto, dinámica y una definición de medición; un estado de campo no es turbulencia visual ni una fuente de energía por sí solo.

Laboratorio interactivo

Conjunto canónico de dos niveles

Cambiar una brecha de nivel, temperatura y multiplicidad de estados excitados. Los pesos de Boltzmann convierten posibilidades microscópicas en poblaciones, energía, entropía y capacidad calorífica medibles.

Campotodos los microestados excitados

Población entusiasmada: 27.55%

Energía media: 6.89 meV

Entropía: 0.589 kB

Capacidad calorífica: 0.187 kB

Estas son probabilidades de equilibrio para un reservorio declarado. Las fluctuaciones poblacionales no proporcionan por sí solas un trabajo cíclico sostenido; debe entrar en el libro mayor un gradiente, impulso, recurso de medición u otro cambio fuera de equilibrio.

Nivel 3 · Núcleo universitario · Kit docente

Registra la investigación. Enseña el razonamiento.

Un registro de laboratorio para estudiantes y una guía específica para docentes convierten el modelo interactivo en una investigación repetible.

Registro del estudiante

Mapa de población y capacidad calorífica en conjunto de dos niveles

¿Cómo convierten la temperatura, la brecha de energía y la degeneración las posibilidades microscópicas en promedios macroscópicos?

Descargar Markdown del estudiante

Guía del docente

Enseña la investigación, no la interfaz

Los aprendices derivan el comportamiento cualitativo de conjuntos a partir de pesos de Boltzmann y distinguen la multiplicidad de microestados de la energía únicamente.

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Lección 1 de 3

Microestados, macroestados y colectivos

¿Cómo pueden muchas configuraciones microscópicas compartir una misma temperatura y presión medidas?

Un macroestado especifica variables gruesas mientras muchos microestados las realizan. La entropía de Boltzmann S=kB lnΩ cuenta los microestados compatibles.

Un colectivo es un modelo de probabilidad sobre los microestados dadas unas restricciones. Elegir el colectivo significa declarar qué puede intercambiar energía, partículas o volumen.

microestado · macroestado · colectivo · entropía de Boltzmann

Ejemplo resuelto

Un macroestado tiene cuatro veces más microestados que otro. Halla la diferencia de entropía.

  1. 1. Usa ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Sustituye la razón 4.
  3. 3. Deja la forma logarítmica o evalúala.

ΔS=kB ln4.

Pruébalo

Contar multiplicidades

Materiales: Monedas o una simulación de estados binarios.

  1. 1. Enumera el número de caras para N pequeño.
  2. 2. Calcula las multiplicidades binomiales.
  3. 3. Representa la multiplicidad frente al macroestado.
  4. 4. Aumenta N.

Fíjate: Los macroestados parecidos al de equilibrio dominan porque los realizan muchísimos más microestados.

Comprueba lo que entendiste: ¿Una entropía alta significa que cada microestado está desordenado en un sentido visual y subjetivo?

Respuesta: No.

La entropía se define a partir de las probabilidades de los estados o de las multiplicidades bajo unas restricciones macroscópicas especificadas.

Lección 2 de 3

Funciones de partición y derivadas termodinámicas

¿Cómo puede una sola suma ponderada generar la energía, la entropía, la capacidad calorífica y las poblaciones?

La función de partición canónica Z=Σe⁻ᵝᴱ pondera los autoestados de energía en contacto con un foco térmico. Su logaritmo genera las cantidades termodinámicas.

La energía libre F=−kBT lnZ equilibra energía y entropía y determina el equilibrio a temperatura y volumen fijos.

función de partición · factor de Boltzmann · energía libre · capacidad calorífica

Ejemplo resuelto

Para un sistema de dos niveles con energías 0 y ε, halla Z.

  1. 1. Pondera el estado fundamental con 1.
  2. 2. Pondera el estado excitado con e⁻ᵝε.
  3. 3. Suma los pesos de los estados permitidos.

Z=1+e⁻ᵝε y la población excitada es e⁻ᵝε/Z.

Pruébalo

Capacidad calorífica de dos niveles

Materiales: Un cuaderno y un rango de temperaturas.

  1. 1. Calcula la población excitada frente a T.
  2. 2. Calcula la energía media.
  3. 3. Deriva de forma numérica para obtener la capacidad calorífica.
  4. 4. Localiza su máximo.

Fíjate: La capacidad calorífica alcanza su pico donde la energía térmica compite con la separación entre niveles.

Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué Z no suele ser una probabilidad en sí misma?

Respuesta: Es la suma de normalización de los pesos de Boltzmann.

Las probabilidades individuales son e⁻ᵝᴱ/Z.

Lección 3 de 3

Fluctuaciones, fases y estadística cuántica

¿Cuándo revelan las fluctuaciones colectivas una transición en lugar de un depósito nuevo de energía?

La varianza canónica de la energía está ligada a la capacidad calorífica. Las fluctuaciones relativas suelen encogerse con el tamaño del sistema, pero crecen cerca de algunos puntos críticos.

Los bosones y los fermiones obedecen estadísticas de ocupación distintas. Los gradientes fuera del equilibrio pueden mover trabajo; en el equilibrio, el balance detallado prohíbe una rectificación pasiva convertida en salida cíclica sostenida.

fluctuación–disipación · transición de fase · Bose–Einstein · Fermi–Dirac

Ejemplo resuelto

Si N contribuciones independientes fluctúan con una desviación típica proporcional a √N, ¿cómo escala la fluctuación relativa?

  1. 1. La media escala como N.
  2. 2. La desviación típica escala como √N.
  3. 3. Divide √N/N.

Las fluctuaciones relativas escalan como 1/√N y se vuelven pequeñas a escala macroscópica.

Pruébalo

Exploración de fases al estilo Ising

Materiales: Una simulación sencilla en una red.

  1. 1. Ejecútala a temperatura alta y a temperatura baja.
  2. 2. Sigue la magnetización y la energía.
  3. 3. Barre a través de la transición.
  4. 4. Representa las fluctuaciones y comprueba la histéresis.

Fíjate: El orden colectivo y las fluctuaciones grandes emergen de interacciones locales sin implicar energía libre más allá del baño modelado.

Comprueba lo que entendiste: ¿Puede un trinquete isotermo rectificar de forma pasiva y para siempre el ruido térmico de equilibrio?

Respuesta: No.

El propio trinquete fluctúa; el balance detallado cancela el trabajo dirigido sostenido a una sola temperatura.

De la fórmula al significado

Lee la ecuación en lenguaje corriente.

  1. S=k_B lnΩ

    La entropía mide la multiplicidad de microestados restringidos igualmente probables.

  2. Z=Σ_i e^(−βE_i)

    La función de partición normaliza los pesos canónicos de los estados.

  3. F=−k_BT lnZ

    La energía libre de Helmholtz genera la termodinámica de equilibrio a temperatura fija.

Práctica independiente

Serie de problemas

Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.

  1. 1. Halla la razón de probabilidades p₂/p₁ para estados separados por ΔE a temperatura T.

    Ver la pista

    Divide sus factores de Boltzmann.

    Ver la solución

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Para Z=1+e⁻ᵝε, halla la energía media.

    Ver la pista

    Solo el estado excitado aporta ε.

    Ver la solución

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. La multiplicidad de un sistema se duplica. Halla ΔS.

    Ver la pista

    Usa la razón de multiplicidades.

    Ver la solución

    ΔS=kB ln2.

Taller de derivación

Construye el resultado, línea a línea.

Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.

  1. Punto de partida

    La distribución canónica

    Sistema pequeño y reservorio grande que forman un conjunto aislado con energía total fija

    1. 1. La probabilidad de que el sistema tenga energía E es proporcional a la multiplicidad del foco ΩR(Etot−E).
    2. 2. Desarrolla la entropía del foco SR alrededor de Etot.
    3. 3. Usa ∂S/∂E=1/T.
    4. 4. Exponencia el cambio de entropía de primer orden y normaliza.

    p_i=e^(−βE_i)/Z

    Los pesos de Boltzmann surgen de contar los estados compatibles con el foco.

  2. Punto de partida

    La varianza de la energía y la capacidad calorífica

    ⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

    1. 1. Deriva ⟨E⟩ respecto a β.
    2. 2. Reconoce el segundo momento menos la media al cuadrado.
    3. 3. Usa dβ/dT=−1/(kBT²).
    4. 4. Relaciona d⟨E⟩/dT con la capacidad calorífica.

    Var(E)=kBT²C_V

    Las fluctuaciones de energía en el equilibrio están ligadas cuantitativamente a la respuesta.

Cuaderno computacional

Convierte el modelo en un experimento.

  1. Colectivos de dos niveles y del oscilador

    ¿Cómo moldean los espectros discretos la energía, la entropía y la capacidad calorífica a lo largo de la temperatura?

    Entradas

    • • Separación entre niveles o frecuencia del oscilador
    • • Malla de temperaturas
    • • Corte de estados para el oscilador

    Algoritmo

    1. 1. Construye los pesos de Boltzmann.
    2. 2. Normaliza las probabilidades.
    3. 3. Calcula E, F, S y C.
    4. 4. Comprueba la convergencia al variar el corte.

    Evidencia que producir

    • • Curvas de población y termodinámicas
    • • Comparación del pico de capacidad calorífica
    • • Informe de convergencia numérica

Sigue hacia la evidencia

Próxima lectura, con sus fuentes