The Spacetime Metric
Niveau 3 · Tronc commun de licenceLicence, 1re et 2e annéeEnviron 16 heures

Mécanique statistique

Reliez les états microscopiques à la température, à l'entropie, aux fluctuations, aux phases et aux statistiques quantiques.

Modèle interactif

Explorez avant de calculer

Une base de modes de champ dans une cavité idéalisée, avec une distribution diffuse d’états plutôt qu’une mousse de particules.
Les fluctuations statistiques exigent un ensemble, une dynamique et une définition de la mesure ; un état de champ n’est ni une turbulence visuelle ni une source d’énergie à lui seul.

Laboratoire interactif

Ensemble canonique à deux niveaux

Modifier un écart de niveau, une température et une multiplicité d’état excité. Les poids de Boltzmann transforment des possibilités microscopiques en populations mesurables, en énergie, entropie et capacité calorifique.

Terraintous les micro-états excités

Population enthousiaste : 27.55%

Énergie moyenne : 6.89 meV

Entropie : 0.589 kB

Capacité thermique : 0.187 kB

Ce sont des probabilités d’équilibre pour un réservoir déclaré. Les fluctuations de population ne fournissent pas en elles-mêmes un travail cyclique soutenu ; un gradient, un entraînement, une ressource de mesure ou un autre changement hors équilibre doit entrer dans le registre.

Niveau 3 · Tronc commun de licence · Kit pédagogique

Consignez l’enquête. Enseignez le raisonnement.

Un carnet de laboratoire pour l’apprenant et un guide spécifique pour l’enseignant transforment le modèle interactif en enquête reproductible.

Carnet de l’apprenant

Carte de population et de capacité thermique à deux niveaux

Comment la température, l’écart d’énergie et la dégénérescence transforment-ils les possibilités microscopiques en moyennes macroscopiques ?

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Guide de l’enseignant

Enseignez l’enquête, pas l’interface

Les apprenants déduisent le comportement qualitatif de l’ensemble à partir des poids de Boltzmann et distinguent la multiplicité des microétats de l’énergie seule.

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Leçon 1 sur 3

Micro-états, macro-états et ensembles

Comment de nombreuses configurations microscopiques peuvent-elles partager une même température et une même pression mesurées ?

Un macro-état précise des variables grossières que de nombreux micro-états réalisent. L'entropie de Boltzmann S=kB lnΩ compte les micro-états compatibles.

Un ensemble est un modèle de probabilité sur les micro-états sous contraintes. Choisir l'ensemble revient à déclarer ce qui peut échanger énergie, particules ou volume.

micro-état · macro-état · ensemble · entropie de Boltzmann

Exemple résolu

Un macro-état compte quatre fois plus de micro-états qu'un autre. Trouvez la différence d'entropie.

  1. 1. Utilisez ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Insérez le rapport 4.
  3. 3. Gardez la forme logarithmique ou évaluez-la.

ΔS=kB ln4.

Essayez

Comptage de multiplicités

Matériel : Des pièces de monnaie ou une simulation à états binaires.

  1. 1. Énumérez le nombre de faces pour de petits N.
  2. 2. Calculez les multiplicités binomiales.
  3. 3. Tracez la multiplicité en fonction du macro-état.
  4. 4. Augmentez N.

Observez : Les macro-états d'allure d'équilibre dominent parce que bien plus de micro-états les réalisent.

Vérifiez votre compréhension : Une entropie élevée signifie-t-elle que chaque micro-état est désordonné au sens visuel et subjectif ?

Réponse : Non.

L'entropie se définit à partir des probabilités d'état ou des multiplicités sous des contraintes macroscopiques précisées.

Leçon 2 sur 3

Fonctions de partition et dérivées thermodynamiques

Comment une seule somme pondérée peut-elle engendrer l'énergie, l'entropie, la capacité thermique et les populations ?

La fonction de partition canonique Z=Σe⁻ᵝᴱ pondère les états propres d'énergie en contact avec un réservoir de chaleur. Son logarithme engendre les grandeurs thermodynamiques.

L'énergie libre F=−kBT lnZ met en balance énergie et entropie et détermine l'équilibre à température et volume fixés.

fonction de partition · facteur de Boltzmann · énergie libre · capacité thermique

Exemple résolu

Pour un système à deux niveaux d'énergies 0 et ε, trouvez Z.

  1. 1. Pondérez l'état fondamental par 1.
  2. 2. Pondérez l'état excité par e⁻ᵝε.
  3. 3. Additionnez les poids des états autorisés.

Z=1+e⁻ᵝε et la population excitée vaut e⁻ᵝε/Z.

Essayez

La capacité thermique d'un système à deux niveaux

Matériel : Un carnet et une plage de températures.

  1. 1. Calculez la population excitée en fonction de T.
  2. 2. Calculez l'énergie moyenne.
  3. 3. Dérivez numériquement pour obtenir la capacité thermique.
  4. 4. Localisez son maximum.

Observez : La capacité thermique culmine là où l'énergie thermique rivalise avec l'écart entre niveaux.

Vérifiez votre compréhension : Pourquoi Z n'est-elle généralement pas elle-même une probabilité ?

Réponse : C'est la somme de normalisation des poids de Boltzmann.

Les probabilités individuelles valent e⁻ᵝᴱ/Z.

Leçon 3 sur 3

Fluctuations, phases et statistiques quantiques

Quand des fluctuations collectives révèlent-elles une transition plutôt qu'un nouveau réservoir d'énergie ?

La variance d'énergie canonique est liée à la capacité thermique. Les fluctuations relatives diminuent en général avec la taille du système, mais elles croissent près de certains points critiques.

Bosons et fermions obéissent à des statistiques d'occupation différentes. Des gradients hors d'équilibre peuvent produire du travail ; à l'équilibre, le bilan détaillé interdit une rectification passive en une sortie cyclique soutenue.

fluctuation–dissipation · transition de phase · Bose–Einstein · Fermi–Dirac

Exemple résolu

Si N contributions indépendantes fluctuent avec un écart-type proportionnel à √N, comment la fluctuation relative varie-t-elle ?

  1. 1. La moyenne varie comme N.
  2. 2. L'écart-type varie comme √N.
  3. 3. Divisez √N/N.

Les fluctuations relatives varient comme 1/√N et deviennent petites à l'échelle macroscopique.

Essayez

Exploration de phases à la manière d'Ising

Matériel : Une simulation simple sur réseau.

  1. 1. Faites tourner à haute puis à basse température.
  2. 2. Suivez l'aimantation et l'énergie.
  3. 3. Balayez la transition.
  4. 4. Tracez les fluctuations et vérifiez l'hystérésis.

Observez : Ordre collectif et grandes fluctuations émergent d'interactions locales sans impliquer d'énergie libre au-delà du bain modélisé.

Vérifiez votre compréhension : Le bruit thermique d'équilibre peut-il être rectifié passivement pour toujours par un cliquet isotherme ?

Réponse : Non.

Le cliquet lui-même fluctue ; le bilan détaillé annule tout travail dirigé soutenu à une seule température.

De la formule au sens

Lisez l'équation en langage courant.

  1. S=k_B lnΩ

    L'entropie mesure la multiplicité pour des micro-états contraints équiprobables.

  2. Z=Σ_i e^(−βE_i)

    La fonction de partition normalise les poids canoniques des états.

  3. F=−k_BT lnZ

    L'énergie libre de Helmholtz engendre la thermodynamique d'équilibre à température fixée.

Pratique autonome

Série d'exercices

Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.

  1. 1. Trouvez le rapport de probabilités p₂/p₁ pour des états séparés de ΔE à la température T.

    Voir l'indice

    Divisez leurs facteurs de Boltzmann.

    Voir la solution

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Pour Z=1+e⁻ᵝε, trouvez l'énergie moyenne.

    Voir l'indice

    Seul l'état excité contribue pour ε.

    Voir la solution

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. La multiplicité d'un système double. Trouvez ΔS.

    Voir l'indice

    Utilisez le rapport des multiplicités.

    Voir la solution

    ΔS=kB ln2.

Atelier de dérivation

Construisez le résultat, ligne par ligne.

Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.

  1. Point de départ

    La distribution canonique

    Petit système et grand réservoir formant un ensemble isolé d’énergie totale fixe

    1. 1. La probabilité que le système ait l'énergie E est proportionnelle à la multiplicité du réservoir ΩR(Etot−E).
    2. 2. Développez l'entropie du réservoir SR autour de Etot.
    3. 3. Utilisez ∂S/∂E=1/T.
    4. 4. Passez à l'exponentielle de la variation d'entropie au premier ordre et normalisez.

    p_i=e^(−βE_i)/Z

    Les poids de Boltzmann naissent du comptage des états compatibles avec le réservoir.

  2. Point de départ

    Variance de l'énergie et capacité thermique

    ⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

    1. 1. Dérivez ⟨E⟩ par rapport à β.
    2. 2. Reconnaissez le moment d'ordre deux moins le carré de la moyenne.
    3. 3. Utilisez dβ/dT=−1/(kBT²).
    4. 4. Reliez d⟨E⟩/dT à la capacité thermique.

    Var(E)=kBT²C_V

    Les fluctuations d'énergie à l'équilibre sont quantitativement liées à la réponse.

Carnet de calcul

Transformez le modèle en expérience.

  1. Ensembles à deux niveaux et d'oscillateur

    Comment des spectres discrets façonnent-ils l'énergie, l'entropie et la capacité thermique selon la température ?

    Entrées

    • • Écart d'énergie ou fréquence de l'oscillateur
    • • Grille de températures
    • • Troncature des états pour l'oscillateur

    Algorithme

    1. 1. Construisez les poids de Boltzmann.
    2. 2. Normalisez les probabilités.
    3. 3. Calculez E, F, S et C.
    4. 4. Testez la convergence en fonction de la troncature.

    Preuves à produire

    • • Courbes de population et courbes thermodynamiques
    • • Comparaison des pics de capacité thermique
    • • Rapport de convergence numérique

Poursuivez vers les preuves

Lecture suivante, avec ses sources