Mécanique statistique
Reliez les états microscopiques à la température, à l'entropie, aux fluctuations, aux phases et aux statistiques quantiques.
Développez les ensembles et les fonctions de partition, dérivez les grandeurs thermodynamiques, et apprenez quand des fluctuations ou des ressources hors d'équilibre peuvent — ou ne peuvent pas — soutenir un travail utile.
Avant de commencer
- • Calcul différentiel et probabilités
- • Thermodynamique du niveau 2
- • Introduction à la mécanique quantique
À la fin, vous saurez
- • Utiliser les ensembles microcanonique, canonique et grand-canonique.
- • Dériver les observables à partir des fonctions de partition.
- • Calculer les échelles de fluctuation et les probabilités de phase.
- • Séparer le bruit d'équilibre des ressources de travail hors d'équilibre.
Modèle interactif
Explorez avant de calculer
Leçon 1 sur 3
Micro-états, macro-états et ensembles
Comment de nombreuses configurations microscopiques peuvent-elles partager une même température et une même pression mesurées ?
Un macro-état précise des variables grossières que de nombreux micro-états réalisent. L'entropie de Boltzmann S=kB lnΩ compte les micro-états compatibles.
Un ensemble est un modèle de probabilité sur les micro-états sous contraintes. Choisir l'ensemble revient à déclarer ce qui peut échanger énergie, particules ou volume.
Exemple résolu
Un macro-état compte quatre fois plus de micro-états qu'un autre. Trouvez la différence d'entropie.
- 1. Utilisez ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
- 2. Insérez le rapport 4.
- 3. Gardez la forme logarithmique ou évaluez-la.
ΔS=kB ln4.
Essayez
Comptage de multiplicités
Matériel : Des pièces de monnaie ou une simulation à états binaires.
- 1. Énumérez le nombre de faces pour de petits N.
- 2. Calculez les multiplicités binomiales.
- 3. Tracez la multiplicité en fonction du macro-état.
- 4. Augmentez N.
Observez : Les macro-états d'allure d'équilibre dominent parce que bien plus de micro-états les réalisent.
Vérifiez votre compréhension : Une entropie élevée signifie-t-elle que chaque micro-état est désordonné au sens visuel et subjectif ?
Réponse : Non.
L'entropie se définit à partir des probabilités d'état ou des multiplicités sous des contraintes macroscopiques précisées.
Leçon 2 sur 3
Fonctions de partition et dérivées thermodynamiques
Comment une seule somme pondérée peut-elle engendrer l'énergie, l'entropie, la capacité thermique et les populations ?
La fonction de partition canonique Z=Σe⁻ᵝᴱ pondère les états propres d'énergie en contact avec un réservoir de chaleur. Son logarithme engendre les grandeurs thermodynamiques.
L'énergie libre F=−kBT lnZ met en balance énergie et entropie et détermine l'équilibre à température et volume fixés.
Exemple résolu
Pour un système à deux niveaux d'énergies 0 et ε, trouvez Z.
- 1. Pondérez l'état fondamental par 1.
- 2. Pondérez l'état excité par e⁻ᵝε.
- 3. Additionnez les poids des états autorisés.
Z=1+e⁻ᵝε et la population excitée vaut e⁻ᵝε/Z.
Essayez
La capacité thermique d'un système à deux niveaux
Matériel : Un carnet et une plage de températures.
- 1. Calculez la population excitée en fonction de T.
- 2. Calculez l'énergie moyenne.
- 3. Dérivez numériquement pour obtenir la capacité thermique.
- 4. Localisez son maximum.
Observez : La capacité thermique culmine là où l'énergie thermique rivalise avec l'écart entre niveaux.
Vérifiez votre compréhension : Pourquoi Z n'est-elle généralement pas elle-même une probabilité ?
Réponse : C'est la somme de normalisation des poids de Boltzmann.
Les probabilités individuelles valent e⁻ᵝᴱ/Z.
Leçon 3 sur 3
Fluctuations, phases et statistiques quantiques
Quand des fluctuations collectives révèlent-elles une transition plutôt qu'un nouveau réservoir d'énergie ?
La variance d'énergie canonique est liée à la capacité thermique. Les fluctuations relatives diminuent en général avec la taille du système, mais elles croissent près de certains points critiques.
Bosons et fermions obéissent à des statistiques d'occupation différentes. Des gradients hors d'équilibre peuvent produire du travail ; à l'équilibre, le bilan détaillé interdit une rectification passive en une sortie cyclique soutenue.
Exemple résolu
Si N contributions indépendantes fluctuent avec un écart-type proportionnel à √N, comment la fluctuation relative varie-t-elle ?
- 1. La moyenne varie comme N.
- 2. L'écart-type varie comme √N.
- 3. Divisez √N/N.
Les fluctuations relatives varient comme 1/√N et deviennent petites à l'échelle macroscopique.
Essayez
Exploration de phases à la manière d'Ising
Matériel : Une simulation simple sur réseau.
- 1. Faites tourner à haute puis à basse température.
- 2. Suivez l'aimantation et l'énergie.
- 3. Balayez la transition.
- 4. Tracez les fluctuations et vérifiez l'hystérésis.
Observez : Ordre collectif et grandes fluctuations émergent d'interactions locales sans impliquer d'énergie libre au-delà du bain modélisé.
Vérifiez votre compréhension : Le bruit thermique d'équilibre peut-il être rectifié passivement pour toujours par un cliquet isotherme ?
Réponse : Non.
Le cliquet lui-même fluctue ; le bilan détaillé annule tout travail dirigé soutenu à une seule température.
De la formule au sens
Lisez l'équation en langage courant.
S=k_B lnΩ
L'entropie mesure la multiplicité pour des micro-états contraints équiprobables.
Z=Σ_i e^(−βE_i)
La fonction de partition normalise les poids canoniques des états.
F=−k_BT lnZ
L'énergie libre de Helmholtz engendre la thermodynamique d'équilibre à température fixée.
Pratique autonome
Série d'exercices
Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.
1. Trouvez le rapport de probabilités p₂/p₁ pour des états séparés de ΔE à la température T.
Voir l'indice
Divisez leurs facteurs de Boltzmann.
Voir la solution
p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).
2. Pour Z=1+e⁻ᵝε, trouvez l'énergie moyenne.
Voir l'indice
Seul l'état excité contribue pour ε.
Voir la solution
⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).
3. La multiplicité d'un système double. Trouvez ΔS.
Voir l'indice
Utilisez le rapport des multiplicités.
Voir la solution
ΔS=kB ln2.
Atelier de dérivation
Construisez le résultat, ligne par ligne.
Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.
Point de départ
La distribution canonique
Small system plus large isolated reservoir with fixed total energy
- 1. La probabilité que le système ait l'énergie E est proportionnelle à la multiplicité du réservoir ΩR(Etot−E).
- 2. Développez l'entropie du réservoir SR autour de Etot.
- 3. Utilisez ∂S/∂E=1/T.
- 4. Passez à l'exponentielle de la variation d'entropie au premier ordre et normalisez.
p_i=e^(−βE_i)/Z
Les poids de Boltzmann naissent du comptage des états compatibles avec le réservoir.
Point de départ
Variance de l'énergie et capacité thermique
⟨E⟩=−∂lnZ/∂β
- 1. Dérivez ⟨E⟩ par rapport à β.
- 2. Reconnaissez le moment d'ordre deux moins le carré de la moyenne.
- 3. Utilisez dβ/dT=−1/(kBT²).
- 4. Reliez d⟨E⟩/dT à la capacité thermique.
Var(E)=kBT²C_V
Les fluctuations d'énergie à l'équilibre sont quantitativement liées à la réponse.
Carnet de calcul
Transformez le modèle en expérience.
Ensembles à deux niveaux et d'oscillateur
Comment des spectres discrets façonnent-ils l'énergie, l'entropie et la capacité thermique selon la température ?
Entrées
- • Écart d'énergie ou fréquence de l'oscillateur
- • Grille de températures
- • Troncature des états pour l'oscillateur
Algorithme
- 1. Construisez les poids de Boltzmann.
- 2. Normalisez les probabilités.
- 3. Calculez E, F, S et C.
- 4. Testez la convergence en fonction de la troncature.
Preuves à produire
- • Courbes de population et courbes thermodynamiques
- • Comparaison des pics de capacité thermique
- • Rapport de convergence numérique
Poursuivez vers les preuves
Lecture suivante, avec ses sources
Chapitre 6 : Tirer de l'énergie du vide
Frontières thermodynamiques et informationnelles des protocoles d'énergie du vide.
Cours 8 : L'effet Casimir
Phénomènes de frontière à l'équilibre et sous excitation, séparés expérimentalement.
Chapitre 5 : La théorie du vide superfluide
Analogies de matière condensée, modes collectifs et leurs limites.