The Spacetime Metric
Niveau 3 · Tronc commun de licenceLicence, 1re et 2e annéeEnviron 18 heures

Mécanique quantique I–II

Développez les états d'espace de Hilbert, les opérateurs, la dynamique, le spin, les méthodes d'approximation et les particules identiques.

Modèle interactif

Explorez avant de calculer

Un mode de cavité, des niveaux d’énergie discrets et une représentation stationnaire dans l’espace des phases de l’état fondamental.
L’oscillateur harmonique est le cœur réutilisable des calculs d’états liés, de modes de champ et de point zéro ; son état fondamental est stationnaire, non une trajectoire.

Laboratoire interactif

Spectre quantique des états liés

Changez un puits infini et sa masse de particules. Les conditions aux limites sélectionnent des énergies discrètes dont l’espacement est proportionné à n², à l’inverse de masse et à l’inverse de la largeur au carré.

n=1n=2n=3n=4n=5n=6

Énergie au sol : 0.376 eV

Énergie sélectionnée : 0.376 eV

E1/E1 : 1

Autorisé n : 1, 2, 3, …

Le n=0 manquant n’est pas un état caché à énergie nulle : cela rendrait la fonction d’onde identiquement nulle sous les deux frontières et ne peut pas représenter une particule normalisée.

Niveau 3 · Tronc commun de licence · Kit pédagogique

Consignez l’enquête. Enseignez le raisonnement.

Un carnet de laboratoire pour l’apprenant et un guide spécifique pour l’enseignant transforment le modèle interactif en enquête reproductible.

Carnet de l’apprenant

Audit du spectre discret et audit de l’état de base

Comment les paramètres hamiltoniens et les conditions aux limites déterminent-ils les énergies autorisées et les probabilités de mesure ?

Télécharger le Markdown apprenant

Guide de l’enseignant

Enseignez l’enquête, pas l’interface

Les apprenants relient un hamiltonien et des conditions aux limites spécifiés à un spectre discret normalisé sans universaliser un seul modèle.

Télécharger le Markdown enseignant
Ouvrir le kit pédagogique imprimable →

Leçon 1 sur 3

Espace de Hilbert, états et opérateurs

Comment l'algèbre linéaire encode-t-elle la préparation, l'évolution et la mesure ?

Un état pur est un vecteur normalisé, à une phase globale près. Les observables sont des opérateurs hermitiens ; les valeurs propres sont les résultats possibles et les projections fixent les probabilités.

Des opérateurs qui ne commutent pas ne peuvent pas partager une base complète de valeurs bien définies, d'où des relations d'incertitude structurelles.

espace de Hilbert · opérateur hermitien · état propre · commutateur

Exemple résolu

Pour |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2 normalisé, trouvez les probabilités dans la base {|0⟩,|1⟩}.

  1. 1. Projetez sur |0⟩ et sur |1⟩.
  2. 2. Les amplitudes valent 1/√2 et i/√2.
  3. 3. Prenez le carré des modules.

Chaque résultat a une probabilité de 1/2 ; la phase relative compte dans d'autres bases.

Essayez

Rotation de base

Matériel : Un carnet avec des vecteurs complexes à deux composantes.

  1. 1. Définissez la base de calcul et une base tournée.
  2. 2. Projetez un même état dans chacune.
  3. 3. Vérifiez la normalisation des probabilités.
  4. 4. Faites varier la phase relative.

Observez : Les probabilités dépendent de la base de mesure alors que le vecteur d'état se transforme de façon cohérente.

Vérifiez votre compréhension : Pourquoi les opérateurs d'observables doivent-ils être hermitiens ?

Réponse : Ils ont des valeurs propres réelles et une structure spectrale orthogonale adaptée aux résultats de mesure.

L'hermiticité assure des valeurs moyennes réelles et une décomposition unitaire en bases.

Leçon 2 sur 3

Dynamique de Schrödinger et états liés

Comment un hamiltonien et des conditions aux limites déterminent-ils les énergies autorisées ?

L'équation de Schrödinger dépendante du temps engendre une évolution unitaire. Séparer le temps pour un hamiltonien indépendant du temps donne un problème aux valeurs propres.

Les conditions aux limites et la normalisabilité quantifient les énergies des états liés. L'effet tunnel découle d'une amplitude d'onde non nulle dans les régions classiquement interdites.

hamiltonien · évolution unitaire · état lié · effet tunnel

Exemple résolu

Trouvez les énergies d'un puits infini de largeur L.

  1. 1. À l'intérieur, résolvez ψ″+k²ψ=0.
  2. 2. Imposez ψ(0)=ψ(L)=0.
  3. 3. Obtenez k=nπ/L.
  4. 4. Utilisez E=ℏ²k²/(2m).

Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…

Essayez

Recherche des valeurs propres d'un puits fini

Matériel : Un carnet de calcul numérique.

  1. 1. Définissez un puits carré fini.
  2. 2. Intégrez pour des énergies d'essai.
  3. 3. Détectez le désaccord aux frontières.
  4. 4. Cherchez les racines pour obtenir les énergies autorisées et tracez les états.

Observez : Des barrières finies décalent les énergies et produisent des queues qui décroissent exponentiellement.

Vérifiez votre compréhension : Pourquoi n=0 est-il absent du puits infini ?

Réponse : Il donne une fonction d'onde nulle sous les deux conditions aux limites, ce qui ne peut pas être normalisé comme état physique.

Le premier mode stationnaire non trivial est n=1.

Leçon 3 sur 3

Spin, systèmes composites et méthodes d'approximation

Comment des degrés de liberté intrinsèquement quantiques et des approximations élargissent-ils les modèles solubles ?

Les états de spin 1/2 vivent dans un espace complexe à deux dimensions et se transforment sous les rotations autrement que des flèches classiques. Les systèmes composites utilisent des produits tensoriels et peuvent être intriqués.

La théorie des perturbations et les méthodes variationnelles estiment des systèmes proches ou au-delà des cas exactement solubles, avec des limites explicites de convergence et d'états d'essai.

spineur · produit tensoriel · intrication · théorie des perturbations

Exemple résolu

Un état de spin up selon z est mesuré selon x. Quelles probabilités obtient-on ?

  1. 1. Écrivez |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
  2. 2. Projetez sur les états propres de x.
  3. 3. Prenez le carré des amplitudes.

Up selon x et down selon x surviennent chacun avec une probabilité de 1/2.

Essayez

Estimation variationnelle de l'état fondamental

Matériel : Un carnet et une fonction d'onde d'essai paramétrée.

  1. 1. Normalisez l'état d'essai.
  2. 2. Calculez ⟨H⟩ en fonction du paramètre.
  3. 3. Minimisez numériquement.
  4. 4. Comparez à une référence connue.

Observez : Le minimum variationnel est une borne supérieure de la vraie énergie fondamentale du hamiltonien modélisé.

Vérifiez votre compréhension : L'intrication permet-elle d'envoyer des messages contrôlés plus vite que la lumière ?

Réponse : Non.

Les résultats locaux restent aléatoires ; les corrélations exigent une comparaison classique et respectent l'absence de signalisation.

De la formule au sens

Lisez l'équation en langage courant.

  1. iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩

    Le hamiltonien engendre l'évolution unitaire de l'état quantique.

  2. ⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩

    La valeur moyenne fait la moyenne des résultats d'une observable dans un état.

  3. ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|

    Des observables qui ne commutent pas imposent une borne d'incertitude dépendant de l'état.

Pratique autonome

Série d'exercices

Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.

  1. 1. Normalisez ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ sur x≥0 pour a>0.

    Voir l'indice

    Posez ∫|ψ|²dx=1.

    Voir la solution

    A=√(2a), en choisissant une phase réelle positive.

  2. 2. À partir de [x,p]=iℏ, retrouvez la borne d'incertitude position-quantité de mouvement.

    Voir l'indice

    Utilisez l'inégalité générale du commutateur.

    Voir la solution

    ΔxΔp≥ℏ/2.

  3. 3. De combien une perturbation λx décale-t-elle au premier ordre un état fondamental de parité paire ?

    Voir l'indice

    Évaluez λ⟨0|x|0⟩ et servez-vous de la parité.

    Voir la solution

    Décalage nul au premier ordre pour un état pair dans un système non perturbé symétrique par parité.

Atelier de dérivation

Construisez le résultat, ligne par ligne.

Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.

  1. Point de départ

    Le spectre du puits carré infini

    −(ℏ²/2m)ψ″=Eψ pour 0<x<L

    1. 1. Posez k²=2mE/ℏ².
    2. 2. Résolvez ψ=A sin kx+B cos kx.
    3. 3. Appliquez ψ(0)=0 pour annuler B.
    4. 4. Appliquez ψ(L)=0 pour imposer kL=nπ.

    Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)

    La quantification de l'énergie vient de la dynamique ondulatoire assortie des conditions aux limites.

  2. Point de départ

    L'énergie de perturbation au premier ordre

    H=H₀+λV et développement de |n⟩ en puissances de λ

    1. 1. Injectez le développement en série dans H|ψ⟩=E|ψ⟩.
    2. 2. Regroupez les termes du premier ordre.
    3. 3. Projetez avec ⟨n⁰|.
    4. 4. Utilisez l'orthonormalité et la relation aux valeurs propres de H₀.

    Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩

    Le décalage au premier ordre est la valeur moyenne de la perturbation dans l'état non perturbé.

Carnet de calcul

Transformez le modèle en expérience.

  1. L'évolution d'un paquet d'ondes

    Comment la dispersion et la diffusion sur une barrière remodèlent-elles un paquet gaussien ?

    Entrées

    • • Centre, largeur et quantité de mouvement moyenne du paquet
    • • Grille et pas de temps
    • • Potentiel libre ou barrière

    Algorithme

    1. 1. Construisez et normalisez ψ.
    2. 2. Propagez avec une méthode stable à pas fractionnés ou de Crank–Nicolson.
    3. 3. Suivez la norme et l'énergie.
    4. 4. Mesurez la réflexion, la transmission et l'étalement.

    Preuves à produire

    • • Tracé espace-temps de la densité de probabilité
    • • Diagnostics de conservation de la norme et de l'énergie
    • • Réflexion et transmission en fonction de l'énergie

Poursuivez vers les preuves

Lecture suivante, avec ses sources