Mecánica cuántica I–II
Desarrolla los estados en el espacio de Hilbert, los operadores, la dinámica, el espín, los métodos de aproximación y las partículas idénticas.
Pasa de la mecánica ondulatoria a la estructura formal que necesitas para los campos cuánticos, los estados de vacío, la física de Casimir, la materia condensada y la lectura crítica de las afirmaciones sobre tecnología cuántica.
Antes de empezar
- • Mecánica cuántica del nivel 2
- • Cálculo y ecuaciones diferenciales
- • Álgebra lineal y números complejos
Al terminar, podrás
- • Usar estados ket, productos internos y operadores hermíticos.
- • Resolver la dinámica de Schrödinger y los estados estacionarios.
- • Calcular probabilidades de espín y de estados compuestos.
- • Aplicar métodos perturbativos y variacionales declarando sus aproximaciones.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Lección 1 de 3
Espacio de Hilbert, estados y operadores
¿Cómo codifica el álgebra lineal la preparación, la evolución y la medición?
Un estado puro es un vector normalizado salvo una fase global. Los observables son operadores hermíticos; sus autovalores son los resultados posibles y las proyecciones fijan las probabilidades.
Los operadores que no conmutan no pueden compartir una base completa bien definida, y eso produce relaciones de incertidumbre estructurales.
Ejemplo resuelto
Para el estado normalizado |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2, halla las probabilidades en la base {|0⟩,|1⟩}.
- 1. Proyecta sobre |0⟩ y sobre |1⟩.
- 2. Las amplitudes son 1/√2 y i/√2.
- 3. Eleva los módulos al cuadrado.
Cada resultado tiene probabilidad 1/2; la fase relativa sí importa en otras bases.
Pruébalo
Rotación de base
Materiales: Un cuaderno con vectores complejos de dos componentes.
- 1. Define la base computacional y la base rotada.
- 2. Proyecta un mismo estado en cada una.
- 3. Comprueba la normalización de las probabilidades.
- 4. Varía la fase relativa.
Fíjate: Las probabilidades dependen de la base de medición, mientras que el vector de estado se transforma de forma coherente.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué deben ser hermíticos los operadores de los observables?
Respuesta: Porque tienen autovalores reales y una estructura espectral ortogonal adecuada para los resultados de una medición.
La hermiticidad respalda valores esperados reales y una descomposición unitaria en bases.
Lección 2 de 3
Dinámica de Schrödinger y estados ligados
¿Cómo determinan un hamiltoniano y unas condiciones de contorno las energías permitidas?
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo genera una evolución unitaria. Separar el tiempo para un hamiltoniano independiente del tiempo lleva a un problema de autovalores.
Las condiciones de contorno y la normalizabilidad cuantizan las energías de los estados ligados. El efecto túnel se sigue de que la amplitud de la función de onda no se anula en regiones clásicamente prohibidas.
Ejemplo resuelto
Halla las energías del pozo infinito de anchura L.
- 1. Dentro, resuelve ψ″+k²ψ=0.
- 2. Impón ψ(0)=ψ(L)=0.
- 3. Obtén k=nπ/L.
- 4. Usa E=ℏ²k²/(2m).
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…
Pruébalo
Búsqueda de autovalores en un pozo finito
Materiales: Un cuaderno numérico.
- 1. Define un pozo cuadrado finito.
- 2. Integra con energías de prueba.
- 3. Detecta el desajuste en el contorno.
- 4. Busca las raíces de las energías permitidas y representa los estados.
Fíjate: Las barreras finitas desplazan las energías y producen colas que decaen exponencialmente.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué no aparece n=0 en el pozo infinito?
Respuesta: Porque da la función de onda nula con las dos condiciones de contorno, y eso no se puede normalizar como estado físico.
El primer modo estacionario no trivial es n=1.
Lección 3 de 3
Espín, sistemas compuestos y métodos de aproximación
¿Cómo amplían los grados de libertad intrínsecamente cuánticos y las aproximaciones el conjunto de modelos resolubles?
Los estados de espín 1/2 viven en un espacio complejo de dos dimensiones y se transforman ante rotaciones de forma distinta a las flechas clásicas. Los sistemas compuestos usan productos tensoriales y pueden estar entrelazados.
La teoría de perturbaciones y los métodos variacionales estiman sistemas cercanos o superiores a los casos exactamente resolubles, con límites explícitos de convergencia y de estado de prueba.
Ejemplo resuelto
Se mide a lo largo de x un estado con espín hacia arriba en z. ¿Qué probabilidades salen?
- 1. Escribe |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
- 2. Proyecta sobre los autoestados de x.
- 3. Eleva las amplitudes al cuadrado.
Arriba en x y abajo en x salen cada uno con probabilidad 1/2.
Pruébalo
Estimación variacional del estado fundamental
Materiales: Un cuaderno y una función de onda de prueba con parámetros.
- 1. Normaliza el estado de prueba.
- 2. Calcula ⟨H⟩ frente al parámetro.
- 3. Minimiza de forma numérica.
- 4. Compáralo con un valor de referencia conocido.
Fíjate: El mínimo variacional es una cota superior de la energía fundamental verdadera dentro del hamiltoniano modelado.
Comprueba lo que entendiste: ¿Permite el entrelazamiento enviar mensajes controlados más rápido que la luz?
Respuesta: No.
Los resultados locales siguen siendo aleatorios; las correlaciones exigen una comparación clásica y respetan la ausencia de señalización.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩
El hamiltoniano genera la evolución unitaria del estado cuántico.
⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩
El valor esperado promedia los resultados de un observable en un estado.
ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|
Los observables que no conmutan imponen una cota de incertidumbre que depende del estado.
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Normaliza ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ en x≥0 para a>0.
Ver la pista
Impón ∫|ψ|²dx=1.
Ver la solución
A=√(2a), eligiendo la fase real positiva.
2. Para [x,p]=iℏ, recupera la cota de incertidumbre de posición y momento.
Ver la pista
Usa la desigualdad general del conmutador.
Ver la solución
ΔxΔp≥ℏ/2.
3. ¿En cuánto desplaza a primer orden una perturbación λx un estado fundamental par bajo paridad?
Ver la pista
Evalúa λ⟨0|x|0⟩ y usa la paridad.
Ver la solución
El desplazamiento a primer orden es cero para un estado par en un sistema no perturbado con simetría de paridad.
Taller de derivación
Construye el resultado, línea a línea.
Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.
Punto de partida
El espectro del pozo cuadrado infinito
−(ℏ²/2m)ψ″=Eψ on 0<x<L
- 1. Haz k²=2mE/ℏ².
- 2. Resuelve ψ=A sin kx+B cos kx.
- 3. Aplica ψ(0)=0 para fijar B=0.
- 4. Aplica ψ(L)=0 para exigir kL=nπ.
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)
La cuantización de la energía sale de la dinámica ondulatoria más las condiciones de contorno.
Punto de partida
La energía perturbativa de primer orden
H=H₀+λV and |n⟩ expansion in λ
- 1. Introduce la serie en H|ψ⟩=E|ψ⟩.
- 2. Agrupa los términos de primer orden.
- 3. Proyecta con ⟨n⁰|.
- 4. Usa la ortonormalidad y la relación de autovalores de H₀.
Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩
El desplazamiento de primer orden es el valor esperado de la perturbación en el estado no perturbado.
Cuaderno computacional
Convierte el modelo en un experimento.
Evolución de un paquete de ondas
¿Cómo remodelan la dispersión y la difusión por una barrera un paquete gaussiano?
Entradas
- • Centro, anchura y momento medio del paquete
- • Malla y paso de tiempo
- • Potencial libre o con barrera
Algoritmo
- 1. Construye y normaliza ψ.
- 2. Propágala con un método estable de paso dividido o de Crank–Nicolson.
- 3. Sigue la norma y la energía.
- 4. Mide la reflexión, la transmisión y el ensanchamiento.
Evidencia que producir
- • Gráfica espacio-temporal de la densidad de probabilidad
- • Diagnósticos de conservación de la norma y de la energía
- • Reflexión y transmisión frente a la energía
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Capítulo 2: ¿Qué es el vacío?
Los estados fundamentales del oscilador y la transición de las partículas a los modos de campo.
Clase 7: La teoría cuántica de campos y el vacío
La extensión en segunda cuantización de las matemáticas del oscilador.
Clase 8: El efecto Casimir
Condiciones de contorno, respuesta del material y medición de precisión.