The Spacetime Metric
Nivel 3 · Núcleo universitarioPrimer y segundo año de universidadUnas 18 horas

Mecánica cuántica I–II

Desarrolla los estados en el espacio de Hilbert, los operadores, la dinámica, el espín, los métodos de aproximación y las partículas idénticas.

Modelo interactivo

Explora antes de calcular

Un modo de cavidad, niveles de energía discretos y una representación estacionaria del estado fundamental en el espacio de fases.
El oscilador armónico es el núcleo reutilizable de los cálculos de estados ligados, de modos de campo y de punto cero; su estado fundamental es estacionario, no una trayectoria.

Laboratorio interactivo

Espectro cuántico de estados ligados

Cambian un pozo infinito y su masa de partículas. Las condiciones de contorno seleccionan energías discretas cuyo espaciamiento escala con n², masa inversa y anchura inversa al cuadrado.

n=1n=2n=3n=4n=5n=6

Energía terrestre: 0.376 eV

Energía seleccionada: 0.376 eV

E1/E1: 1

Permitido n: 1, 2, 3, …

La falta n=0 no es un estado oculto de energía cero: haría que la función de onda fuera idénticamente cero bajo ambos límites y no puede representar una partícula normalizada.

Nivel 3 · Núcleo universitario · Kit docente

Registra la investigación. Enseña el razonamiento.

Un registro de laboratorio para estudiantes y una guía específica para docentes convierten el modelo interactivo en una investigación repetible.

Registro del estudiante

Auditoría discreta de espectro y estado de base

¿Cómo determinan los parámetros hamiltonianos y las condiciones de frontera las energías permitidas y las probabilidades de medición?

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Guía del docente

Enseña la investigación, no la interfaz

Los aprendices conectan un hamiltoniano especificado y condiciones de frontera a un espectro discreto normalizado sin universalizar un solo modelo.

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Lección 1 de 3

Espacio de Hilbert, estados y operadores

¿Cómo codifica el álgebra lineal la preparación, la evolución y la medición?

Un estado puro es un vector normalizado salvo una fase global. Los observables son operadores hermíticos; sus autovalores son los resultados posibles y las proyecciones fijan las probabilidades.

Los operadores que no conmutan no pueden compartir una base completa bien definida, y eso produce relaciones de incertidumbre estructurales.

espacio de Hilbert · operador hermítico · autoestado · conmutador

Ejemplo resuelto

Para el estado normalizado |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2, halla las probabilidades en la base {|0⟩,|1⟩}.

  1. 1. Proyecta sobre |0⟩ y sobre |1⟩.
  2. 2. Las amplitudes son 1/√2 y i/√2.
  3. 3. Eleva los módulos al cuadrado.

Cada resultado tiene probabilidad 1/2; la fase relativa sí importa en otras bases.

Pruébalo

Rotación de base

Materiales: Un cuaderno con vectores complejos de dos componentes.

  1. 1. Define la base computacional y la base rotada.
  2. 2. Proyecta un mismo estado en cada una.
  3. 3. Comprueba la normalización de las probabilidades.
  4. 4. Varía la fase relativa.

Fíjate: Las probabilidades dependen de la base de medición, mientras que el vector de estado se transforma de forma coherente.

Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué deben ser hermíticos los operadores de los observables?

Respuesta: Porque tienen autovalores reales y una estructura espectral ortogonal adecuada para los resultados de una medición.

La hermiticidad respalda valores esperados reales y una descomposición unitaria en bases.

Lección 2 de 3

Dinámica de Schrödinger y estados ligados

¿Cómo determinan un hamiltoniano y unas condiciones de contorno las energías permitidas?

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo genera una evolución unitaria. Separar el tiempo para un hamiltoniano independiente del tiempo lleva a un problema de autovalores.

Las condiciones de contorno y la normalizabilidad cuantizan las energías de los estados ligados. El efecto túnel se sigue de que la amplitud de la función de onda no se anula en regiones clásicamente prohibidas.

hamiltoniano · evolución unitaria · estado ligado · efecto túnel

Ejemplo resuelto

Halla las energías del pozo infinito de anchura L.

  1. 1. Dentro, resuelve ψ″+k²ψ=0.
  2. 2. Impón ψ(0)=ψ(L)=0.
  3. 3. Obtén k=nπ/L.
  4. 4. Usa E=ℏ²k²/(2m).

Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…

Pruébalo

Búsqueda de autovalores en un pozo finito

Materiales: Un cuaderno numérico.

  1. 1. Define un pozo cuadrado finito.
  2. 2. Integra con energías de prueba.
  3. 3. Detecta el desajuste en el contorno.
  4. 4. Busca las raíces de las energías permitidas y representa los estados.

Fíjate: Las barreras finitas desplazan las energías y producen colas que decaen exponencialmente.

Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué no aparece n=0 en el pozo infinito?

Respuesta: Porque da la función de onda nula con las dos condiciones de contorno, y eso no se puede normalizar como estado físico.

El primer modo estacionario no trivial es n=1.

Lección 3 de 3

Espín, sistemas compuestos y métodos de aproximación

¿Cómo amplían los grados de libertad intrínsecamente cuánticos y las aproximaciones el conjunto de modelos resolubles?

Los estados de espín 1/2 viven en un espacio complejo de dos dimensiones y se transforman ante rotaciones de forma distinta a las flechas clásicas. Los sistemas compuestos usan productos tensoriales y pueden estar entrelazados.

La teoría de perturbaciones y los métodos variacionales estiman sistemas cercanos o superiores a los casos exactamente resolubles, con límites explícitos de convergencia y de estado de prueba.

espinor · producto tensorial · entrelazamiento · teoría de perturbaciones

Ejemplo resuelto

Se mide a lo largo de x un estado con espín hacia arriba en z. ¿Qué probabilidades salen?

  1. 1. Escribe |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
  2. 2. Proyecta sobre los autoestados de x.
  3. 3. Eleva las amplitudes al cuadrado.

Arriba en x y abajo en x salen cada uno con probabilidad 1/2.

Pruébalo

Estimación variacional del estado fundamental

Materiales: Un cuaderno y una función de onda de prueba con parámetros.

  1. 1. Normaliza el estado de prueba.
  2. 2. Calcula ⟨H⟩ frente al parámetro.
  3. 3. Minimiza de forma numérica.
  4. 4. Compáralo con un valor de referencia conocido.

Fíjate: El mínimo variacional es una cota superior de la energía fundamental verdadera dentro del hamiltoniano modelado.

Comprueba lo que entendiste: ¿Permite el entrelazamiento enviar mensajes controlados más rápido que la luz?

Respuesta: No.

Los resultados locales siguen siendo aleatorios; las correlaciones exigen una comparación clásica y respetan la ausencia de señalización.

De la fórmula al significado

Lee la ecuación en lenguaje corriente.

  1. iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩

    El hamiltoniano genera la evolución unitaria del estado cuántico.

  2. ⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩

    El valor esperado promedia los resultados de un observable en un estado.

  3. ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|

    Los observables que no conmutan imponen una cota de incertidumbre que depende del estado.

Práctica independiente

Serie de problemas

Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.

  1. 1. Normaliza ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ en x≥0 para a>0.

    Ver la pista

    Impón ∫|ψ|²dx=1.

    Ver la solución

    A=√(2a), eligiendo la fase real positiva.

  2. 2. Para [x,p]=iℏ, recupera la cota de incertidumbre de posición y momento.

    Ver la pista

    Usa la desigualdad general del conmutador.

    Ver la solución

    ΔxΔp≥ℏ/2.

  3. 3. ¿En cuánto desplaza a primer orden una perturbación λx un estado fundamental par bajo paridad?

    Ver la pista

    Evalúa λ⟨0|x|0⟩ y usa la paridad.

    Ver la solución

    El desplazamiento a primer orden es cero para un estado par en un sistema no perturbado con simetría de paridad.

Taller de derivación

Construye el resultado, línea a línea.

Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.

  1. Punto de partida

    El espectro del pozo cuadrado infinito

    −(ℏ²/2m)ψ″=Eψ en 0<x<L

    1. 1. Haz k²=2mE/ℏ².
    2. 2. Resuelve ψ=A sin kx+B cos kx.
    3. 3. Aplica ψ(0)=0 para fijar B=0.
    4. 4. Aplica ψ(L)=0 para exigir kL=nπ.

    Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)

    La cuantización de la energía sale de la dinámica ondulatoria más las condiciones de contorno.

  2. Punto de partida

    La energía perturbativa de primer orden

    H=H₀+λV y desarrollo de |n⟩ en potencias de λ

    1. 1. Introduce la serie en H|ψ⟩=E|ψ⟩.
    2. 2. Agrupa los términos de primer orden.
    3. 3. Proyecta con ⟨n⁰|.
    4. 4. Usa la ortonormalidad y la relación de autovalores de H₀.

    Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩

    El desplazamiento de primer orden es el valor esperado de la perturbación en el estado no perturbado.

Cuaderno computacional

Convierte el modelo en un experimento.

  1. Evolución de un paquete de ondas

    ¿Cómo remodelan la dispersión y la difusión por una barrera un paquete gaussiano?

    Entradas

    • • Centro, anchura y momento medio del paquete
    • • Malla y paso de tiempo
    • • Potencial libre o con barrera

    Algoritmo

    1. 1. Construye y normaliza ψ.
    2. 2. Propágala con un método estable de paso dividido o de Crank–Nicolson.
    3. 3. Sigue la norma y la energía.
    4. 4. Mide la reflexión, la transmisión y el ensanchamiento.

    Evidencia que producir

    • • Gráfica espacio-temporal de la densidad de probabilidad
    • • Diagnósticos de conservación de la norma y de la energía
    • • Reflexión y transmisión frente a la energía

Sigue hacia la evidencia

Próxima lectura, con sus fuentes