The Spacetime Metric
Nivel 3 · Núcleo universitarioPrimer y segundo año de universidadUnas 16 horas

Campos y potenciales electromagnéticos

Deduce la dinámica de Maxwell con cálculo vectorial, potenciales, gauges, ondas, energía y momento.

Modelo interactivo

Explora antes de calcular

Modos de campo separados en componentes matemáticas longitudinales y transversales.
Las descomposiciones de los potenciales son matemáticas útiles. Los campos observables y las fases invariantes de gauge son los que determinan las predicciones físicas.

Laboratorio interactivo

Explorador de potencial, campo y calibración

Mueve un punto de muestra entre dos fuentes y luego desplaza el potencial escalar cero. El valor potencial se mueve con el desplazamiento de gauge mientras el campo observable permanece sin cambios.

+−

Posibles φ: 0.400 Unidades normalizadas

Campo E: (0.384, 0.096)

| E|: 0.396

Desplazamiento de calibre: 0.0

Añadir una constante cambia la etiqueta de potencial pero no E = −∇φ. La libertad de calibre cambia la descripción; las fuerzas medibles y las diferencias de fase invariantes a la calibre no se vuelven arbitrarias.

Nivel 3 · Núcleo universitario · Kit docente

Registra la investigación. Enseña el razonamiento.

Un registro de laboratorio para estudiantes y una guía específica para docentes convierten el modelo interactivo en una investigación repetible.

Registro del estudiante

Reconstrucción de potencial equivalente a gauge

¿Qué magnitudes graficadas pueden cambiar bajo una transformación de calibre mientras los observables eléctricos y magnéticos permanecen sin cambios?

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Guía del docente

Enseña la investigación, no la interfaz

Los aprendices distinguen la libertad de gauge representacional de campos, bucles y fuerzas medidas invariantes a gauge.

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Lección 1 de 3

Las ecuaciones de Maxwell: local y global

¿Cómo determinan las fuentes de dentro de una región el flujo y la circulación en su contorno?

Los teoremas de Gauss y de Stokes traducen entre las leyes diferenciales y las mediciones integrales. La carga es la fuente de la divergencia eléctrica; la divergencia magnética sigue siendo cero en el electromagnetismo estándar.

La inducción de Faraday y la ley de Ampère–Maxwell acoplan los campos eléctrico y magnético que varían en el tiempo.

teorema de Gauss · teorema de Stokes · corriente de desplazamiento · condición de contorno

Ejemplo resuelto

Usa la ley de Gauss para una carga puntual con simetría esférica.

  1. 1. Elige una esfera de radio r.
  2. 2. E es radial y de módulo constante sobre la esfera.
  3. 3. E(4πr²)=q/ε₀.

E=q/(4πε₀r²) r̂.

Pruébalo

Elegir la superficie de integración

Materiales: Diagramas de campo y varias superficies candidatas.

  1. 1. Identifica la simetría.
  2. 2. Elige superficies donde el módulo del campo sea constante o tangente.
  3. 3. Evalúa los trozos del flujo.
  4. 4. Compáralo con la fuente encerrada.

Fíjate: Un contorno bien elegido convierte una integral de campo difícil en una relación algebraica sencilla.

Comprueba lo que entendiste: ¿Qué afirma ∇·B=0?

Respuesta: Que en la teoría estándar de Maxwell el campo magnético no tiene una fuente monopolar local observada.

Las líneas de flujo magnético forman lazos cerrados o atraviesan los contornos sin empezar ni terminar localmente.

Lección 2 de 3

Potenciales y libertad de gauge

¿Cómo pueden potenciales distintos describir los mismos campos electromagnéticos?

B = ∇ × A y E=−∇φ−∂A/∂t expresan los campos mediante los potenciales escalar y vector. Añadir un gradiente generado por el gauge y compensar con el cambio escalar deja E y B sin cambios.

La libertad de gauge es una redundancia descriptiva, no un permiso para elegir observables nuevos. Las fases cuánticas pueden depender de información de lazo invariante de gauge incluso allí donde los campos locales se anulan.

potencial escalar · potencial vector · transformación de gauge · efecto Aharonov–Bohm

Ejemplo resuelto

Demuestra que A′=A+∇χ deja B sin cambios.

  1. 1. Calcula B′=∇×A′.
  2. 2. Desarrolla ∇×A+∇×∇χ.
  3. 3. El rotacional de un gradiente es cero.

B′=B.

Pruébalo

Mapas de potenciales equivalentes por gauge

Materiales: Un cuaderno con un campo A sencillo y una χ elegida.

  1. 1. Calcula A′=A+∇χ.
  2. 2. Toma los rotacionales de forma numérica.
  3. 3. Compara B y B′.
  4. 4. Identifica qué rasgos representados cambiaron sin que cambiara el campo físico.

Fíjate: Las componentes del potencial pueden cambiar muchísimo mientras los campos invariantes de gauge siguen siendo idénticos.

Comprueba lo que entendiste: ¿Un potencial vector distinto de cero en un punto implica automáticamente una fuerza local medible?

Respuesta: No.

La fuerza de Lorentz local depende de E y de B; los observables de fase cuántica dependen de combinaciones de camino o de flujo invariantes de gauge.

Lección 3 de 3

Ondas, cavidades y energía-momento

¿Cómo transportan los campos energía y momento a través del espacio y de los contornos?

Las ecuaciones de Maxwell sin fuentes dan ondas con velocidad 1/√(μ₀ε₀). Las condiciones de contorno seleccionan los modos de la cavidad y la respuesta del material cambia las predicciones de fuerza real.

El vector de Poynting da el flujo de energía, mientras que el tensor de tensiones de Maxwell describe la transferencia de momento y la presión.

vector de Poynting · tensor de tensiones de Maxwell · modo de cavidad · presión de radiación

Ejemplo resuelto

Halla la intensidad promediada en el tiempo de una onda plana con campo eléctrico de pico E₀.

  1. 1. La amplitud magnética es B₀=E₀/c.
  2. 2. Usa S=(1/μ₀)E×B.
  3. 3. Promedia cos² a lo largo de un ciclo, lo que da 1/2.

⟨S⟩=½cε₀E₀².

Pruébalo

Solucionador de modos de cavidad

Materiales: Una malla en el cuaderno y las dimensiones de una cavidad rectangular.

  1. 1. Elige índices de modo enteros.
  2. 2. Calcula las frecuencias permitidas.
  3. 3. Representa los nodos del campo.
  4. 4. Cambia una dimensión y sigue los desplazamientos espectrales.

Fíjate: La geometría selecciona los modos, pero el material y la excitación de la cavidad determinan la energía y la fuerza reales.

Comprueba lo que entendiste: ¿Qué cantidad hay que integrar para hallar la potencia electromagnética a través de una superficie?

Respuesta: El vector de Poynting multiplicado escalarmente por el elemento de superficie.

∫S·dA da el ritmo neto de flujo de energía electromagnética.

De la fórmula al significado

Lee la ecuación en lenguaje corriente.

  1. ∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t

    La carga es la fuente del flujo eléctrico; la corriente y el campo eléctrico cambiante son la fuente de la circulación magnética.

  2. B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t

    Los potenciales escalar y vector generan los campos observables.

  3. S=(1/μ₀)E×B

    El vector de Poynting da el flujo de energía electromagnética.

Práctica independiente

Serie de problemas

Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.

  1. 1. Halla el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra 3 nC.

    Ver la pista

    Usa ΦE=q/ε₀.

    Ver la solución

    Aproximadamente 339 N·m²/C.

  2. 2. Comprueba que φ′=φ−∂χ/∂t junto con A′=A+∇χ deja E sin cambios.

    Ver la pista

    Sustituye los dos potenciales con prima y cancela las derivadas mixtas.

    Ver la solución

    E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.

  3. 3. Se absorbe un haz de 2 mW. Estima la fuerza.

    Ver la pista

    Usa F=P/c.

    Ver la solución

    Unos 6,7×10⁻¹² N.

Taller de derivación

Construye el resultado, línea a línea.

Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.

  1. Punto de partida

    La ecuación de ondas electromagnéticas

    Sin fuentes: ∇×E=−∂B/∂t y ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t

    1. 1. Toma el rotacional de la ley de Faraday.
    2. 2. Usa ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
    3. 3. Impón ∇·E=0 al no haber fuentes.
    4. 4. Sustituye la ley de Ampère–Maxwell.

    ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0

    Las leyes de campo acopladas contienen ondas con c=1/√(μ₀ε₀).

  2. Punto de partida

    El teorema de Poynting

    Multiplica escalarmente la ecuación de Ampère–Maxwell por E y la de Faraday por B

    1. 1. Resta los dos productos escalares.
    2. 2. Usa la identidad vectorial para ∇·(E×B).
    3. 3. Agrupa las derivadas temporales de la energía del campo.
    4. 4. Identifica J·E como el trabajo sobre la materia.

    ∂u/∂t+∇·S=−J·E

    La conservación local de la energía electromagnética separa el almacenamiento en el campo, el flujo y la transferencia a las cargas.

Cuaderno computacional

Convierte el modelo en un experimento.

  1. El espectro de una cavidad rectangular

    ¿Cómo moldean la geometría y los índices de modo la densidad de frecuencias de una cavidad?

    Entradas

    • • Longitudes de los lados de la cavidad
    • • Límites de los índices de modo
    • • Velocidad de onda del material, opcional

    Algoritmo

    1. 1. Enumera las ternas de enteros.
    2. 2. Calcula las frecuencias permitidas.
    3. 3. Ordena los modos y haz su histograma.
    4. 4. Perturba cada dimensión.

    Evidencia que producir

    • • Tabla de frecuencias e histograma de densidad
    • • Cortes con la forma de los modos
    • • Sensibilidad de las resonancias a la geometría

Sigue hacia la evidencia

Próxima lectura, con sus fuentes