Mecánica lagrangiana y hamiltoniana
Cambia la contabilidad fuerza a fuerza por la acción, las coordenadas generalizadas, la simetría y el espacio de fases.
Deduce las ecuaciones de Euler–Lagrange y de Hamilton, conecta las simetrías continuas con las cantidades conservadas y prepara el puente formal hacia los campos y la mecánica cuántica.
Antes de empezar
- • Cálculo, vectores y ecuaciones diferenciales
- • Mecánica del nivel 2
- • Derivadas parciales
Al terminar, podrás
- • Construir L=T−V en coordenadas generalizadas.
- • Deducir y resolver las ecuaciones de Euler–Lagrange.
- • Identificar coordenadas cíclicas y momentos conservados.
- • Pasar de la descripción lagrangiana a la hamiltoniana y a la del espacio de fases.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Lección 1 de 3
La acción y las ecuaciones de Euler–Lagrange
¿Cómo puede una sola regla de acción estacionaria codificar las ecuaciones de Newton?
La acción S=∫Ldt asigna un número a un camino entero. El camino físico hace que el cambio de primer orden de S se anule ante variaciones con extremos fijos.
Para partículas ordinarias, L=T−V. La ecuación de Euler–Lagrange se obtiene integrando por partes y vale igual de bien en coordenadas no cartesianas.
Ejemplo resuelto
Para L=½m q̇²−V(q), deduce el movimiento.
- 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. d/dt da mq̈.
- 3. ∂L/∂q=−dV/dq.
mq̈=−dV/dq, la ley de Newton para una fuerza conservativa.
Pruébalo
La acción de caminos rivales
Materiales: Una hoja de cálculo con caminos de prueba entre extremos fijos.
- 1. Elige un lagrangiano de oscilador armónico.
- 2. Evalúa la acción discreta para varios caminos.
- 3. Perturba el camino cercano a la solución.
- 4. Compara los cambios de acción de primer orden.
Fíjate: Estacionario no siempre significa mínimo, pero los cambios cercanos de primer orden se cancelan sobre el camino físico.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué deben anularse las variaciones en los extremos en la deducción estándar?
Respuesta: Para que desaparezca el término de contorno que aparece al integrar por partes.
Los caminos comparados comparten la configuración inicial y la final.
Lección 2 de 3
Simetría y conservación
¿Por qué ignorar una coordenada absoluta produce un momento conservado?
Si L no depende explícitamente de una coordenada, esa coordenada es cíclica y su momento conjugado se conserva.
El teorema de Noether generaliza esto: las simetrías continuas de la acción corresponden a corrientes o cargas conservadas.
Ejemplo resuelto
L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). ¿Qué se conserva?
- 1. L no contiene x.
- 2. Euler–Lagrange da d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
- 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.
El momento en x se conserva porque las traslaciones en x dejan la acción sin cambios.
Pruébalo
Auditoría de simetrías
Materiales: Varios lagrangianos sencillos.
- 1. Marca las coordenadas ausentes.
- 2. Calcula los momentos conjugados.
- 3. Identifica la invariancia bajo traslación temporal.
- 4. Predice las cantidades conservadas antes de resolver.
Fíjate: La conservación pasa a ser una consecuencia estructural, no una regla aparte que hay que memorizar.
Comprueba lo que entendiste: ¿Qué simetría va asociada a la conservación de la energía?
Respuesta: La simetría continua de traslación en el tiempo.
Cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la energía de tipo hamiltoniano se conserva bajo las condiciones habituales.
Lección 3 de 3
Hamiltonianos y espacio de fases
¿Qué cambia cuando las posiciones y los momentos pasan a ser coordenadas de estado independientes?
El hamiltoniano H=Σpᵢq̇ᵢ−L es una transformada de Legendre. Las ecuaciones de primer orden de Hamilton hacen evolucionar juntos las coordenadas y los momentos.
El espacio de fases revela superficies conservadas, estabilidad y una estructura canónica que después será central en la mecánica estadística y en la cuántica.
Ejemplo resuelto
Halla H para L=½mq̇²−½kq².
- 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. Escribe q̇=p/m.
- 3. Calcula H=pq̇−L.
H=p²/(2m)+½kq², la energía total del oscilador.
Pruébalo
Retrato de fases
Materiales: Un cuaderno o una herramienta de representación gráfica.
- 1. Integra la q y la p del oscilador.
- 2. Representa p frente a q.
- 3. Cambia la energía inicial.
- 4. Relaciona las curvas cerradas con la conservación.
Fíjate: Cada trayectoria de energía conservada forma una elipse en el espacio de fases del oscilador.
Comprueba lo que entendiste: ¿Cuántas ecuaciones de Hamilton de primer orden sustituyen a una ecuación de segundo orden por coordenada?
Respuesta: Dos: una para q̇ y otra para ṗ.
El estado en el espacio de fases contiene tanto la coordenada como el momento conjugado.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
S=∫L(q,q̇,t)dt
La acción asigna un escalar a un camino completo.
d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0
Las ecuaciones de Euler–Lagrange determinan el movimiento de acción estacionaria.
q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ
Las ecuaciones de Hamilton generan el flujo en el espacio de fases.
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Deduce la ecuación del péndulo a partir de L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).
Ver la pista
Calcula las derivadas respecto a θ̇ y a θ.
Ver la solución
θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.
2. Para una partícula libre en coordenadas polares, identifica la coordenada cíclica.
Ver la pista
L=½m(ṙ²+r²φ̇²).
Ver la solución
φ es cíclica, así que pφ=mr²φ̇ es el momento angular conservado.
3. Escribe las ecuaciones de Hamilton para H=p²/(2m)+V(q).
Ver la pista
Deriva H una vez respecto a cada variable del espacio de fases.
Ver la solución
q̇=p/m y ṗ=−dV/dq.
Taller de derivación
Construye el resultado, línea a línea.
Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.
Punto de partida
La ecuación de Euler–Lagrange
δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0
- 1. Desarrolla δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
- 2. Usa δq̇=d(δq)/dt.
- 3. Integra el segundo término por partes.
- 4. Elimina los términos de contorno con extremos fijos y exige que se anule el coeficiente de un δq arbitrario.
d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0
Una condición global de camino estacionario se convierte en una ecuación diferencial local.
Punto de partida
Las ecuaciones de Hamilton a partir de la transformada de Legendre
H(q,p,t)=pq̇−L with p=∂L/∂q̇
- 1. Toma el diferencial total dH.
- 2. Sustituye los términos de dL.
- 3. Cancela p d q̇.
- 4. Iguala los coeficientes de dq, dp y dt.
q̇=∂H/∂p and ṗ=−∂H/∂q
La dinámica se convierte en un flujo canónico sobre el espacio de fases.
Cuaderno computacional
Convierte el modelo en un experimento.
El espacio de fases del péndulo no lineal
¿Dónde deja la aproximación de ángulo pequeño de conservar el periodo real y el retrato de fases?
Entradas
- • ℓ, g, ángulo y velocidad angular iniciales
- • modelos con el sinθ exacto y con la θ lineal
Algoritmo
- 1. Integra las dos ecuaciones.
- 2. Mide el periodo frente a la amplitud.
- 3. Representa los retratos de fases.
- 4. Cuantifica el error relativo del periodo.
Evidencia que producir
- • Curva de periodo frente a amplitud
- • Retratos de fases exacto y aproximado
- • Un umbral de aproximación justificado
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Clase 3: La relatividad general
El movimiento geodésico y las ecuaciones de campo surgen de forma natural de los principios variacionales.
Capítulo 4: El tensor métrico
La ruta basada en la acción hacia la geometría relativista y las métricas exóticas.
Clase 7: La teoría cuántica de campos y el vacío
Los campos extienden el lagrangiano de las coordenadas a los valores en cada punto.