Mécanique lagrangienne et hamiltonienne
Remplacez la comptabilité force par force par l'action, les coordonnées généralisées, la symétrie et l'espace des phases.
Dérivez les équations d'Euler–Lagrange et de Hamilton, reliez les symétries continues aux grandeurs conservées, et préparez le pont formel vers les champs et la mécanique quantique.
Avant de commencer
- • Calcul différentiel, vecteurs et équations différentielles
- • Mécanique du niveau 2
- • Dérivées partielles
À la fin, vous saurez
- • Construire L=T−V en coordonnées généralisées.
- • Dériver et résoudre les équations d'Euler–Lagrange.
- • Repérer les coordonnées cycliques et les moments conservés.
- • Passer d'une description lagrangienne à une description hamiltonienne et à l'espace des phases.
Modèle interactif
Explorez avant de calculer
Leçon 1 sur 3
Action et équations d'Euler–Lagrange
Comment une seule règle d'action stationnaire peut-elle encoder les équations de Newton ?
L'action S=∫Ldt attribue un nombre à un chemin entier. Le chemin physique annule la variation de S au premier ordre, à extrémités fixées.
Pour des particules ordinaires, L=T−V. L'équation d'Euler–Lagrange s'obtient par intégration par parties et s'applique tout aussi bien en coordonnées non cartésiennes.
Exemple résolu
Pour L=½m q̇²−V(q), dérivez l'équation du mouvement.
- 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. d/dt donne mq̈.
- 3. ∂L/∂q=−dV/dq.
mq̈=−dV/dq, la loi de Newton pour une force conservative.
Essayez
L'action de chemins concurrents
Matériel : Un tableur avec des chemins d'essai entre des extrémités fixées.
- 1. Choisissez le lagrangien d'un oscillateur harmonique.
- 2. Évaluez l'action discrète pour plusieurs chemins.
- 3. Perturbez le chemin proche de la solution.
- 4. Comparez les variations d'action au premier ordre.
Observez : Stationnaire ne veut pas toujours dire minimal, mais les variations voisines au premier ordre s'annulent sur le chemin physique.
Vérifiez votre compréhension : Pourquoi les variations aux extrémités doivent-elles s'annuler dans la dérivation standard ?
Réponse : Pour que le terme de bord issu de l'intégration par parties disparaisse.
Les chemins comparés partagent les mêmes configurations initiale et finale.
Leçon 2 sur 3
Symétrie et conservation
Pourquoi ignorer une coordonnée absolue produit-il un moment conservé ?
Si L ne dépend pas explicitement d'une coordonnée, cette coordonnée est cyclique et son moment conjugué est conservé.
Le théorème de Noether généralise ce constat : les symétries continues de l'action correspondent à des courants ou à des charges conservés.
Exemple résolu
L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). Qu'est-ce qui est conservé ?
- 1. L ne contient pas x.
- 2. Euler–Lagrange donne d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
- 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.
La quantité de mouvement selon x est conservée, car les translations en x laissent l'action inchangée.
Essayez
Audit de symétries
Matériel : Plusieurs lagrangiens simples.
- 1. Marquez les coordonnées absentes.
- 2. Calculez les moments conjugués.
- 3. Repérez l'invariance par translation dans le temps.
- 4. Prévoyez les grandeurs conservées avant de résoudre.
Observez : La conservation devient une conséquence structurelle et non une règle apprise à part.
Vérifiez votre compréhension : À quelle symétrie la conservation de l'énergie est-elle associée ?
Réponse : La symétrie continue de translation dans le temps.
Quand le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, l'énergie de type hamiltonien est conservée dans les conditions usuelles.
Leçon 3 sur 3
Hamiltoniens et espace des phases
Qu'est-ce qui change quand positions et moments deviennent des coordonnées d'état indépendantes ?
Le hamiltonien H=Σpᵢq̇ᵢ−L est une transformée de Legendre. Les équations du premier ordre de Hamilton font évoluer ensemble coordonnées et moments.
L'espace des phases révèle des surfaces conservées, la stabilité et une structure canonique qui deviendra centrale en mécanique statistique et quantique.
Exemple résolu
Trouvez H pour L=½mq̇²−½kq².
- 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. Écrivez q̇=p/m.
- 3. Calculez H=pq̇−L.
H=p²/(2m)+½kq², l'énergie totale de l'oscillateur.
Essayez
Portrait de phase
Matériel : Un carnet de code ou un outil de tracé.
- 1. Intégrez q et p pour l'oscillateur.
- 2. Tracez p en fonction de q.
- 3. Changez l'énergie initiale.
- 4. Reliez les courbes fermées à la conservation.
Observez : Chaque trajectoire à énergie conservée forme une ellipse dans l'espace des phases de l'oscillateur.
Vérifiez votre compréhension : Combien d'équations de Hamilton du premier ordre remplacent une équation du second ordre par coordonnée ?
Réponse : Deux : une pour q̇ et une pour ṗ.
L'état dans l'espace des phases contient à la fois la coordonnée et le moment conjugué.
De la formule au sens
Lisez l'équation en langage courant.
S=∫L(q,q̇,t)dt
L'action attribue un scalaire à un chemin complet.
d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0
Les équations d'Euler–Lagrange déterminent le mouvement à action stationnaire.
q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ
Les équations de Hamilton engendrent l'écoulement dans l'espace des phases.
Pratique autonome
Série d'exercices
Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.
1. Dérivez l'équation du pendule à partir de L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).
Voir l'indice
Calculez les dérivées par rapport à θ̇ et à θ.
Voir la solution
θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.
2. Pour une particule libre en coordonnées polaires, identifiez la coordonnée cyclique.
Voir l'indice
L=½m(ṙ²+r²φ̇²).
Voir la solution
φ est cyclique, donc pφ=mr²φ̇ est un moment cinétique conservé.
3. Écrivez les équations de Hamilton pour H=p²/(2m)+V(q).
Voir l'indice
Dérivez H une fois par rapport à chaque variable de phase.
Voir la solution
q̇=p/m et ṗ=−dV/dq.
Atelier de dérivation
Construisez le résultat, ligne par ligne.
Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.
Point de départ
L'équation d'Euler–Lagrange
δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0
- 1. Développez δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
- 2. Utilisez δq̇=d(δq)/dt.
- 3. Intégrez le second terme par parties.
- 4. Supprimez les termes de bord à extrémités fixées et exigez l'annulation du coefficient de δq arbitraire.
d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0
Une condition globale de chemin stationnaire devient une équation différentielle locale.
Point de départ
Les équations de Hamilton à partir de la transformée de Legendre
H(q,p,t)=pq̇−L with p=∂L/∂q̇
- 1. Prenez la différentielle totale dH.
- 2. Substituez les termes de dL.
- 3. Simplifiez p d q̇.
- 4. Identifiez les coefficients de dq, dp et dt.
q̇=∂H/∂p and ṗ=−∂H/∂q
La dynamique devient un écoulement canonique dans l'espace des phases.
Carnet de calcul
Transformez le modèle en expérience.
L'espace des phases du pendule non linéaire
À partir d'où l'approximation des petits angles cesse-t-elle de préserver la vraie période et le vrai portrait de phase ?
Entrées
- • ℓ, g, angle et vitesse angulaire initiaux
- • modèles en sinθ exact et en θ linéaire
Algorithme
- 1. Intégrez les deux équations.
- 2. Mesurez la période en fonction de l'amplitude.
- 3. Tracez les portraits de phase.
- 4. Quantifiez l'erreur relative de période.
Preuves à produire
- • Courbe période-amplitude
- • Portraits de phase exact et approché
- • Un seuil d'approximation justifié
Poursuivez vers les preuves
Lecture suivante, avec ses sources
Cours 3 : La relativité générale
Le mouvement géodésique et les équations de champ émergent naturellement de principes variationnels.
Chapitre 4 : Le tenseur métrique
La voie par l'action vers la géométrie relativiste et les métriques exotiques.
Cours 7 : La théorie quantique des champs et le vide
Les champs étendent le lagrangien des coordonnées aux valeurs en chaque point.