The Spacetime Metric
Niveau 3 · Tronc commun de licenceLicence, 1re et 2e annéeEnviron 15 heures

Mécanique lagrangienne et hamiltonienne

Remplacez la comptabilité force par force par l'action, les coordonnées généralisées, la symétrie et l'espace des phases.

Modèle interactif

Explorez avant de calculer

Un degré de liberté central avec un axe d’accélération appliqué et des échantillons de réponse autour de lui.
La mécanique variationnelle isole les degrés de liberté et l'action avant d'attribuer une interprétation microscopique à l'inertie.

Laboratoire interactif

Atelier de chemin à action stationnaire

Comparez les chemins d’essai à extrémités fixes q(t)=qclassical(t)+α sin(πt/T). Le chemin d’Euler–Lagrange se situe à α=0, où le changement d’action du premier ordre s’annule.

α=−2α=0α=2

Fréquence de l’oscillateur : 1.000

ωT : 1.000

Action sur chemin classique : 3.2105e-1

Action sur la voie d’essai : 3.2105e-1

ΔS : 0.0000e+0

Décalage de chemin maximal : 0.00

Les petits α positifs et négatifs produisent le même changement d’action quadratique en tête dans cette famille d’essais, tandis que le changement linéaire s’annule à α=0. C’est la signature numérique de la stationnité.

Les plages de paramètres maintiennent ωT en dessous de π, donc le chemin classique est un minimum local au sein de cette famille de variations sinusoïdals. L’action stationnaire n’est pas universellement un minimum, et cet oscillateur à une coordonnée ne remplace pas une dérivation variationnelle générale ni une analyse hamiltonienne contrainte.

Niveau 3 · Tronc commun de licence · Kit pédagogique

Consignez l’enquête. Enseignez le raisonnement.

Un carnet de laboratoire pour l’apprenant et un guide spécifique pour l’enseignant transforment le modèle interactif en enquête reproductible.

Carnet de l’apprenant

Test d’action stationnaire fixe

Comment le chemin de l’oscillateur classique réagit-il aux variations positives et négatives qui partagent ses extrémités ?

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Guide de l’enseignant

Enseignez l’enquête, pas l’interface

Les apprenants interprètent l’action stationnaire comme l’annulation des variations du premier ordre à extrémité fixe plutôt qu’un chemin sans force ou universellement minimum.

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Leçon 1 sur 3

Action et équations d'Euler–Lagrange

Comment une seule règle d'action stationnaire peut-elle encoder les équations de Newton ?

L'action S=∫Ldt attribue un nombre à un chemin entier. Le chemin physique annule la variation de S au premier ordre, à extrémités fixées.

Pour des particules ordinaires, L=T−V. L'équation d'Euler–Lagrange s'obtient par intégration par parties et s'applique tout aussi bien en coordonnées non cartésiennes.

action · variation · lagrangien · coordonnée généralisée

Exemple résolu

Pour L=½m q̇²−V(q), dérivez l'équation du mouvement.

  1. 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. d/dt donne mq̈.
  3. 3. ∂L/∂q=−dV/dq.

mq̈=−dV/dq, la loi de Newton pour une force conservative.

Essayez

L'action de chemins concurrents

Matériel : Un tableur avec des chemins d'essai entre des extrémités fixées.

  1. 1. Choisissez le lagrangien d'un oscillateur harmonique.
  2. 2. Évaluez l'action discrète pour plusieurs chemins.
  3. 3. Perturbez le chemin proche de la solution.
  4. 4. Comparez les variations d'action au premier ordre.

Observez : Stationnaire ne veut pas toujours dire minimal, mais les variations voisines au premier ordre s'annulent sur le chemin physique.

Vérifiez votre compréhension : Pourquoi les variations aux extrémités doivent-elles s'annuler dans la dérivation standard ?

Réponse : Pour que le terme de bord issu de l'intégration par parties disparaisse.

Les chemins comparés partagent les mêmes configurations initiale et finale.

Leçon 2 sur 3

Symétrie et conservation

Pourquoi ignorer une coordonnée absolue produit-il un moment conservé ?

Si L ne dépend pas explicitement d'une coordonnée, cette coordonnée est cyclique et son moment conjugué est conservé.

Le théorème de Noether généralise ce constat : les symétries continues de l'action correspondent à des courants ou à des charges conservés.

coordonnée cyclique · moment conjugué · théorème de Noether · symétrie

Exemple résolu

L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). Qu'est-ce qui est conservé ?

  1. 1. L ne contient pas x.
  2. 2. Euler–Lagrange donne d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
  3. 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.

La quantité de mouvement selon x est conservée, car les translations en x laissent l'action inchangée.

Essayez

Audit de symétries

Matériel : Plusieurs lagrangiens simples.

  1. 1. Marquez les coordonnées absentes.
  2. 2. Calculez les moments conjugués.
  3. 3. Repérez l'invariance par translation dans le temps.
  4. 4. Prévoyez les grandeurs conservées avant de résoudre.

Observez : La conservation devient une conséquence structurelle et non une règle apprise à part.

Vérifiez votre compréhension : À quelle symétrie la conservation de l'énergie est-elle associée ?

Réponse : La symétrie continue de translation dans le temps.

Quand le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, l'énergie de type hamiltonien est conservée dans les conditions usuelles.

Leçon 3 sur 3

Hamiltoniens et espace des phases

Qu'est-ce qui change quand positions et moments deviennent des coordonnées d'état indépendantes ?

Le hamiltonien H=Σpᵢq̇ᵢ−L est une transformée de Legendre. Les équations du premier ordre de Hamilton font évoluer ensemble coordonnées et moments.

L'espace des phases révèle des surfaces conservées, la stabilité et une structure canonique qui deviendra centrale en mécanique statistique et quantique.

hamiltonien · espace des phases · transformée de Legendre · crochet de Poisson

Exemple résolu

Trouvez H pour L=½mq̇²−½kq².

  1. 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. Écrivez q̇=p/m.
  3. 3. Calculez H=pq̇−L.

H=p²/(2m)+½kq², l'énergie totale de l'oscillateur.

Essayez

Portrait de phase

Matériel : Un carnet de code ou un outil de tracé.

  1. 1. Intégrez q et p pour l'oscillateur.
  2. 2. Tracez p en fonction de q.
  3. 3. Changez l'énergie initiale.
  4. 4. Reliez les courbes fermées à la conservation.

Observez : Chaque trajectoire à énergie conservée forme une ellipse dans l'espace des phases de l'oscillateur.

Vérifiez votre compréhension : Combien d'équations de Hamilton du premier ordre remplacent une équation du second ordre par coordonnée ?

Réponse : Deux : une pour q̇ et une pour ṗ.

L'état dans l'espace des phases contient à la fois la coordonnée et le moment conjugué.

De la formule au sens

Lisez l'équation en langage courant.

  1. S=∫L(q,q̇,t)dt

    L'action attribue un scalaire à un chemin complet.

  2. d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0

    Les équations d'Euler–Lagrange déterminent le mouvement à action stationnaire.

  3. q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ

    Les équations de Hamilton engendrent l'écoulement dans l'espace des phases.

Pratique autonome

Série d'exercices

Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.

  1. 1. Dérivez l'équation du pendule à partir de L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).

    Voir l'indice

    Calculez les dérivées par rapport à θ̇ et à θ.

    Voir la solution

    θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.

  2. 2. Pour une particule libre en coordonnées polaires, identifiez la coordonnée cyclique.

    Voir l'indice

    L=½m(ṙ²+r²φ̇²).

    Voir la solution

    φ est cyclique, donc pφ=mr²φ̇ est un moment cinétique conservé.

  3. 3. Écrivez les équations de Hamilton pour H=p²/(2m)+V(q).

    Voir l'indice

    Dérivez H une fois par rapport à chaque variable de phase.

    Voir la solution

    q̇=p/m et ṗ=−dV/dq.

Atelier de dérivation

Construisez le résultat, ligne par ligne.

Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.

  1. Point de départ

    L'équation d'Euler–Lagrange

    δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0

    1. 1. Développez δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
    2. 2. Utilisez δq̇=d(δq)/dt.
    3. 3. Intégrez le second terme par parties.
    4. 4. Supprimez les termes de bord à extrémités fixées et exigez l'annulation du coefficient de δq arbitraire.

    d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0

    Une condition globale de chemin stationnaire devient une équation différentielle locale.

  2. Point de départ

    Les équations de Hamilton à partir de la transformée de Legendre

    H(q,p,t)=pq̇−L avec p=∂L/∂q̇

    1. 1. Prenez la différentielle totale dH.
    2. 2. Substituez les termes de dL.
    3. 3. Simplifiez p d q̇.
    4. 4. Identifiez les coefficients de dq, dp et dt.

    q̇=∂H/∂p et ṗ=−∂H/∂q

    La dynamique devient un écoulement canonique dans l'espace des phases.

Carnet de calcul

Transformez le modèle en expérience.

  1. L'espace des phases du pendule non linéaire

    À partir d'où l'approximation des petits angles cesse-t-elle de préserver la vraie période et le vrai portrait de phase ?

    Entrées

    • • ℓ, g, angle et vitesse angulaire initiaux
    • • modèles en sinθ exact et en θ linéaire

    Algorithme

    1. 1. Intégrez les deux équations.
    2. 2. Mesurez la période en fonction de l'amplitude.
    3. 3. Tracez les portraits de phase.
    4. 4. Quantifiez l'erreur relative de période.

    Preuves à produire

    • • Courbe période-amplitude
    • • Portraits de phase exact et approché
    • • Un seuil d'approximation justifié

Poursuivez vers les preuves

Lecture suivante, avec ses sources