Mecânica lagrangiana e hamiltoniana
Troque a contabilidade força a força por ação, coordenadas generalizadas, simetria e espaço de fase.
Deduza as equações de Euler–Lagrange e de Hamilton, conecte simetrias contínuas a grandezas conservadas e prepare a ponte formal para campos e para a mecânica quântica.
Antes de começar
- • Cálculo, vetores e equações diferenciais
- • Mecânica do Nível 2
- • Derivadas parciais
Ao final, você consegue
- • Construir L=T−V em coordenadas generalizadas.
- • Deduzir e resolver equações de Euler–Lagrange.
- • Identificar coordenadas cíclicas e momentos conservados.
- • Traduzir entre as descrições lagrangiana, hamiltoniana e de espaço de fase.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Lição 1 de 3
Ação e equações de Euler–Lagrange
Como uma única regra de ação estacionária pode codificar as equações de Newton?
A ação S=∫Ldt atribui um número a um caminho inteiro. O caminho físico faz a variação de primeira ordem de S se anular sob variações com extremidades fixas.
Para partículas comuns, L=T−V. A equação de Euler–Lagrange sai da integração por partes e vale igualmente bem em coordenadas não cartesianas.
Exemplo resolvido
Para L=½m q̇²−V(q), deduza o movimento.
- 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. d/dt dá mq̈.
- 3. ∂L/∂q=−dV/dq.
mq̈=−dV/dq, a lei de Newton para uma força conservativa.
Experimente
Ação de caminhos concorrentes
Materiais: Planilha com caminhos de teste entre extremidades fixas.
- 1. Escolha uma lagrangiana de oscilador harmônico.
- 2. Avalie a ação discreta para vários caminhos.
- 3. Perturbe o caminho próximo da solução.
- 4. Compare as variações de ação de primeira ordem.
Repare: Estacionário nem sempre quer dizer mínimo, mas as variações de primeira ordem próximas se cancelam no caminho físico.
Verifique o que entendeu: Por que as variações nas extremidades precisam se anular na dedução padrão?
Resposta: Para que o termo de fronteira da integração por partes desapareça.
Os caminhos comparados compartilham as configurações inicial e final.
Lição 2 de 3
Simetria e conservação
Por que ignorar uma coordenada absoluta produz um momento conservado?
Se L não depende explicitamente de uma coordenada, essa coordenada é cíclica e o momento conjugado dela se conserva.
O teorema de Noether generaliza isso: simetrias contínuas da ação correspondem a correntes ou cargas conservadas.
Exemplo resolvido
L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). O que se conserva?
- 1. L não contém x.
- 2. Euler–Lagrange dá d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
- 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.
O momento em x se conserva porque translações em x deixam a ação inalterada.
Experimente
Auditoria de simetria
Materiais: Várias lagrangianas simples.
- 1. Marque as coordenadas ausentes.
- 2. Calcule os momentos conjugados.
- 3. Identifique a invariância por translação temporal.
- 4. Preveja as grandezas conservadas antes de resolver.
Repare: A conservação vira uma consequência estrutural, e não uma regra decorada à parte.
Verifique o que entendeu: Que simetria está associada à conservação de energia?
Resposta: A simetria contínua de translação no tempo.
Quando a lagrangiana não depende explicitamente do tempo, a energia do tipo hamiltoniano se conserva sob as condições usuais.
Lição 3 de 3
Hamiltonianas e espaço de fase
O que muda quando posições e momentos viram coordenadas de estado independentes?
A hamiltoniana H=Σpᵢq̇ᵢ−L é uma transformada de Legendre. As equações de primeira ordem de Hamilton fazem coordenadas e momentos evoluírem juntos.
O espaço de fase revela superfícies conservadas, estabilidade e a estrutura canônica que depois se torna central na mecânica estatística e na quântica.
Exemplo resolvido
Encontre H para L=½mq̇²−½kq².
- 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
- 2. Escreva q̇=p/m.
- 3. Calcule H=pq̇−L.
H=p²/(2m)+½kq², a energia total do oscilador.
Experimente
Retrato de fase
Materiais: Caderno de código ou ferramenta de gráficos.
- 1. Integre q e p do oscilador.
- 2. Trace p versus q.
- 3. Mude a energia inicial.
- 4. Relacione as curvas fechadas à conservação.
Repare: Cada trajetória de energia conservada forma uma elipse no espaço de fase do oscilador.
Verifique o que entendeu: Quantas equações de Hamilton de primeira ordem substituem uma equação de segunda ordem por coordenada?
Resposta: Duas: uma para q̇ e outra para ṗ.
O estado no espaço de fase contém tanto a coordenada quanto o momento conjugado.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
S=∫L(q,q̇,t)dt
A ação atribui um escalar a um caminho completo.
d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0
As equações de Euler–Lagrange determinam o movimento de ação estacionária.
q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ
As equações de Hamilton geram o fluxo no espaço de fase.
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Deduza a equação do pêndulo a partir de L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).
Ver a dica
Calcule as derivadas em relação a θ̇ e a θ.
Ver a solução
θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.
2. Para uma partícula livre em coordenadas polares, identifique a coordenada cíclica.
Ver a dica
L=½m(ṙ²+r²φ̇²).
Ver a solução
φ é cíclica, então pφ=mr²φ̇ é o momento angular conservado.
3. Escreva as equações de Hamilton para H=p²/(2m)+V(q).
Ver a dica
Derive H uma vez em relação a cada variável de fase.
Ver a solução
q̇=p/m e ṗ=−dV/dq.
Estúdio de derivação
Construa o resultado, linha por linha.
Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.
Ponto de partida
A equação de Euler–Lagrange
δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0
- 1. Expanda δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
- 2. Use δq̇=d(δq)/dt.
- 3. Integre o segundo termo por partes.
- 4. Descarte os termos de fronteira com extremidades fixas e exija que o coeficiente do δq arbitrário se anule.
d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0
Uma condição global de caminho estacionário vira uma equação diferencial local.
Ponto de partida
As equações de Hamilton a partir da transformada de Legendre
H(q,p,t)=pq̇−L with p=∂L/∂q̇
- 1. Tome o diferencial total dH.
- 2. Substitua os termos de dL.
- 3. Cancele p d q̇.
- 4. Compare os coeficientes de dq, dp e dt.
q̇=∂H/∂p and ṗ=−∂H/∂q
A dinâmica vira fluxo canônico no espaço de fase.
Caderno computacional
Transforme o modelo em um experimento.
Espaço de fase do pêndulo não linear
Onde a aproximação de pequenos ângulos deixa de preservar o período e o retrato de fase verdadeiros?
Entradas
- • ℓ, g, ângulo e velocidade angular iniciais
- • modelos exato com sinθ e linear com θ
Algoritmo
- 1. Integre as duas equações.
- 2. Meça o período versus a amplitude.
- 3. Trace os retratos de fase.
- 4. Quantifique o erro relativo de período.
Evidência a produzir
- • Curva período-amplitude
- • Retratos de fase exato e aproximado
- • Um limiar de aproximação justificado
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Aula 3: Relatividade geral
O movimento geodésico e as equações de campo emergem naturalmente de princípios variacionais.
Capítulo 4: O tensor métrico
O caminho baseado na ação até a geometria relativística e as métricas exóticas.
Aula 7: Teoria quântica de campos e o vácuo
Os campos estendem a lagrangiana de coordenadas para valores em cada ponto.