The Spacetime Metric
Nível 3 · Núcleo da graduaçãoPrimeiro e segundo ano de graduaçãoCerca de 15 horas

Mecânica lagrangiana e hamiltoniana

Troque a contabilidade força a força por ação, coordenadas generalizadas, simetria e espaço de fase.

Modelo interativo

Explore antes de calcular

Um grau de liberdade central com um eixo de aceleração aplicado e amostras de resposta ao redor.
A mecânica variacional isola os graus de liberdade e a ação antes de atribuir uma interpretação microscópica à inércia.

Laboratório interativo

Atelier de caminho de ação estacionária

Compare caminhos de tentativa de extremidade fixa q(t)=qclassical(t)+α sin(πt/T). O caminho de Euler–Lagrange está em α=0, onde a mudança de ação de primeira ordem se anula.

α=−2α=0α=2

Frequência do oscilador: 1.000

ωT: 1.000

Ação do caminho clássico: 3.2105e-1

Ação por caminho de ensaio: 3.2105e-1

ΔS: 0.0000e+0

Deslocamento máximo de caminho: 0.00

Pequenas α positivas e negativas produzem a mesma mudança quadrática líder na ação nessa família de testes, enquanto a mudança linear se anula em α=0. Essa é a assinatura numérica da estacionaridade.

Os intervalos de parâmetros mantêm ωT abaixo de π, então o caminho clássico é um mínimo local dentro dessa família de variações senoidais. A ação estacionária não é universalmente um mínimo, e esse oscilador de uma coordenada não substitui uma derivação variacional geral ou uma análise Hamiltoniana restrita.

Nível 3 · Núcleo da graduação · Kit didático

Registre a investigação. Ensine o raciocínio.

Um registro de laboratório para estudantes e um guia específico para docentes transformam o modelo interativo em uma investigação repetível.

Registro do estudante

Teste de ação estacionária em extremos fixos

Como o caminho clássico do oscilador responde a variações positivas e negativas que compartilham seus extremos?

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Guia do docente

Ensine a investigação, não a interface

Os aprendizes interpretam a ação estacionária como o cancelamento de variações de primeira ordem de pontos fixos de extremidade, em vez de um caminho sem força ou universalmente mínimo.

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Lição 1 de 3

Ação e equações de Euler–Lagrange

Como uma única regra de ação estacionária pode codificar as equações de Newton?

A ação S=∫Ldt atribui um número a um caminho inteiro. O caminho físico faz a variação de primeira ordem de S se anular sob variações com extremidades fixas.

Para partículas comuns, L=T−V. A equação de Euler–Lagrange sai da integração por partes e vale igualmente bem em coordenadas não cartesianas.

ação · variação · lagrangiana · coordenada generalizada

Exemplo resolvido

Para L=½m q̇²−V(q), deduza o movimento.

  1. 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. d/dt dá mq̈.
  3. 3. ∂L/∂q=−dV/dq.

mq̈=−dV/dq, a lei de Newton para uma força conservativa.

Experimente

Ação de caminhos concorrentes

Materiais: Planilha com caminhos de teste entre extremidades fixas.

  1. 1. Escolha uma lagrangiana de oscilador harmônico.
  2. 2. Avalie a ação discreta para vários caminhos.
  3. 3. Perturbe o caminho próximo da solução.
  4. 4. Compare as variações de ação de primeira ordem.

Repare: Estacionário nem sempre quer dizer mínimo, mas as variações de primeira ordem próximas se cancelam no caminho físico.

Verifique o que entendeu: Por que as variações nas extremidades precisam se anular na dedução padrão?

Resposta: Para que o termo de fronteira da integração por partes desapareça.

Os caminhos comparados compartilham as configurações inicial e final.

Lição 2 de 3

Simetria e conservação

Por que ignorar uma coordenada absoluta produz um momento conservado?

Se L não depende explicitamente de uma coordenada, essa coordenada é cíclica e o momento conjugado dela se conserva.

O teorema de Noether generaliza isso: simetrias contínuas da ação correspondem a correntes ou cargas conservadas.

coordenada cíclica · momento conjugado · teorema de Noether · simetria

Exemplo resolvido

L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). O que se conserva?

  1. 1. L não contém x.
  2. 2. Euler–Lagrange dá d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
  3. 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.

O momento em x se conserva porque translações em x deixam a ação inalterada.

Experimente

Auditoria de simetria

Materiais: Várias lagrangianas simples.

  1. 1. Marque as coordenadas ausentes.
  2. 2. Calcule os momentos conjugados.
  3. 3. Identifique a invariância por translação temporal.
  4. 4. Preveja as grandezas conservadas antes de resolver.

Repare: A conservação vira uma consequência estrutural, e não uma regra decorada à parte.

Verifique o que entendeu: Que simetria está associada à conservação de energia?

Resposta: A simetria contínua de translação no tempo.

Quando a lagrangiana não depende explicitamente do tempo, a energia do tipo hamiltoniano se conserva sob as condições usuais.

Lição 3 de 3

Hamiltonianas e espaço de fase

O que muda quando posições e momentos viram coordenadas de estado independentes?

A hamiltoniana H=Σpᵢq̇ᵢ−L é uma transformada de Legendre. As equações de primeira ordem de Hamilton fazem coordenadas e momentos evoluírem juntos.

O espaço de fase revela superfícies conservadas, estabilidade e a estrutura canônica que depois se torna central na mecânica estatística e na quântica.

hamiltoniana · espaço de fase · transformada de Legendre · parêntese de Poisson

Exemplo resolvido

Encontre H para L=½mq̇²−½kq².

  1. 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. Escreva q̇=p/m.
  3. 3. Calcule H=pq̇−L.

H=p²/(2m)+½kq², a energia total do oscilador.

Experimente

Retrato de fase

Materiais: Caderno de código ou ferramenta de gráficos.

  1. 1. Integre q e p do oscilador.
  2. 2. Trace p versus q.
  3. 3. Mude a energia inicial.
  4. 4. Relacione as curvas fechadas à conservação.

Repare: Cada trajetória de energia conservada forma uma elipse no espaço de fase do oscilador.

Verifique o que entendeu: Quantas equações de Hamilton de primeira ordem substituem uma equação de segunda ordem por coordenada?

Resposta: Duas: uma para q̇ e outra para ṗ.

O estado no espaço de fase contém tanto a coordenada quanto o momento conjugado.

Da fórmula ao significado

Leia a equação em linguagem comum.

  1. S=∫L(q,q̇,t)dt

    A ação atribui um escalar a um caminho completo.

  2. d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0

    As equações de Euler–Lagrange determinam o movimento de ação estacionária.

  3. q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ

    As equações de Hamilton geram o fluxo no espaço de fase.

Prática independente

Lista de problemas

Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.

  1. 1. Deduza a equação do pêndulo a partir de L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).

    Ver a dica

    Calcule as derivadas em relação a θ̇ e a θ.

    Ver a solução

    θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.

  2. 2. Para uma partícula livre em coordenadas polares, identifique a coordenada cíclica.

    Ver a dica

    L=½m(ṙ²+r²φ̇²).

    Ver a solução

    φ é cíclica, então pφ=mr²φ̇ é o momento angular conservado.

  3. 3. Escreva as equações de Hamilton para H=p²/(2m)+V(q).

    Ver a dica

    Derive H uma vez em relação a cada variável de fase.

    Ver a solução

    q̇=p/m e ṗ=−dV/dq.

Estúdio de derivação

Construa o resultado, linha por linha.

Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.

  1. Ponto de partida

    A equação de Euler–Lagrange

    δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0

    1. 1. Expanda δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
    2. 2. Use δq̇=d(δq)/dt.
    3. 3. Integre o segundo termo por partes.
    4. 4. Descarte os termos de fronteira com extremidades fixas e exija que o coeficiente do δq arbitrário se anule.

    d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0

    Uma condição global de caminho estacionário vira uma equação diferencial local.

  2. Ponto de partida

    As equações de Hamilton a partir da transformada de Legendre

    H(q,p,t)=pq̇−L com p=∂L/∂q̇

    1. 1. Tome o diferencial total dH.
    2. 2. Substitua os termos de dL.
    3. 3. Cancele p d q̇.
    4. 4. Compare os coeficientes de dq, dp e dt.

    q̇=∂H/∂p e ṗ=−∂H/∂q

    A dinâmica vira fluxo canônico no espaço de fase.

Caderno computacional

Transforme o modelo em um experimento.

  1. Espaço de fase do pêndulo não linear

    Onde a aproximação de pequenos ângulos deixa de preservar o período e o retrato de fase verdadeiros?

    Entradas

    • • ℓ, g, ângulo e velocidade angular iniciais
    • • modelos exato com sinθ e linear com θ

    Algoritmo

    1. 1. Integre as duas equações.
    2. 2. Meça o período versus a amplitude.
    3. 3. Trace os retratos de fase.
    4. 4. Quantifique o erro relativo de período.

    Evidência a produzir

    • • Curva período-amplitude
    • • Retratos de fase exato e aproximado
    • • Um limiar de aproximação justificado

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