The Spacetime Metric
Nível 3 · Núcleo da graduaçãoPrimeiro e segundo ano de graduaçãoCerca de 16 horas

Campos e potenciais eletromagnéticos

Deduza a dinâmica de Maxwell com cálculo vetorial, potenciais, gauges, ondas, energia e momento.

Modelo interativo

Explore antes de calcular

Modos de campo separados em componentes matemáticas longitudinal e transversal.
Decomposições de potencial são matemática útil. Os campos observáveis e as fases invariantes de gauge é que determinam as previsões físicas.

Laboratório interativo

Explorador de potencial, campo e calibre

Mova um ponto de amostragem entre duas fontes, depois desloque o potencial escalar zero. O valor do potencial se move com o deslocamento de calibre enquanto o campo observável permanece inalterado.

+−

Potencial φ: 0.400 Unidades normalizadas

Campo E: (0.384, 0.096)

| E|: 0.396

Deslocamento de medição: 0.0

Adicionar uma constante altera o rótulo de potencial, mas não E = −∇φ. A liberdade de calibre altera a descrição; forças mensuráveis e diferenças de fase invariantes à medida não se tornam arbitrárias.

Nível 3 · Núcleo da graduação · Kit didático

Registre a investigação. Ensine o raciocínio.

Um registro de laboratório para estudantes e um guia específico para docentes transformam o modelo interativo em uma investigação repetível.

Registro do estudante

Reconstrução de potencial equivalente a calibre

Quais quantidades plotadas podem mudar sob uma transformação de calibre enquanto observáveis elétricos e magnéticos permanecem inalterados?

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Guia do docente

Ensine a investigação, não a interface

Os aprendizes distinguem a liberdade de calibre representacional de campos, laços e forças medidas invariantes a gauge.

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Lição 1 de 3

Equações de Maxwell: local e global

Como as fontes dentro de uma região determinam o fluxo e a circulação na fronteira dela?

Os teoremas de Gauss e de Stokes traduzem entre leis diferenciais e medições integrais. A carga é fonte do divergente elétrico; o divergente magnético continua nulo no eletromagnetismo padrão.

A indução de Faraday e a lei de Ampère–Maxwell acoplam campos elétricos e magnéticos que variam no tempo.

teorema de Gauss · teorema de Stokes · corrente de deslocamento · condição de contorno

Exemplo resolvido

Use a lei de Gauss para uma carga puntiforme com simetria esférica.

  1. 1. Escolha uma esfera de raio r.
  2. 2. E é radial e tem módulo constante sobre a esfera.
  3. 3. E(4πr²)=q/ε₀.

E=q/(4πε₀r²) r̂.

Experimente

Escolha da superfície de integração

Materiais: Diagramas de campo e várias superfícies candidatas.

  1. 1. Identifique a simetria.
  2. 2. Escolha superfícies em que o módulo do campo seja constante ou tangente.
  3. 3. Avalie as parcelas de fluxo.
  4. 4. Compare com a fonte contida.

Repare: Uma fronteira bem escolhida transforma uma integral de campo difícil numa relação algébrica simples.

Verifique o que entendeu: O que ∇·B=0 afirma?

Resposta: Que o campo magnético não tem fonte monopolar local observada na teoria de Maxwell padrão.

As linhas de fluxo magnético formam circuitos fechados ou atravessam fronteiras sem começar nem terminar localmente.

Lição 2 de 3

Potenciais e liberdade de gauge

Como potenciais diferentes podem descrever os mesmos campos eletromagnéticos?

B = ∇ × A e E=−∇φ−∂A/∂t expressam os campos usando os potenciais escalar e vetor. Somar um gradiente gerado pelo gauge e compensar com a mudança do escalar deixa E e B inalterados.

A liberdade de gauge é redundância descritiva, não permissão para escolher novos observáveis. Fases quânticas podem depender de informação de circuito invariante de gauge mesmo onde os campos locais se anulam.

potencial escalar · potencial vetor · transformação de gauge · efeito Aharonov–Bohm

Exemplo resolvido

Mostre que A′=A+∇χ deixa B inalterado.

  1. 1. Calcule B′=∇×A′.
  2. 2. Expanda ∇×A+∇×∇χ.
  3. 3. O rotacional de um gradiente é zero.

B′=B.

Experimente

Mapas de potenciais equivalentes de gauge

Materiais: Caderno de código com um campo A simples e um χ escolhido.

  1. 1. Calcule A′=A+∇χ.
  2. 2. Tome os rotacionais numericamente.
  3. 3. Compare B e B′.
  4. 4. Identifique quais elementos do gráfico mudaram sem que o campo físico mudasse.

Repare: As componentes do potencial podem mudar bastante enquanto os campos invariantes de gauge continuam idênticos.

Verifique o que entendeu: Um potencial vetor diferente de zero num ponto implica automaticamente uma força local mensurável?

Resposta: Não.

A força de Lorentz local depende de E e B; os observáveis de fase quântica dependem de combinações de caminho ou de fluxo invariantes de gauge.

Lição 3 de 3

Ondas, cavidades e energia-momento

Como os campos transportam energia e momento pelo espaço e através de fronteiras?

As equações de Maxwell sem fontes produzem ondas com velocidade 1/√(μ₀ε₀). As condições de contorno selecionam os modos de cavidade, e a resposta do material muda as previsões de força real.

O vetor de Poynting dá o fluxo de energia, enquanto o tensor de tensões de Maxwell descreve a transferência de momento e a pressão.

vetor de Poynting · tensor de tensões de Maxwell · modo de cavidade · pressão de radiação

Exemplo resolvido

Encontre a intensidade média temporal de uma onda plana com campo elétrico de pico E₀.

  1. 1. A amplitude magnética é B₀=E₀/c.
  2. 2. Use S=(1/μ₀)E×B.
  3. 3. Faça a média de cos² num ciclo, obtendo 1/2.

⟨S⟩=½cε₀E₀².

Experimente

Solucionador de modos de cavidade

Materiais: Grade em caderno de código e dimensões de uma cavidade retangular.

  1. 1. Escolha índices inteiros de modo.
  2. 2. Calcule as frequências permitidas.
  3. 3. Trace os nós de campo.
  4. 4. Mude uma dimensão e acompanhe os deslocamentos espectrais.

Repare: A geometria seleciona os modos, mas o material e o acionamento da cavidade é que determinam a energia e a força reais.

Verifique o que entendeu: Que grandeza deve ser integrada para achar a potência eletromagnética através de uma superfície?

Resposta: O vetor de Poynting em produto escalar com o elemento de superfície.

∫S·dA dá a taxa líquida de fluxo de energia eletromagnética.

Da fórmula ao significado

Leia a equação em linguagem comum.

  1. ∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t

    A carga é fonte do fluxo elétrico; a corrente e o campo elétrico que varia são fontes da circulação magnética.

  2. B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t

    Os potenciais escalar e vetor geram os campos observáveis.

  3. S=(1/μ₀)E×B

    O vetor de Poynting dá o fluxo de energia eletromagnética.

Prática independente

Lista de problemas

Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.

  1. 1. Encontre o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que contém 3 nC.

    Ver a dica

    Use ΦE=q/ε₀.

    Ver a solução

    Aproximadamente 339 N·m²/C.

  2. 2. Verifique que φ′=φ−∂χ/∂t junto com A′=A+∇χ deixa E inalterado.

    Ver a dica

    Substitua os dois potenciais com linha e cancele as derivadas mistas.

    Ver a solução

    E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.

  3. 3. Um feixe de 2 mW é absorvido. Estime a força.

    Ver a dica

    Use F=P/c.

    Ver a solução

    Cerca de 6,7×10⁻¹² N.

Estúdio de derivação

Construa o resultado, linha por linha.

Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.

  1. Ponto de partida

    A equação da onda eletromagnética

    Sem fontes: ∇×E=−∂B/∂t e ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t

    1. 1. Tome o rotacional da lei de Faraday.
    2. 2. Use ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
    3. 3. Imponha ∇·E=0, sem fontes.
    4. 4. Substitua a lei de Ampère–Maxwell.

    ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0

    As leis de campo acopladas contêm ondas com c=1/√(μ₀ε₀).

  2. Ponto de partida

    O teorema de Poynting

    Faça o produto escalar de E com a equação de Ampère–Maxwell e de B com a de Faraday

    1. 1. Subtraia os dois produtos escalares.
    2. 2. Use a identidade vetorial para ∇·(E×B).
    3. 3. Agrupe as derivadas temporais da energia de campo.
    4. 4. Identifique J·E como trabalho sobre a matéria.

    ∂u/∂t+∇·S=−J·E

    A conservação local da energia eletromagnética separa o armazenamento no campo, o fluxo e a transferência para as cargas.

Caderno computacional

Transforme o modelo em um experimento.

  1. Espectro de uma cavidade retangular

    Como a geometria e os índices de modo moldam a densidade de frequências de uma cavidade?

    Entradas

    • • Comprimentos dos lados da cavidade
    • • Limites dos índices de modo
    • • Velocidade da onda no material, se houver

    Algoritmo

    1. 1. Enumere os trios de inteiros.
    2. 2. Calcule as frequências permitidas.
    3. 3. Ordene os modos e faça um histograma.
    4. 4. Perturbe cada dimensão.

    Evidência a produzir

    • • Tabela de frequências e histograma de densidade
    • • Cortes com as formas dos modos
    • • Sensibilidade das ressonâncias à geometria

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