Campos e potenciais eletromagnéticos
Deduza a dinâmica de Maxwell com cálculo vetorial, potenciais, gauges, ondas, energia e momento.
Vá das leis integrais às equações diferenciais, apresente os potenciais escalar e vetor sem tratar a redundância de gauge como uma força escondida, e quantifique efeitos de cavidade e de radiação.
Antes de começar
- • Cálculo e campos vetoriais
- • Eletromagnetismo do Nível 2
- • Equações diferenciais ordinárias
Ao final, você consegue
- • Usar as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial.
- • Construir campos a partir dos potenciais escalar e vetor.
- • Explicar transformações de gauge e observáveis invariantes de gauge.
- • Deduzir as ondas eletromagnéticas e o fluxo de energia-momento.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Lição 1 de 3
Equações de Maxwell: local e global
Como as fontes dentro de uma região determinam o fluxo e a circulação na fronteira dela?
Os teoremas de Gauss e de Stokes traduzem entre leis diferenciais e medições integrais. A carga é fonte do divergente elétrico; o divergente magnético continua nulo no eletromagnetismo padrão.
A indução de Faraday e a lei de Ampère–Maxwell acoplam campos elétricos e magnéticos que variam no tempo.
Exemplo resolvido
Use a lei de Gauss para uma carga puntiforme com simetria esférica.
- 1. Escolha uma esfera de raio r.
- 2. E é radial e tem módulo constante sobre a esfera.
- 3. E(4πr²)=q/ε₀.
E=q/(4πε₀r²) r̂.
Experimente
Escolha da superfície de integração
Materiais: Diagramas de campo e várias superfícies candidatas.
- 1. Identifique a simetria.
- 2. Escolha superfícies em que o módulo do campo seja constante ou tangente.
- 3. Avalie as parcelas de fluxo.
- 4. Compare com a fonte contida.
Repare: Uma fronteira bem escolhida transforma uma integral de campo difícil numa relação algébrica simples.
Verifique o que entendeu: O que ∇·B=0 afirma?
Resposta: Que o campo magnético não tem fonte monopolar local observada na teoria de Maxwell padrão.
As linhas de fluxo magnético formam circuitos fechados ou atravessam fronteiras sem começar nem terminar localmente.
Lição 2 de 3
Potenciais e liberdade de gauge
Como potenciais diferentes podem descrever os mesmos campos eletromagnéticos?
B = ∇ × A e E=−∇φ−∂A/∂t expressam os campos usando os potenciais escalar e vetor. Somar um gradiente gerado pelo gauge e compensar com a mudança do escalar deixa E e B inalterados.
A liberdade de gauge é redundância descritiva, não permissão para escolher novos observáveis. Fases quânticas podem depender de informação de circuito invariante de gauge mesmo onde os campos locais se anulam.
Exemplo resolvido
Mostre que A′=A+∇χ deixa B inalterado.
- 1. Calcule B′=∇×A′.
- 2. Expanda ∇×A+∇×∇χ.
- 3. O rotacional de um gradiente é zero.
B′=B.
Experimente
Mapas de potenciais equivalentes de gauge
Materiais: Caderno de código com um campo A simples e um χ escolhido.
- 1. Calcule A′=A+∇χ.
- 2. Tome os rotacionais numericamente.
- 3. Compare B e B′.
- 4. Identifique quais elementos do gráfico mudaram sem que o campo físico mudasse.
Repare: As componentes do potencial podem mudar bastante enquanto os campos invariantes de gauge continuam idênticos.
Verifique o que entendeu: Um potencial vetor diferente de zero num ponto implica automaticamente uma força local mensurável?
Resposta: Não.
A força de Lorentz local depende de E e B; os observáveis de fase quântica dependem de combinações de caminho ou de fluxo invariantes de gauge.
Lição 3 de 3
Ondas, cavidades e energia-momento
Como os campos transportam energia e momento pelo espaço e através de fronteiras?
As equações de Maxwell sem fontes produzem ondas com velocidade 1/√(μ₀ε₀). As condições de contorno selecionam os modos de cavidade, e a resposta do material muda as previsões de força real.
O vetor de Poynting dá o fluxo de energia, enquanto o tensor de tensões de Maxwell descreve a transferência de momento e a pressão.
Exemplo resolvido
Encontre a intensidade média temporal de uma onda plana com campo elétrico de pico E₀.
- 1. A amplitude magnética é B₀=E₀/c.
- 2. Use S=(1/μ₀)E×B.
- 3. Faça a média de cos² num ciclo, obtendo 1/2.
⟨S⟩=½cε₀E₀².
Experimente
Solucionador de modos de cavidade
Materiais: Grade em caderno de código e dimensões de uma cavidade retangular.
- 1. Escolha índices inteiros de modo.
- 2. Calcule as frequências permitidas.
- 3. Trace os nós de campo.
- 4. Mude uma dimensão e acompanhe os deslocamentos espectrais.
Repare: A geometria seleciona os modos, mas o material e o acionamento da cavidade é que determinam a energia e a força reais.
Verifique o que entendeu: Que grandeza deve ser integrada para achar a potência eletromagnética através de uma superfície?
Resposta: O vetor de Poynting em produto escalar com o elemento de superfície.
∫S·dA dá a taxa líquida de fluxo de energia eletromagnética.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t
A carga é fonte do fluxo elétrico; a corrente e o campo elétrico que varia são fontes da circulação magnética.
B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t
Os potenciais escalar e vetor geram os campos observáveis.
S=(1/μ₀)E×B
O vetor de Poynting dá o fluxo de energia eletromagnética.
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Encontre o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que contém 3 nC.
Ver a dica
Use ΦE=q/ε₀.
Ver a solução
Aproximadamente 339 N·m²/C.
2. Verifique que φ′=φ−∂χ/∂t junto com A′=A+∇χ deixa E inalterado.
Ver a dica
Substitua os dois potenciais com linha e cancele as derivadas mistas.
Ver a solução
E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.
3. Um feixe de 2 mW é absorvido. Estime a força.
Ver a dica
Use F=P/c.
Ver a solução
Cerca de 6,7×10⁻¹² N.
Estúdio de derivação
Construa o resultado, linha por linha.
Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.
Ponto de partida
A equação da onda eletromagnética
Source-free ∇×E=−∂B/∂t and ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t
- 1. Tome o rotacional da lei de Faraday.
- 2. Use ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
- 3. Imponha ∇·E=0, sem fontes.
- 4. Substitua a lei de Ampère–Maxwell.
∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0
As leis de campo acopladas contêm ondas com c=1/√(μ₀ε₀).
Ponto de partida
O teorema de Poynting
Dot E into Ampère–Maxwell and B into Faraday
- 1. Subtraia os dois produtos escalares.
- 2. Use a identidade vetorial para ∇·(E×B).
- 3. Agrupe as derivadas temporais da energia de campo.
- 4. Identifique J·E como trabalho sobre a matéria.
∂u/∂t+∇·S=−J·E
A conservação local da energia eletromagnética separa o armazenamento no campo, o fluxo e a transferência para as cargas.
Caderno computacional
Transforme o modelo em um experimento.
Espectro de uma cavidade retangular
Como a geometria e os índices de modo moldam a densidade de frequências de uma cavidade?
Entradas
- • Comprimentos dos lados da cavidade
- • Limites dos índices de modo
- • Velocidade da onda no material, se houver
Algoritmo
- 1. Enumere os trios de inteiros.
- 2. Calcule as frequências permitidas.
- 3. Ordene os modos e faça um histograma.
- 4. Perturbe cada dimensão.
Evidência a produzir
- • Tabela de frequências e histograma de densidade
- • Cortes com as formas dos modos
- • Sensibilidade das ressonâncias à geometria
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Capítulo 10: Eletrodinâmica longitudinal
Matemática de potenciais válida, a física de Aharonov–Bohm e a fronteira diante de afirmações escalares sem apoio.
Aula 10: As patentes de Pais
Aplique as escalas de energia e de campo de Maxwell a dispositivos propostos de campo intenso.
Aula 11: Eagleworks
Momento eletromagnético e sistemática de aparato em testes de força de precisão.