Champs et potentiels électromagnétiques
Dérivez la dynamique de Maxwell avec le calcul vectoriel, les potentiels, les jauges, les ondes, l'énergie et la quantité de mouvement.
Passez des lois intégrales aux équations différentielles, introduisez les potentiels scalaire et vecteur sans traiter la redondance de jauge comme une force cachée, et quantifiez les effets de cavité et de rayonnement.
Avant de commencer
- • Calcul différentiel et champs de vecteurs
- • Électromagnétisme du niveau 2
- • Équations différentielles ordinaires
À la fin, vous saurez
- • Utiliser les équations de Maxwell sous forme intégrale et différentielle.
- • Construire les champs à partir des potentiels scalaire et vecteur.
- • Expliquer les transformations de jauge et les observables invariantes de jauge.
- • Dériver les ondes électromagnétiques et le flux d'énergie-impulsion.
Modèle interactif
Explorez avant de calculer
Leçon 1 sur 3
Les équations de Maxwell : local et global
Comment les sources situées dans une région déterminent-elles le flux et la circulation sur sa frontière ?
Les théorèmes de Gauss et de Stokes font le va-et-vient entre lois différentielles et mesures intégrales. La charge est la source de la divergence électrique ; la divergence magnétique reste nulle en électromagnétisme standard.
L'induction de Faraday et la loi d'Ampère–Maxwell couplent les champs électriques et magnétiques variables dans le temps.
Exemple résolu
Appliquez le théorème de Gauss à une charge ponctuelle à symétrie sphérique.
- 1. Choisissez une sphère de rayon r.
- 2. E est radial et de module constant sur la sphère.
- 3. E(4πr²)=q/ε₀.
E=q/(4πε₀r²) r̂.
Essayez
Le choix de la surface d'intégration
Matériel : Des diagrammes de champ et plusieurs surfaces candidates.
- 1. Repérez la symétrie.
- 2. Choisissez des surfaces où le module du champ est constant ou tangent.
- 3. Évaluez chaque morceau de flux.
- 4. Comparez à la source enfermée.
Observez : Une frontière bien choisie transforme une intégrale de champ difficile en une simple relation algébrique.
Vérifiez votre compréhension : Qu'énonce ∇·B=0 ?
Réponse : Le champ magnétique n'a aucune source monopolaire locale observée dans la théorie de Maxwell standard.
Les lignes de flux magnétique forment des boucles fermées ou traversent les frontières sans commencer ni finir localement.
Leçon 2 sur 3
Potentiels et liberté de jauge
Comment des potentiels différents peuvent-ils décrire les mêmes champs électromagnétiques ?
B = ∇ × A et E=−∇φ−∂A/∂t expriment les champs à l'aide des potentiels scalaire et vecteur. Ajouter un gradient engendré par la jauge et le changement scalaire compensatoire laisse E et B inchangés.
La liberté de jauge est une redondance de description, non l'autorisation de choisir de nouvelles observables. Des phases quantiques peuvent dépendre d'informations de boucle invariantes de jauge là même où les champs locaux s'annulent.
Exemple résolu
Montrez que A′=A+∇χ laisse B inchangé.
- 1. Calculez B′=∇×A′.
- 2. Développez ∇×A+∇×∇χ.
- 3. Le rotationnel d'un gradient est nul.
B′=B.
Essayez
Cartes de potentiels équivalents de jauge
Matériel : Un carnet avec un champ A simple et un χ choisi.
- 1. Calculez A′=A+∇χ.
- 2. Prenez les rotationnels numériquement.
- 3. Comparez B et B′.
- 4. Repérez quels traits tracés ont changé sans changement physique du champ.
Observez : Les composantes du potentiel peuvent changer radicalement alors que les champs invariants de jauge restent identiques.
Vérifiez votre compréhension : Un potentiel vecteur non nul en un point implique-t-il automatiquement une force locale mesurable ?
Réponse : Non.
La force de Lorentz locale dépend de E et de B ; les observables de phase quantique dépendent de combinaisons de chemin ou de flux invariantes de jauge.
Leçon 3 sur 3
Ondes, cavités et énergie-impulsion
Comment les champs transportent-ils énergie et quantité de mouvement à travers l'espace et les frontières ?
Les équations de Maxwell sans source donnent des ondes de vitesse 1/√(μ₀ε₀). Les conditions aux limites sélectionnent les modes de cavité, et la réponse des matériaux modifie les prédictions de force réelle.
Le vecteur de Poynting donne le flux d'énergie, tandis que le tenseur des contraintes de Maxwell décrit le transfert de quantité de mouvement et la pression.
Exemple résolu
Trouvez l'intensité moyennée dans le temps d'une onde plane de champ électrique crête E₀.
- 1. L'amplitude magnétique vaut B₀=E₀/c.
- 2. Utilisez S=(1/μ₀)E×B.
- 3. Moyennez cos² sur un cycle, ce qui donne 1/2.
⟨S⟩=½cε₀E₀².
Essayez
Solveur de modes de cavité
Matériel : Une grille de carnet et les dimensions d'une cavité rectangulaire.
- 1. Choisissez des indices de mode entiers.
- 2. Calculez les fréquences autorisées.
- 3. Tracez les nœuds du champ.
- 4. Changez une dimension et suivez les décalages spectraux.
Observez : La géométrie sélectionne les modes, mais ce sont le matériau et l'excitation de la cavité qui déterminent l'énergie et la force réelles.
Vérifiez votre compréhension : Quelle grandeur faut-il intégrer pour trouver la puissance électromagnétique traversant une surface ?
Réponse : Le vecteur de Poynting en produit scalaire avec l'élément de surface.
∫S·dA donne le débit net d'énergie électromagnétique.
De la formule au sens
Lisez l'équation en langage courant.
∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t
La charge est la source du flux électrique ; le courant et un champ électrique variable sont les sources de la circulation magnétique.
B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t
Les potentiels scalaire et vecteur engendrent les champs observables.
S=(1/μ₀)E×B
Le vecteur de Poynting donne le flux d'énergie électromagnétique.
Pratique autonome
Série d'exercices
Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.
1. Trouvez le flux électrique à travers une surface fermée contenant 3 nC.
Voir l'indice
Utilisez ΦE=q/ε₀.
Voir la solution
Environ 339 N·m²/C.
2. Vérifiez que φ′=φ−∂χ/∂t associé à A′=A+∇χ laisse E inchangé.
Voir l'indice
Substituez les deux potentiels primés et simplifiez les dérivées croisées.
Voir la solution
E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.
3. Un faisceau de 2 mW est absorbé. Estimez la force.
Voir l'indice
Utilisez F=P/c.
Voir la solution
Environ 6,7×10⁻¹² N.
Atelier de dérivation
Construisez le résultat, ligne par ligne.
Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.
Point de départ
L'équation d'onde électromagnétique
Source-free ∇×E=−∂B/∂t and ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t
- 1. Prenez le rotationnel de la loi de Faraday.
- 2. Utilisez ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
- 3. Posez ∇·E=0 en l'absence de source.
- 4. Substituez la loi d'Ampère–Maxwell.
∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0
Les lois de champ couplées contiennent des ondes de vitesse c=1/√(μ₀ε₀).
Point de départ
Le théorème de Poynting
Dot E into Ampère–Maxwell and B into Faraday
- 1. Soustrayez les deux produits scalaires.
- 2. Utilisez l'identité vectorielle pour ∇·(E×B).
- 3. Regroupez les dérivées temporelles de l'énergie du champ.
- 4. Identifiez J·E comme le travail exercé sur la matière.
∂u/∂t+∇·S=−J·E
La conservation locale de l'énergie électromagnétique sépare le stockage dans le champ, le flux et le transfert aux charges.
Carnet de calcul
Transformez le modèle en expérience.
Le spectre d'une cavité rectangulaire
Comment la géométrie et les indices de mode façonnent-ils la densité de fréquences d'une cavité ?
Entrées
- • Longueurs des côtés de la cavité
- • Limites des indices de mode
- • Vitesse d'onde du matériau, en option
Algorithme
- 1. Énumérez les triplets d'entiers.
- 2. Calculez les fréquences autorisées.
- 3. Triez les modes et faites-en un histogramme.
- 4. Perturbez chaque dimension.
Preuves à produire
- • Table des fréquences et histogramme de densité
- • Coupes des formes de modes
- • Sensibilité des résonances à la géométrie
Poursuivez vers les preuves
Lecture suivante, avec ses sources
Chapitre 10 : Électrodynamique longitudinale
Mathématiques des potentiels valides, physique d'Aharonov–Bohm, et la frontière face aux affirmations scalaires non étayées.
Cours 10 : Les brevets Pais
Appliquez les échelles d'énergie et de champ de Maxwell aux dispositifs à champ intense proposés.
Cours 11 : Eagleworks
Quantité de mouvement électromagnétique et effets systématiques de l'appareillage dans les tests de force de précision.