The Spacetime Metric
Niveau 3 · Tronc commun de licenceLicence, 1re et 2e annéeEnviron 16 heures

Champs et potentiels électromagnétiques

Dérivez la dynamique de Maxwell avec le calcul vectoriel, les potentiels, les jauges, les ondes, l'énergie et la quantité de mouvement.

Modèle interactif

Explorez avant de calculer

Des modes de champ séparés en composantes mathématiques longitudinales et transversales.
Les décompositions de potentiels sont des mathématiques utiles. Ce sont les champs observables et les phases invariantes de jauge qui déterminent les prédictions physiques.

Laboratoire interactif

Explorateur de potentiel, de champ et de jauge

Déplacez un point d’échantillonnage entre deux sources, puis décalez le potentiel scalaire zéro. La valeur du potentiel se déplace avec le décalage de jauge tandis que le champ observable reste inchangé.

+−

Potentiel φ : 0.400 Unités normalisées

Champ E : (0.384, 0.096)

| E| : 0.396

Décalage de jauge : 0.0

L’ajout d’une constante modifie l’étiquette potentielle mais pas E = −∇φ. La liberté de jauge modifie la description ; les forces mesurables et les différences de phase invariantes de jauge ne deviennent pas arbitraires.

Niveau 3 · Tronc commun de licence · Kit pédagogique

Consignez l’enquête. Enseignez le raisonnement.

Un carnet de laboratoire pour l’apprenant et un guide spécifique pour l’enseignant transforment le modèle interactif en enquête reproductible.

Carnet de l’apprenant

Reconstruction du potentiel équivalent de jauge

Quelles grandeurs tracées peuvent changer lors d’une transformation de jauge alors que les observables électriques et magnétiques restent inchangés ?

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Guide de l’enseignant

Enseignez l’enquête, pas l’interface

Les apprenants distinguent la liberté de jauge représentative des champs, boucles et forces mesurées invariants de jauge.

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Leçon 1 sur 3

Les équations de Maxwell : local et global

Comment les sources situées dans une région déterminent-elles le flux et la circulation sur sa frontière ?

Les théorèmes de Gauss et de Stokes font le va-et-vient entre lois différentielles et mesures intégrales. La charge est la source de la divergence électrique ; la divergence magnétique reste nulle en électromagnétisme standard.

L'induction de Faraday et la loi d'Ampère–Maxwell couplent les champs électriques et magnétiques variables dans le temps.

théorème de Gauss · théorème de Stokes · courant de déplacement · condition aux limites

Exemple résolu

Appliquez le théorème de Gauss à une charge ponctuelle à symétrie sphérique.

  1. 1. Choisissez une sphère de rayon r.
  2. 2. E est radial et de module constant sur la sphère.
  3. 3. E(4πr²)=q/ε₀.

E=q/(4πε₀r²) r̂.

Essayez

Le choix de la surface d'intégration

Matériel : Des diagrammes de champ et plusieurs surfaces candidates.

  1. 1. Repérez la symétrie.
  2. 2. Choisissez des surfaces où le module du champ est constant ou tangent.
  3. 3. Évaluez chaque morceau de flux.
  4. 4. Comparez à la source enfermée.

Observez : Une frontière bien choisie transforme une intégrale de champ difficile en une simple relation algébrique.

Vérifiez votre compréhension : Qu'énonce ∇·B=0 ?

Réponse : Le champ magnétique n'a aucune source monopolaire locale observée dans la théorie de Maxwell standard.

Les lignes de flux magnétique forment des boucles fermées ou traversent les frontières sans commencer ni finir localement.

Leçon 2 sur 3

Potentiels et liberté de jauge

Comment des potentiels différents peuvent-ils décrire les mêmes champs électromagnétiques ?

B = ∇ × A et E=−∇φ−∂A/∂t expriment les champs à l'aide des potentiels scalaire et vecteur. Ajouter un gradient engendré par la jauge et le changement scalaire compensatoire laisse E et B inchangés.

La liberté de jauge est une redondance de description, non l'autorisation de choisir de nouvelles observables. Des phases quantiques peuvent dépendre d'informations de boucle invariantes de jauge là même où les champs locaux s'annulent.

potentiel scalaire · potentiel vecteur · transformation de jauge · effet Aharonov–Bohm

Exemple résolu

Montrez que A′=A+∇χ laisse B inchangé.

  1. 1. Calculez B′=∇×A′.
  2. 2. Développez ∇×A+∇×∇χ.
  3. 3. Le rotationnel d'un gradient est nul.

B′=B.

Essayez

Cartes de potentiels équivalents de jauge

Matériel : Un carnet avec un champ A simple et un χ choisi.

  1. 1. Calculez A′=A+∇χ.
  2. 2. Prenez les rotationnels numériquement.
  3. 3. Comparez B et B′.
  4. 4. Repérez quels traits tracés ont changé sans changement physique du champ.

Observez : Les composantes du potentiel peuvent changer radicalement alors que les champs invariants de jauge restent identiques.

Vérifiez votre compréhension : Un potentiel vecteur non nul en un point implique-t-il automatiquement une force locale mesurable ?

Réponse : Non.

La force de Lorentz locale dépend de E et de B ; les observables de phase quantique dépendent de combinaisons de chemin ou de flux invariantes de jauge.

Leçon 3 sur 3

Ondes, cavités et énergie-impulsion

Comment les champs transportent-ils énergie et quantité de mouvement à travers l'espace et les frontières ?

Les équations de Maxwell sans source donnent des ondes de vitesse 1/√(μ₀ε₀). Les conditions aux limites sélectionnent les modes de cavité, et la réponse des matériaux modifie les prédictions de force réelle.

Le vecteur de Poynting donne le flux d'énergie, tandis que le tenseur des contraintes de Maxwell décrit le transfert de quantité de mouvement et la pression.

vecteur de Poynting · tenseur des contraintes de Maxwell · mode de cavité · pression de radiation

Exemple résolu

Trouvez l'intensité moyennée dans le temps d'une onde plane de champ électrique crête E₀.

  1. 1. L'amplitude magnétique vaut B₀=E₀/c.
  2. 2. Utilisez S=(1/μ₀)E×B.
  3. 3. Moyennez cos² sur un cycle, ce qui donne 1/2.

⟨S⟩=½cε₀E₀².

Essayez

Solveur de modes de cavité

Matériel : Une grille de carnet et les dimensions d'une cavité rectangulaire.

  1. 1. Choisissez des indices de mode entiers.
  2. 2. Calculez les fréquences autorisées.
  3. 3. Tracez les nœuds du champ.
  4. 4. Changez une dimension et suivez les décalages spectraux.

Observez : La géométrie sélectionne les modes, mais ce sont le matériau et l'excitation de la cavité qui déterminent l'énergie et la force réelles.

Vérifiez votre compréhension : Quelle grandeur faut-il intégrer pour trouver la puissance électromagnétique traversant une surface ?

Réponse : Le vecteur de Poynting en produit scalaire avec l'élément de surface.

∫S·dA donne le débit net d'énergie électromagnétique.

De la formule au sens

Lisez l'équation en langage courant.

  1. ∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t

    La charge est la source du flux électrique ; le courant et un champ électrique variable sont les sources de la circulation magnétique.

  2. B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t

    Les potentiels scalaire et vecteur engendrent les champs observables.

  3. S=(1/μ₀)E×B

    Le vecteur de Poynting donne le flux d'énergie électromagnétique.

Pratique autonome

Série d'exercices

Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.

  1. 1. Trouvez le flux électrique à travers une surface fermée contenant 3 nC.

    Voir l'indice

    Utilisez ΦE=q/ε₀.

    Voir la solution

    Environ 339 N·m²/C.

  2. 2. Vérifiez que φ′=φ−∂χ/∂t associé à A′=A+∇χ laisse E inchangé.

    Voir l'indice

    Substituez les deux potentiels primés et simplifiez les dérivées croisées.

    Voir la solution

    E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.

  3. 3. Un faisceau de 2 mW est absorbé. Estimez la force.

    Voir l'indice

    Utilisez F=P/c.

    Voir la solution

    Environ 6,7×10⁻¹² N.

Atelier de dérivation

Construisez le résultat, ligne par ligne.

Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.

  1. Point de départ

    L'équation d'onde électromagnétique

    En l’absence de sources : ∇×E=−∂B/∂t et ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t

    1. 1. Prenez le rotationnel de la loi de Faraday.
    2. 2. Utilisez ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
    3. 3. Posez ∇·E=0 en l'absence de source.
    4. 4. Substituez la loi d'Ampère–Maxwell.

    ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0

    Les lois de champ couplées contiennent des ondes de vitesse c=1/√(μ₀ε₀).

  2. Point de départ

    Le théorème de Poynting

    Prends le produit scalaire de E avec l’équation d’Ampère–Maxwell et de B avec celle de Faraday

    1. 1. Soustrayez les deux produits scalaires.
    2. 2. Utilisez l'identité vectorielle pour ∇·(E×B).
    3. 3. Regroupez les dérivées temporelles de l'énergie du champ.
    4. 4. Identifiez J·E comme le travail exercé sur la matière.

    ∂u/∂t+∇·S=−J·E

    La conservation locale de l'énergie électromagnétique sépare le stockage dans le champ, le flux et le transfert aux charges.

Carnet de calcul

Transformez le modèle en expérience.

  1. Le spectre d'une cavité rectangulaire

    Comment la géométrie et les indices de mode façonnent-ils la densité de fréquences d'une cavité ?

    Entrées

    • • Longueurs des côtés de la cavité
    • • Limites des indices de mode
    • • Vitesse d'onde du matériau, en option

    Algorithme

    1. 1. Énumérez les triplets d'entiers.
    2. 2. Calculez les fréquences autorisées.
    3. 3. Triez les modes et faites-en un histogramme.
    4. 4. Perturbez chaque dimension.

    Preuves à produire

    • • Table des fréquences et histogramme de densité
    • • Coupes des formes de modes
    • • Sensibilité des résonances à la géométrie

Poursuivez vers les preuves

Lecture suivante, avec ses sources