Niveau 3 · Tronc commun de licence · Kit pédagogique · Licence, 1re et 2e année
Calcul, vecteurs et équations différentielles
Un carnet de laboratoire pour l’apprenant et un guide spécifique pour l’enseignant transforment le modèle interactif en enquête reproductible.
Carnet de l’apprenant
Étude de la convergence des oscillateurs et de la dérive d’énergie
Quand une trajectoire numérique représente-t-elle l’équation différentielle plutôt que l’erreur de la méthode de pas à pas ?
Mise en place
- • Utilisez le banc d’oscillateur numérique. Établissez une piste de référence, ne variez que le pas de temps, puis changez un paramètre physique et répétez l’étude de convergence.
Prédisez d’abord
- 1. Prédire comment la réduction par deux du pas de temps modifie l’erreur de trajectoire.
- 2. Prédire ce qui se passe lorsque l’étape franchit la limite de stabilité affichée.
| Variable | Rôle | Unité |
|---|---|---|
| Constante de masse et de ressort | Entrées physiques | kg et N/m |
| Pas de temps | Variable numérique indépendante | s |
| Trajectoire et phase | dépendante | M et Rad |
| Erreur d’énergie relative | Diagnostic numérique | % |
Colonnes d’observation
Analysez
- 1. Quelles exécutions démontrent la convergence ?
- 2. Oscillation d’énergie bornée égale-t-elle une conservation exacte ?
- 3. Comment la masse variable modifie-t-elle la période physique ?
- 4. Énoncez une règle défendable de la taille d’un pas à partir de vos preuves.
Cadre de conclusion
Pour m=___ et k=___, réduire Δt de ___ à ___ changeait l’erreur d’énergie de ___ à ___ ; donc une étape justifiée est ___.
Guide de l’enseignant · 50 à 65 minutes
Enseignez l’enquête, pas l’interface
Cible: Les apprenants séparent les paramètres physiques des contrôles numériques et justifient la convergence à l’aide de diagnostics de trajectoire et d’invariants.
Préparer
- • Examinez ω=√(k/m) et l’énergie de l’oscillateur.
- • Définissez la convergence avant d’ouvrir le laboratoire.
- • Préparez une course stable mais imprécise.
Gestes de facilitation
- • Demandez quelle équation est restée fixe tout au long de la comparaison.
- • Il faut avoir au moins trois tailles de marches.
- • Comparez l’erreur de phase avec l’erreur d’énergie plutôt que d’accepter un seul plot.
Accessibilité et participation
- • Associez les graphiques aux résumés d’erreurs numériques.
- • Décrire le mouvement en espace des phases sans nécessiter de distinction des couleurs.
- • Fournir une table à trois exécutions et un support de calculatrice.
Éléments de preuve d’apprentissage
- • Une table de convergence en trois étapes
- • Une distinction entre variables physiques et numériques
- • Une recommandation de stabilité justifiée
Vérifications des idées fausses
Une courbe douce doit être précise.
L’interpolation peut paraître fluide tandis que la phase et l’énergie dérivent loin de la solution de l’équation différentielle.
Plus d’étapes réparent toujours un modèle instable.
Les étapes plus petites abordent la discrétisation ; elles ne corrigent pas une équation incorrecte, une condition aux limites ou une conversion d’unités.
Prolongement
Comparez l’Euler symplectique avec l’Euler en avant en utilisant les mêmes conditions initiales et le coût de calcul.