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Christopher Fewster et Thomas Roman montrent, par une construction explicite pour le champ scalaire sans masse en espace-temps plat à quatre dimensions, que les moyennes nulles pondérées du tenseur énergie-impulsion ne sont pas bornées inférieurement sur les états de Hadamard. Il n’existe donc aucune inégalité quantique le long des géodésiques nulles en quatre dimensions, contrairement à l’espace-temps plat à deux dimensions où il en existe. La différence tient à ce qu’en deux dimensions deux modes du champ sont parallèles ou antiparallèles, alors que la preuve en quatre dimensions emploie des modes presque parallèles à la géodésique. Ces états satisfont néanmoins la condition d’énergie nulle moyennée. Dans tout espace-temps globalement hyperbolique, l’énergie-impulsion contractée par des vecteurs nuls et moyennée sur une ligne d’univers de genre temps obéit à une inégalité quantique, champs massifs ou non.

Null energy conditions in quantum field theory