The Spacetime Metric
Poziom 2 · Fizyka szkoły średniejKlasy 10–12Około 10 godzin

Mechanika kwantowa: stany, amplitudy i pomiar

Zastąp maleńkie klasyczne cząstki stanami, amplitudami, operatorami i sprawdzalnymi prawdopodobieństwami.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Mod wnęki, dyskretne poziomy energii i stacjonarna reprezentacja stanu podstawowego w przestrzeni fazowej.
Kwantyzacja wybiera dozwolone stany; stan podstawowy ma stacjonarny rozrzut, a nie pozostałe ciepło ani kulkę poruszającą się po ukrytej trajektorii.

Laboratorium interaktywne

Kwantowy eksplorator pakietów falowych

Lokalizuj pakiet o minimalnej niepewności i obserwuj, jak jego rozrzut pędu reaguje. Przetłumaczenie pakietu zmienia jego średnią pozycję, a nie iloczyn niepewności.

Prawdopodobieństwo położeniaPrawdopodobieństwo pędu

Δx: 0.50 NM

Minimum Δp: 1.05e-25 kg·m/s

ΔxΔp: 0.50 ħ

Rozprzestrzenianie prędkości elektronów: 1.16e+5 m/s

Jest to model gaussowski o minimalnej niepewności, a nie ukryta klasyczna trajektoria. Przygotowanie do węższej pozycji wymaga szerszego rozkładu możliwych pędów.

Poziom 2 · Fizyka szkoły średniej · Zestaw dydaktyczny

Zapisz badanie. Nauczaj rozumowania.

Karta laboratoryjna dla ucznia i przewodnik dla prowadzącego zamieniają model interaktywny w powtarzalne badanie.

Karta ucznia

Zapis szerokości i niepewności pakietu falowego

Jak zawężenie pakietu fali w pozycji zmienia jego rozprzestrzenianie pędu i późniejszą ewolucję?

Pobierz Markdown dla ucznia

Przewodnik prowadzącego

Nauczaj badania, nie interfejsu

Uczący się łączą lokalizację z rozprzestrzenieniem pędu, nie traktując funkcji falowej jako dosłownej fali materialnej lub ukrytej klasycznej ścieżki.

Pobierz Markdown dla prowadzącego
Otwórz kompletny zestaw do druku →

Lekcja 1 z 3

Stany, amplitudy i prawdopodobieństwa

Dlaczego kwantowe możliwości interferują, zanim zostanie zapisany wynik pomiaru?

Stan kwantowy koduje amplitudy prawdopodobieństwa dla możliwych wyników pomiaru. Amplitudy mogą nieść fazę i trzeba je dodać, zanim kwadrat ich modułu da prawdopodobieństwo.

Dlatego właśnie eksperymenty z dwiema drogami pokazują interferencję nawet wtedy, gdy detekcje zachodzą pojedynczo.

stan kwantowy · amplituda · faza · reguła Borna

Przykład rozwiązany

Dwie jednakowe amplitudy dróg docierają w zgodnej fazie. Co dzieje się jakościowo?

  1. 1. Dodaj amplitudy.
  2. 2. Amplituda całkowita się podwaja.
  3. 3. Prawdopodobieństwo zależy od kwadratu modułu.

Prawdopodobieństwo może w tym miejscu stać się czterokrotnie większe niż dla jednej drogi, co równoważą obszary wygaszania gdzie indziej.

Spróbuj

Dodawanie strzałek amplitud

Materiały: Papierowe strzałki albo symulacja wskazów.

  1. 1. Narysuj dwie jednakowe, równolegle skierowane strzałki.
  2. 2. Dodaj je metodą koniec do początku.
  3. 3. Powtórz dla strzałek przeciwnie skierowanych.
  4. 4. Porównaj kwadraty długości wypadkowych.

Zwróć uwagę: Faza zmienia prawdopodobieństwa przez dodawanie amplitud, a nie przez dodawanie najpierw zwykłych prawdopodobieństw.

Sprawdź, czy rozumiesz: Co w kwantowym eksperymencie z dwiema drogami dodaje się przed obliczeniem prawdopodobieństwa?

Odpowiedź: Amplitudy prawdopodobieństwa.

To ich fazy tworzą interferencję konstruktywną i destruktywną.

Lekcja 2 z 3

Obserwable i niepewność

Co to znaczy, że wielkość fizyczną reprezentuje operator?

Obserwabli odpowiada operator, którego wartości własne są możliwymi wynikami pomiaru. Stan może być ostro określony dla jednej obserwabli i rozmyty między wynikami innej.

Niepewność położenia i pędu jest strukturalna, a nie wynika po prostu z kiepskich przyrządów. Wynika z tego, że reprezentujące je operacje nie są przemienne.

obserwabla · operator · wartość własna · relacja niepewności

Przykład rozwiązany

Paczkę falową ściśnięto do węższego zakresu położeń. Co dzieje się z rozrzutem pędu?

  1. 1. Wąska paczka wymaga większej liczby składowych o różnych długościach fali.
  2. 2. Różnym długościom fali odpowiadają różne pędy.
  3. 3. Rozkład pędu się poszerza.

Lepsza lokalizacja położenia zwiększa niepewność pędu.

Spróbuj

Budowa paczki falowej

Materiały: Symulacja superpozycji fal.

  1. 1. Złóż kilka bliskich sobie długości fali.
  2. 2. Zaobserwuj szeroką paczkę.
  3. 3. Dodaj szerszy zakres długości fali.
  4. 4. Porównaj lokalizację i rozrzut składowych.

Zwróć uwagę: Lokalizacja powstaje z szerokiego widma, co wizualnie łączy strukturę Fouriera z niepewnością.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy niepewność Heisenberga bierze się wyłącznie z zaburzania cząstki przez przyrząd pomiarowy?

Odpowiedź: Nie.

Zaburzenie pomiarowe może mieć znaczenie, ale relacja niepewności jest własnością stanów kwantowych i nieprzemiennych obserwabli.

Lekcja 3 z 3

Skwantowana energia i stan podstawowy

Dlaczego oscylator może stracić energię cieplną, a mimo to zachować energię punktu zerowego?

Związane układy kwantowe często dopuszczają dyskretne poziomy energetyczne. Przejścia wymieniają energię w kwantach ustalonych przez różnice poziomów.

Dla oscylatora harmonicznego najniższa energia wynosi ½ℏω. To nie jest nieograniczony dostępny zbiornik: stan podstawowy jest już stanem minimalnym dla tego hamiltonianu.

kwantyzacja · stała Plancka · stan podstawowy · energia punktu zerowego

Przykład rozwiązany

Częstotliwość oscylatora podwaja się. Jak zmienia się jego energia stanu podstawowego?

  1. 1. Skorzystaj z E₀ = ½ℏω.
  2. 2. Energia stanu podstawowego jest proporcjonalna do częstości kołowej.
  3. 3. Podwój ω.

Energia stanu podstawowego się podwaja, ale pozyskanie pracy w cyklu i tak wymaga zmiany układu oraz pokrycia kosztów sterowania.

Spróbuj

Spektroskopia poziomów energetycznych

Materiały: Symulowany atom z możliwością wyboru energii fotonu.

  1. 1. Wyślij fotony o energii poniżej przerwy między poziomami.
  2. 2. Zwiększ energię dokładnie do wartości przerwy.
  3. 3. Zanotuj absorpcję.
  4. 4. Wypróbuj większe przerwy: niedopasowane i dopasowane.

Zwróć uwagę: Dyskretna absorpcja ujawnia dozwolone różnice energii, a nie dowolne energie klasyczne.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego stan podstawowy nie jest automatycznie zbiornikiem paliwa?

Odpowiedź: Ponieważ jest już stanem o najniższej energii dla danego układu.

Użyteczna praca wymaga przejścia do niższego dostępnego stanu albo zmienionego z zewnątrz hamiltonianu i pełnego cyklu.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

  1. P = |ψ|²

    Gęstość prawdopodobieństwa wyniku to kwadrat modułu amplitudy stanu.

    Jednostki: zależne od kontekstu

  2. ΔxΔp ≥ ℏ/2

    Rozrzuty położenia i pędu nie mogą być jednocześnie dowolnie małe.

    Jednostki: J·s

  3. E_n = ℏω(n + ½)

    Kwantowy oscylator harmoniczny ma dyskretne poziomy i niezerową energię podstawową.

    Jednostki: J

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Dwie rzeczywiste amplitudy +0,4 i +0,3 prowadzą do jednego wyniku. Znajdź nieznormalizowaną wagę prawdopodobieństwa.

    Pokaż podpowiedź

    Dodaj amplitudy, a potem podnieś do kwadratu.

    Pokaż rozwiązanie

    |0,7|² = 0,49.

  2. 2. Te same amplitudy docierają z przeciwnymi znakami. Znajdź wagę.

    Pokaż podpowiedź

    Najpierw dodaj +0,4 i −0,3.

    Pokaż rozwiązanie

    |0,1|² = 0,01.

  3. 3. Znajdź przerwę E₂−E₁ dla oscylatora harmonicznego.

    Pokaż podpowiedź

    Odejmij ℏω(2,5) − ℏω(1,5).

    Pokaż rozwiązanie

    ℏω.

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami