The Spacetime Metric
Poziom 2 · Fizyka szkoły średniejKlasy 10–12Około 9 godzin

Szczególna teoria względności bez skrótów

Używaj ilościowo zdarzeń, stożków świetlnych, transformacji Lorentza i czterowektorów.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

To porównanie pokazuje grawitację newtonowską, a nie szczególną teorię względności. Strzałki oznaczają kierunki przyspieszenia na zewnątrz mas kulistych, nie czterowektory ani rysunek metryki czasoprzestrzeni.

Grawitacja nie ma uniwersalnego dołu

Wyobraź sobie małe obiekty próbne ze wszystkich stron mas. Każda strzałka pokazuje kierunek, w którym grawitacja zmienia ruch obiektu, a nie jego tor.

Układ mas
Kierunki grawitacji w trzech wymiarachPunkty oznaczają miejsca próbkowania. Strzałki wskazują wypadkowe przyspieszenie grawitacyjne. Punkt z obwódką jest wybraną próbką. Wszystkie niezerowe strzałki mają jednakową długość w 3D: pokazują tylko kierunek. Natężenie można odczytać z wartości w danym punkcie. Strzałka może wyglądać na krótszą, gdy jest skierowana w stronę obserwatora lub od niego.

Na zewnątrz jednej masy kulistej grawitacja ze wszystkich stron jest skierowana ku jej środkowi.

Wszystkie niezerowe strzałki mają jednakową długość w 3D: pokazują tylko kierunek. Natężenie można odczytać z wartości w danym punkcie. Strzałka może wyglądać na krótszą, gdy jest skierowana w stronę obserwatora lub od niego. Jaśniejsze strzałki leżą w dalszej połowie sceny; nie oznaczają słabszej grawitacji.

Punkt widzenia

Przeciągnij obraz pola albo użyj tych elementów sterujących, aby zmienić punkt widzenia. Suwaki i przyciski widoku działają z klawiaturą. Żadne z nich nie przesuwa mas ani nie zmienia pola grawitacyjnego.

Sprawdź: gdzie jest dół?

  1. Wybierz jedną masę. Przewidź, dokąd wskazują strzałki po jej dalszej stronie, a potem obróć widok i sprawdź. Spójrz z góry i z dołu: czy strzałki nadal wskazują w stronę masy?
  2. Wybierz dwie masy i znów obróć widok. Każda strzałka pokazuje teraz łączne przyciąganie obu mas; nie musi wskazywać środka żadnej z nich. Mniejsza masa też ma swój udział.

Czy obrót widoku zmienił grawitację, czy tylko sposób, w jaki ją widzisz?

Sprawdź odpowiedź

Zmienił się tylko twój punkt widzenia. Masy i przyciąganie w każdym punkcie pozostały takie same. Pod całą sceną nie ma żadnego wspólnego dołu.

Wybrany punkt · Jednostki przeskalowane do nauki

x, y i z to współrzędne sceny, a nie uniwersalna góra lub dół.

Położenie (x, y, z)
1,25; 0,02604; 0
Przyspieszenie (x, y, z)
-2,559; -0,05333; 0
Natężenie
2,56

Masy w tym obrazie

  • A: Masa 4; Promień 0,64; Środek (0; 0; 0)
Wartości we wszystkich punktach
Te same położenia i wartości pola, które przedstawiono na diagramie
PunktPołożenie (x, y, z)Przyspieszenie (x, y, z)Natężenie
11,25; 0,02604; 0-2,559; -0,05333; 02,56
2-1,25; -0,02604; 02,559; 0,05333; 02,56
3-0,9199; 0,07813; 0,84271,884; -0,16; -1,7262,56
40,9199; -0,07813; -0,8427-1,884; 0,16; 1,7262,56
50,1087; 0,1302; -1,238-0,2226; -0,2667; 2,5362,56
6-0,1087; -0,1302; 1,2380,2226; 0,2667; -2,5362,56
70,7524; 0,1823; 0,9814-1,541; -0,3733; -2,012,56
8-0,7524; -0,1823; -0,98141,541; 0,3733; 2,012,56
9-1,209; 0,2344; -0,21392,476; -0,48; 0,4382,56
101,209; -0,2344; 0,2139-2,476; 0,48; -0,4382,56
111,027; 0,2865; -0,6531-2,103; -0,5867; 1,3372,56
12-1,027; -0,2865; 0,65312,103; 0,5867; -1,3372,56
13-0,3124; 0,3385; 1,1620,6397; -0,6933; -2,382,56
140,3124; -0,3385; -1,162-0,6397; 0,6933; 2,382,56
15-0,5473; 0,3906; -1,0541,121; -0,8; 2,1582,56
160,5473; -0,3906; 1,054-1,121; 0,8; -2,1582,56
171,098; 0,4427; 0,401-2,249; -0,9067; -0,82132,56
18-1,098; -0,4427; -0,4012,249; 0,9067; 0,82132,56
19-1,061; 0,4948; 0,4382,173; -1,013; -0,8972,56
201,061; -0,4948; -0,438-2,173; 1,013; 0,8972,56
210,4764; 0,5469; -1,018-0,9757; -1,12; 2,0852,56
22-0,4764; -0,5469; 1,0180,9757; 1,12; -2,0852,56
230,3284; 0,599; 1,047-0,6725; -1,227; -2,1442,56
24-0,3284; -0,599; -1,0470,6725; 1,227; 2,1442,56
25-0,9232; 0,651; -0,5351,891; -1,333; 1,0962,56
260,9232; -0,651; 0,535-1,891; 1,333; -1,0962,56
271,009; 0,7031; -0,2219-2,067; -1,44; 0,45452,56
28-1,009; -0,7031; 0,22192,067; 1,44; -0,45452,56
29-0,5729; 0,7552; 0,81481,173; -1,547; -1,6692,56
300,5729; -0,7552; -0,8148-1,173; 1,547; 1,6692,56
31-0,1226; 0,8073; -0,94640,2512; -1,653; 1,9382,56
320,1226; -0,8073; 0,9464-0,2512; 1,653; -1,9382,56
330,6941; 0,8594; 0,585-1,422; -1,76; -1,1982,56
34-0,6941; -0,8594; -0,5851,422; 1,76; 1,1982,56
35-0,8547; 0,9115; 0,035341,75; -1,867; -0,072382,56
360,8547; -0,9115; -0,03534-1,75; 1,867; 0,072382,56
370,5644; 0,9635; -0,5617-1,156; -1,973; 1,152,56
38-0,5644; -0,9635; 0,56171,156; 1,973; -1,152,56
39-0,03366; 1,016; 0,72790,06894; -2,08; -1,4912,56
400,03366; -1,016; -0,7279-0,06894; 2,08; 1,4912,56
41-0,4165; 1,068; -0,49910,8529; -2,187; 1,0222,56
420,4165; -1,068; 0,4991-0,8529; 2,187; -1,0222,56
430,5505; 1,12; 0,07407-1,127; -2,293; -0,15172,56
44-0,5505; -1,12; -0,074071,127; 2,293; 0,15172,56
45-0,3571; 1,172; 0,24840,7313; -2,4; -0,50882,56
460,3571; -1,172; -0,2484-0,7313; 2,4; 0,50882,56
470,05571; 1,224; -0,2476-0,1141; -2,507; 0,50722,56
48-0,05571; -1,224; 0,24760,1141; 2,507; -0,50722,56
492,05; 0,04271; 0-0,9516; -0,01983; 00,9518
50-2,05; -0,04271; 00,9516; 0,01983; 00,9518
51-1,509; 0,1281; 1,3820,7005; -0,05949; -0,64170,9518
521,509; -0,1281; -1,382-0,7005; 0,05949; 0,64170,9518
530,1782; 0,2135; -2,031-0,08276; -0,09915; 0,9430,9518
54-0,1782; -0,2135; 2,0310,08276; 0,09915; -0,9430,9518
551,234; 0,299; 1,609-0,5729; -0,1388; -0,74730,9518
56-1,234; -0,299; -1,6090,5729; 0,1388; 0,74730,9518
57-1,983; 0,3844; -0,35070,9206; -0,1785; 0,16280,9518
581,983; -0,3844; 0,3507-0,9206; 0,1785; -0,16280,9518
591,684; 0,4698; -1,071-0,7817; -0,2181; 0,49730,9518
60-1,684; -0,4698; 1,0710,7817; 0,2181; -0,49730,9518
61-0,5123; 0,5552; 1,9060,2379; -0,2578; -0,88480,9518
620,5123; -0,5552; -1,906-0,2379; 0,2578; 0,88480,9518
63-0,8975; 0,6406; -1,7280,4167; -0,2974; 0,80240,9518
640,8975; -0,6406; 1,728-0,4167; 0,2974; -0,80240,9518
651,801; 0,726; 0,6576-0,8361; -0,3371; -0,30530,9518
66-1,801; -0,726; -0,65760,8361; 0,3371; 0,30530,9518
67-1,74; 0,8115; 0,71830,8079; -0,3768; -0,33350,9518
681,74; -0,8115; -0,7183-0,8079; 0,3768; 0,33350,9518
690,7813; 0,8969; -1,67-0,3628; -0,4164; 0,77520,9518
70-0,7813; -0,8969; 1,670,3628; 0,4164; -0,77520,9518
710,5385; 0,9823; 1,717-0,25; -0,4561; -0,79710,9518
72-0,5385; -0,9823; -1,7170,25; 0,4561; 0,79710,9518
73-1,514; 1,068; -0,87750,703; -0,4957; 0,40740,9518
741,514; -1,068; 0,8775-0,703; 0,4957; -0,40740,9518
751,655; 1,153; -0,3639-0,7686; -0,5354; 0,1690,9518
76-1,655; -1,153; 0,36390,7686; 0,5354; -0,1690,9518
77-0,9395; 1,239; 1,3360,4362; -0,5751; -0,62050,9518
780,9395; -1,239; -1,336-0,4362; 0,5751; 0,62050,9518
79-0,2011; 1,324; -1,5520,09339; -0,6147; 0,72070,9518
800,2011; -1,324; 1,552-0,09339; 0,6147; -0,72070,9518
811,138; 1,409; 0,9594-0,5285; -0,6544; -0,44540,9518
82-1,138; -1,409; -0,95940,5285; 0,6544; 0,44540,9518
83-1,402; 1,495; 0,057960,6508; -0,694; -0,026910,9518
841,402; -1,495; -0,05796-0,6508; 0,694; 0,026910,9518
850,9257; 1,58; -0,9212-0,4298; -0,7337; 0,42770,9518
86-0,9257; -1,58; 0,92120,4298; 0,7337; -0,42770,9518
87-0,0552; 1,666; 1,1940,02563; -0,7733; -0,55430,9518
880,0552; -1,666; -1,194-0,02563; 0,7733; 0,55430,9518
89-0,683; 1,751; -0,81850,3171; -0,813; 0,380,9518
900,683; -1,751; 0,8185-0,3171; 0,813; -0,380,9518
910,9029; 1,836; 0,1215-0,4192; -0,8527; -0,05640,9518
92-0,9029; -1,836; -0,12150,4192; 0,8527; 0,05640,9518
93-0,5856; 1,922; 0,40740,2719; -0,8923; -0,18920,9518
940,5856; -1,922; -0,4074-0,2719; 0,8923; 0,18920,9518
950,09136; 2,007; -0,4061-0,04242; -0,932; 0,18860,9518
96-0,09136; -2,007; 0,40610,04242; 0,932; -0,18860,9518

Ten newtonowski obraz chwili zakłada, że masa każdego ciała jest rozmieszczona tak samo we wszystkich kierunkach od jego środka. Pokazuje tylko pole na zewnątrz, a nie krzywiznę czasoprzestrzeni. Ciała pozostają nieruchome; ich ruch nie jest symulowany.

Laboratorium interaktywne

Klasyfikator zdarzeń typu light-cone

Przesuń drugie zdarzenie w przestrzeni i czasie. Przedział niezmienniczy — nie tylko rysunek obserwatora — klasyfikuje ich związek przyczynowy.

CTx

timelike: Δs² = 8.94 km². A slower-than-light signal could connect the events, and their time order is invariant.

Poziom 2 · Fizyka szkoły średniej · Zestaw dydaktyczny

Zapisz badanie. Nauczaj rozumowania.

Karta laboratoryjna dla ucznia i przewodnik dla prowadzącego zamieniają model interaktywny w powtarzalne badanie.

Karta ucznia

Przedział stożków światła i atlas przyczynowości

Które pary zdarzeń mogą wymieniać sygnał, a które opisy pozostają niezmienne, gdy współrzędne się zmieniają?

Pobierz Markdown dla ucznia

Przewodnik prowadzącego

Nauczaj badania, nie interfejsu

Uczący klasyfikują separację zdarzeń od przedziału niezmienniczego i rozróżniają współrzędne od struktury przyczynowej.

Pobierz Markdown dla prowadzącego
Otwórz kompletny zestaw do druku →

Lekcja 1 z 3

Czynnik Lorentza i poruszające się zegary

Ile czasu własnego narasta wzdłuż różnych torów inercjalnych?

Czynnik Lorentza γ = 1/√(1−v²/c²) mówi, jak silnie mieszają się współrzędne przestrzenne i czasowe. Przy codziennych prędkościach γ jest niemal równe jedności.

Czas własny to czas, który zegar odmierza wzdłuż swojego toru. Między tym samym rozstaniem a spotkaniem różne tory mogą odmierzyć różne czasy własne.

czynnik Lorentza · czas własny · dylatacja czasu · linia świata

Przykład rozwiązany

Statek kosmiczny porusza się z prędkością 0,80c. Znajdź γ.

  1. 1. Oblicz v²/c² = 0,64.
  2. 2. Oblicz √(1−0,64) = 0,60.
  3. 3. Weź odwrotność.

γ ≈ 1,67; 1,0 roku na statku obejmuje około 1,67 roku w wybranym układzie Ziemi.

Spróbuj

Tabela czynnika Lorentza

Materiały: Kalkulator oraz arkusz kalkulacyjny albo papier w kratkę.

  1. 1. Oblicz γ dla 0, 0,1c, 0,5c, 0,8c, 0,95c i 0,99c.
  2. 2. Narysuj wykres γ w funkcji v/c.
  3. 3. Wskaż obszar nieliniowy.
  4. 4. Wyjaśnij, dlaczego żadne skończone γ nie sięga c.

Zwróć uwagę: Efekty relatywistyczne rosną gwałtownie w pobliżu c, a nie liniowo z prędkością.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy dylatacja czasu oznacza, że mechanizm zegara jednego z obserwatorów jest wadliwy?

Odpowiedź: Nie.

Każdy lokalny zegar chodzi normalnie; upływ czasu zależy od toru w czasoprzestrzeni między porównywanymi zdarzeniami.

Lekcja 2 z 3

Niezmiennicze interwały i stożki świetlne

Które zdarzenia mogą na siebie wpływać?

Interwał łączy rozdzielenie czasowe i przestrzenne w wielkość, co do której zgadzają się wszyscy obserwatorzy inercjalni. Zdarzenia rozdzielone czasowo można połączyć ruchem wolniejszym od światła; zdarzenia rozdzielone świetlnie — światłem; zdarzeń rozdzielonych przestrzennie nie da się powiązać przyczynowo bez oddziaływania nadświetlnego.

Obserwatorzy mogą się różnić co do kolejności czasowej zdarzeń rozdzielonych przestrzennie, ale zgadzają się co do ich klasyfikacji przyczynowej.

czasopodobny · świetlnopodobny · przestrzennopodobny · przyczynowość

Przykład rozwiązany

Dwa zdarzenia dzieli 5 sekund świetlnych w przestrzeni i 3 sekundy w czasie.

  1. 1. Światło pokonałoby w 3 sekundy tylko 3 sekundy świetlne.
  2. 2. Rozdzielenie przestrzenne przekracza cΔt.
  3. 3. Zaklasyfikuj interwał jako przestrzennopodobny.

Żaden sygnał biegnący z prędkością c lub mniejszą nie połączy tych zdarzeń w tym układzie, a wszyscy obserwatorzy inercjalni zgadzają się, że są przestrzennopodobne.

Spróbuj

Narysuj mapę stożka świetlnego

Materiały: Papier w kratkę z ct na pionowej i x na poziomej osi.

  1. 1. Narysuj promienie świetlne pod kątem 45° wychodzące ze zdarzenia.
  2. 2. Umieść przykłady rozdzieleń czasopodobnych, świetlnopodobnych i przestrzennopodobnych.
  3. 3. Narysuj linię świata wolniejszego obserwatora.
  4. 4. Sprawdź, które punkty mogą odebrać sygnał.

Zwróć uwagę: Stożek jest granicą przyczynową, a nie fizyczną powłoką biegnącą przez przestrzeń.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy dwaj obserwatorzy inercjalni mogą się różnić co do tego, czy dwa zdarzenia są przestrzennopodobne?

Odpowiedź: Nie.

Klasyfikacja interwału jest niezmiennicza, nawet gdy różnice współrzędnych się zmieniają.

Lekcja 3 z 3

Relatywistyczna energia i pęd

Co zastępuje klasyczne wzory na energię kinetyczną przy prędkościach bliskich prędkości światła?

Pęd relatywistyczny p = γmv rośnie nieograniczenie, gdy ciało masywne zbliża się do c. Energia całkowita i pęd spełniają E² = (pc)² + (mc²)².

Światło ma zerową masę spoczynkową, lecz niezerową energię i pęd. Propozycja czasoprzestrzeni warp zmienia geometrię, zamiast rozpędzać lokalnie statek ponad c.

energia spoczynkowa · pęd relatywistyczny · czteropęd · cząstka bezmasowa

Przykład rozwiązany

Znajdź energię całkowitą ciała o masie 1 kg przy 0,80c, wyrażoną w jednostkach jego energii spoczynkowej.

  1. 1. Skorzystaj z E = γmc².
  2. 2. Przy 0,80c mamy γ ≈ 1,67.
  3. 3. Podziel przez mc².

Energia całkowita to około 1,67 energii spoczynkowej; energia kinetyczna to około 0,67mc².

Spróbuj

Porównanie klasyczne kontra relatywistyczne

Materiały: Kalkulator albo arkusz kalkulacyjny.

  1. 1. Oblicz klasyczne ½mv² i relatywistyczne (γ−1)mc² dla kilku wartości v/c.
  2. 2. Znormalizuj obie wielkości przez mc².
  3. 3. Narysuj wykres różnicy.
  4. 4. Zaznacz, gdzie błąd klasyczny przekracza 1%.

Zwróć uwagę: Mechanika klasyczna jest znakomitym przybliżeniem przy małych prędkościach i stopniowo zawodzi w pobliżu c.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego światło może nieść pęd bez masy spoczynkowej?

Odpowiedź: Dla m = 0 związek energii z pędem przyjmuje postać E = pc.

Masa spoczynkowa nie jest potrzebna do istnienia pędu relatywistycznego.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

  1. γ = 1/√(1−v²/c²)

    Czynnik Lorentza mierzy relatywistyczne mieszanie przy prędkości v.

    Jednostki: bezwymiarowe

  2. Δs² = c²Δt² − Δx²

    Interwał czasoprzestrzenny jest niezmienniczy między układami inercjalnymi.

    Jednostki: m²

  3. E² = (pc)² + (mc²)²

    Energia, pęd i masa spoczynkowa tworzą jeden związek relatywistyczny.

    Jednostki: J²

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Znajdź γ przy 0,60c.

    Pokaż podpowiedź

    Oblicz 1/√(1−0,36).

    Pokaż rozwiązanie

    γ = 1,25.

  2. 2. Mion przeżywa 2,2 μs, poruszając się z γ = 10. Jaki czas życia zmierzono w układzie laboratorium?

    Pokaż podpowiedź

    Δt = γΔτ.

    Pokaż rozwiązanie

    22 μs.

  3. 3. Foton ma energię 3,0 eV. Zapisz jego pęd symbolicznie.

    Pokaż podpowiedź

    Podstaw m = 0 w związku energii z pędem.

    Pokaż rozwiązanie

    p = E/c = 3,0 eV/c.

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami