The Spacetime Metric
Poziom 3 · Trzon studiów licencjackichStudia, rok 1–2Około 18 godzin

Mechanika kwantowa I–II

Rozwiń stany w przestrzeni Hilberta, operatory, dynamikę, spin, metody przybliżone i cząstki nierozróżnialne.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Mod wnęki, dyskretne poziomy energii i stacjonarna reprezentacja stanu podstawowego w przestrzeni fazowej.
Oscylator harmoniczny jest wielokrotnie używanym rdzeniem rachunków dla stanów związanych, modów pola i energii punktu zerowego; jego stan podstawowy jest stacjonarny, a nie trajektorią.

Laboratorium interaktywne

Spektrum kwantowego stanu związanego

Zmień studnię nieskończoną i jej masę cząstki. Warunki brzegowe wybierają dyskretne energie, których odstępy skalują się z n², odwrotną masą i odwrotną szerokością do kwadratu.

n=1n=2n=3n=4n=5n=6

Energia gruntu: 0.376 eV

Wybrana energia: 0.376 eV

E1/E1: 1

Dozwolone n: 1, 2, 3, …

Brakujące n=0 nie jest ukrytym stanem o zerowej energii: sprawiłoby, że funkcja falowa byłaby identycznie zerowa na obu granicach i nie mogłaby reprezentować znormalizowanej cząstki.

Poziom 3 · Trzon studiów licencjackich · Zestaw dydaktyczny

Zapisz badanie. Nauczaj rozumowania.

Karta laboratoryjna dla ucznia i przewodnik dla prowadzącego zamieniają model interaktywny w powtarzalne badanie.

Karta ucznia

Audyt spektrum dyskretnego i stan bazowy

Jak parametry Hamiltona i warunki brzegowe określają dozwolone energie i prawdopodobieństwa pomiaru?

Pobierz Markdown dla ucznia

Przewodnik prowadzącego

Nauczaj badania, nie interfejsu

Uczący się łączą określony Hamiltonian i warunki brzegowe z znormalizowanym dyskretnym widmem bez uniwersalizacji jednego modelu.

Pobierz Markdown dla prowadzącego
Otwórz kompletny zestaw do druku →

Lekcja 1 z 3

Przestrzeń Hilberta, stany i operatory

Jak algebra liniowa koduje przygotowanie, ewolucję i pomiar?

Stan czysty to unormowany wektor określony z dokładnością do globalnej fazy. Obserwable to operatory hermitowskie; wartości własne są możliwymi wynikami, a rzuty zadają prawdopodobieństwa.

Operatory nieprzemienne nie mogą mieć wspólnej pełnej bazy ostrych stanów, co daje strukturalne relacje niepewności.

przestrzeń Hilberta · operator hermitowski · stan własny · komutator

Przykład rozwiązany

Dla unormowanego |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2 znajdź prawdopodobieństwa w bazie {|0⟩,|1⟩}.

  1. 1. Zrzutuj na |0⟩ i |1⟩.
  2. 2. Amplitudy wynoszą 1/√2 oraz i/√2.
  3. 3. Podnieś moduły do kwadratu.

Każdy wynik ma prawdopodobieństwo 1/2; w innych bazach faza względna ma znaczenie.

Spróbuj

Obrót bazy

Materiały: Notatnik obliczeniowy z dwuskładnikowymi wektorami zespolonymi.

  1. 1. Zdefiniuj bazę obliczeniową i bazę obróconą.
  2. 2. Zrzutuj jeden stan na każdą z nich.
  3. 3. Sprawdź unormowanie prawdopodobieństw.
  4. 4. Zmieniaj fazę względną.

Zwróć uwagę: Prawdopodobieństwa zależą od bazy pomiarowej, podczas gdy wektor stanu transformuje się spójnie.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego operatory obserwabli muszą być hermitowskie?

Odpowiedź: Mają rzeczywiste wartości własne i ortogonalną strukturę widmową odpowiednią dla wyników pomiaru.

Hermitowskość zapewnia rzeczywiste wartości oczekiwane i unitarny rozkład na bazę.

Lekcja 2 z 3

Dynamika Schrödingera i stany związane

Jak hamiltonian i warunki brzegowe wyznaczają dozwolone energie?

Równanie Schrödingera zależne od czasu generuje ewolucję unitarną. Rozdzielenie czasu dla hamiltonianu niezależnego od czasu daje zagadnienie własne.

Warunki brzegowe i wymóg normowalności kwantują energie stanów związanych. Tunelowanie wynika z niezerowej amplitudy funkcji falowej w obszarach klasycznie wzbronionych.

hamiltonian · ewolucja unitarna · stan związany · tunelowanie

Przykład rozwiązany

Znajdź energie w nieskończonej studni o szerokości L.

  1. 1. Wewnątrz rozwiąż ψ″+k²ψ=0.
  2. 2. Narzuć ψ(0)=ψ(L)=0.
  3. 3. Otrzymaj k=nπ/L.
  4. 4. Skorzystaj z E=ℏ²k²/(2m).

Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…

Spróbuj

Szukanie wartości własnych studni skończonej

Materiały: Notatnik obliczeń numerycznych.

  1. 1. Zdefiniuj skończoną studnię prostokątną.
  2. 2. Scałkuj dla próbnych energii.
  3. 3. Wykryj niezgodność na brzegu.
  4. 4. Znajdź pierwiastkami dozwolone energie i narysuj stany.

Zwróć uwagę: Skończone bariery przesuwają energie i dają wykładniczo zanikające ogony.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego w nieskończonej studni nie ma n=0?

Odpowiedź: Daje ono zerową funkcję falową przy obu warunkach brzegowych, a takiej nie da się unormować jako stanu fizycznego.

Pierwszy nietrywialny mod stojący to n=1.

Lekcja 3 z 3

Spin, układy złożone i metody przybliżone

Jak czysto kwantowe stopnie swobody i przybliżenia poszerzają zbiór rozwiązywalnych modeli?

Stany o spinie 1/2 żyją w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej i transformują się przy obrotach inaczej niż klasyczne strzałki. Układy złożone opisuje się iloczynem tensorowym i mogą być splątane.

Rachunek zaburzeń i metody wariacyjne szacują układy bliskie przypadkom ściśle rozwiązywalnym lub wykraczające poza nie, z wyraźnie podanymi granicami zbieżności i stanów próbnych.

spinor · iloczyn tensorowy · splątanie · rachunek zaburzeń

Przykład rozwiązany

Stan o spinie w górę wzdłuż z zostaje zmierzony wzdłuż x. Jakie wychodzą prawdopodobieństwa?

  1. 1. Zapisz |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
  2. 2. Zrzutuj na stany własne x.
  3. 3. Podnieś amplitudy do kwadratu.

Wyniki w górę wzdłuż x i w dół wzdłuż x pojawiają się każdy z prawdopodobieństwem 1/2.

Spróbuj

Wariacyjne oszacowanie stanu podstawowego

Materiały: Notatnik obliczeniowy i sparametryzowana próbna funkcja falowa.

  1. 1. Unormuj stan próbny.
  2. 2. Oblicz ⟨H⟩ w funkcji parametru.
  3. 3. Zminimalizuj numerycznie.
  4. 4. Porównaj ze znanym wzorcem.

Zwróć uwagę: Minimum wariacyjne jest górnym ograniczeniem prawdziwej energii podstawowej w ramach modelowanego hamiltonianu.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy splątanie pozwala na sterowane przesyłanie wiadomości szybciej niż światło?

Odpowiedź: Nie.

Wyniki lokalne pozostają losowe; korelacje wymagają porównania klasycznym kanałem i respektują zakaz sygnalizowania.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

  1. iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩

    Hamiltonian generuje unitarną ewolucję stanu kwantowego.

  2. ⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩

    Wartość oczekiwana uśrednia wyniki obserwabli w danym stanie.

  3. ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|

    Nieprzemienne obserwable narzucają zależne od stanu ograniczenie na niepewność.

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Unormuj ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ dla x≥0 przy a>0.

    Pokaż podpowiedź

    Przyjmij ∫|ψ|²dx=1.

    Pokaż rozwiązanie

    A=√(2a), przy wyborze dodatniej fazy rzeczywistej.

  2. 2. Dla [x,p]=iℏ odtwórz ograniczenie niepewności położenia i pędu.

    Pokaż podpowiedź

    Skorzystaj z ogólnej nierówności komutatorowej.

    Pokaż rozwiązanie

    ΔxΔp≥ℏ/2.

  3. 3. O ile zaburzenie λx przesuwa w pierwszym rzędzie stan podstawowy o parzystej parzystości?

    Pokaż podpowiedź

    Oblicz λ⟨0|x|0⟩ i wykorzystaj parzystość.

    Pokaż rozwiązanie

    Zerowe przesunięcie w pierwszym rzędzie dla stanu parzystego w niezaburzonym układzie symetrycznym względem parzystości.

Pracownia wyprowadzeń

Zbuduj wynik, linijka po linijce.

Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.

  1. Punkt wyjścia

    Widmo nieskończonej studni prostokątnej

    −(ℏ²/2m)ψ″=Eψ dla 0<x<L

    1. 1. Przyjmij k²=2mE/ℏ².
    2. 2. Rozwiąż ψ=A sin kx+B cos kx.
    3. 3. Zastosuj ψ(0)=0, aby otrzymać B=0.
    4. 4. Zastosuj ψ(L)=0, aby wymusić kL=nπ.

    Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)

    Kwantowanie energii bierze się z dynamiki falowej połączonej z warunkami brzegowymi.

  2. Punkt wyjścia

    Energia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń

    H=H₀+λV i rozwinięcie |n⟩ w potęgach λ

    1. 1. Wstaw szereg do H|ψ⟩=E|ψ⟩.
    2. 2. Zbierz wyrazy pierwszego rzędu.
    3. 3. Zrzutuj z ⟨n⁰|.
    4. 4. Skorzystaj z ortonormalności i związku własnego H₀.

    Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩

    Przesunięcie pierwszego rzędu to wartość oczekiwana zaburzenia w stanie niezaburzonym.

Notatnik obliczeniowy

Zamień model w eksperyment.

  1. Ewolucja paczki falowej

    Jak dyspersja i rozpraszanie na barierze przekształcają paczkę gaussowską?

    Dane wejściowe

    • • Środek paczki, szerokość, pęd średni
    • • Siatka i krok czasowy
    • • Potencjał swobodny albo barierowy

    Algorytm

    1. 1. Zbuduj i unormuj ψ.
    2. 2. Propaguj stabilną metodą rozdzielonego kroku albo metodą Cranka–Nicolson.
    3. 3. Śledź normę i energię.
    4. 4. Zmierz odbicie, przejście i rozpływanie się paczki.

    Dowody do uzyskania

    • • Wykres gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni i czasie
    • • Diagnostyka zachowania normy i energii
    • • Odbicie i przejście w funkcji energii

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami