Mechanika kwantowa I–II
Rozwiń stany w przestrzeni Hilberta, operatory, dynamikę, spin, metody przybliżone i cząstki nierozróżnialne.
Przejdź od mechaniki falowej do struktury formalnej potrzebnej w teorii pól kwantowych, stanach próżni, fizyce Casimira, fizyce materii skondensowanej i krytycznej lekturze tez o technologiach kwantowych.
Zanim zaczniesz
- • Mechanika kwantowa z poziomu 2
- • Rachunek różniczkowy i równania różniczkowe
- • Algebra liniowa i liczby zespolone
Na koniec będziesz umieć
- • Posługiwać się stanami-ketami, iloczynami skalarnymi i operatorami hermitowskimi.
- • Rozwiązywać dynamikę Schrödingera i wyznaczać stany stacjonarne.
- • Obliczać prawdopodobieństwa dla spinu i stanów złożonych.
- • Stosować rachunek zaburzeń i metodę wariacyjną z jasno podanymi przybliżeniami.
Model interaktywny
Zbadaj, zanim policzysz
Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →
Lekcja 1 z 3
Przestrzeń Hilberta, stany i operatory
Jak algebra liniowa koduje przygotowanie, ewolucję i pomiar?
Stan czysty to unormowany wektor określony z dokładnością do globalnej fazy. Obserwable to operatory hermitowskie; wartości własne są możliwymi wynikami, a rzuty zadają prawdopodobieństwa.
Operatory nieprzemienne nie mogą mieć wspólnej pełnej bazy ostrych stanów, co daje strukturalne relacje niepewności.
Przykład rozwiązany
Dla unormowanego |ψ⟩=(|0⟩+i|1⟩)/√2 znajdź prawdopodobieństwa w bazie {|0⟩,|1⟩}.
- 1. Zrzutuj na |0⟩ i |1⟩.
- 2. Amplitudy wynoszą 1/√2 oraz i/√2.
- 3. Podnieś moduły do kwadratu.
Każdy wynik ma prawdopodobieństwo 1/2; w innych bazach faza względna ma znaczenie.
Spróbuj
Obrót bazy
Materiały: Notatnik obliczeniowy z dwuskładnikowymi wektorami zespolonymi.
- 1. Zdefiniuj bazę obliczeniową i bazę obróconą.
- 2. Zrzutuj jeden stan na każdą z nich.
- 3. Sprawdź unormowanie prawdopodobieństw.
- 4. Zmieniaj fazę względną.
Zwróć uwagę: Prawdopodobieństwa zależą od bazy pomiarowej, podczas gdy wektor stanu transformuje się spójnie.
Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego operatory obserwabli muszą być hermitowskie?
Odpowiedź: Mają rzeczywiste wartości własne i ortogonalną strukturę widmową odpowiednią dla wyników pomiaru.
Hermitowskość zapewnia rzeczywiste wartości oczekiwane i unitarny rozkład na bazę.
Lekcja 2 z 3
Dynamika Schrödingera i stany związane
Jak hamiltonian i warunki brzegowe wyznaczają dozwolone energie?
Równanie Schrödingera zależne od czasu generuje ewolucję unitarną. Rozdzielenie czasu dla hamiltonianu niezależnego od czasu daje zagadnienie własne.
Warunki brzegowe i wymóg normowalności kwantują energie stanów związanych. Tunelowanie wynika z niezerowej amplitudy funkcji falowej w obszarach klasycznie wzbronionych.
Przykład rozwiązany
Znajdź energie w nieskończonej studni o szerokości L.
- 1. Wewnątrz rozwiąż ψ″+k²ψ=0.
- 2. Narzuć ψ(0)=ψ(L)=0.
- 3. Otrzymaj k=nπ/L.
- 4. Skorzystaj z E=ℏ²k²/(2m).
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²), n=1,2,…
Spróbuj
Szukanie wartości własnych studni skończonej
Materiały: Notatnik obliczeń numerycznych.
- 1. Zdefiniuj skończoną studnię prostokątną.
- 2. Scałkuj dla próbnych energii.
- 3. Wykryj niezgodność na brzegu.
- 4. Znajdź pierwiastkami dozwolone energie i narysuj stany.
Zwróć uwagę: Skończone bariery przesuwają energie i dają wykładniczo zanikające ogony.
Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego w nieskończonej studni nie ma n=0?
Odpowiedź: Daje ono zerową funkcję falową przy obu warunkach brzegowych, a takiej nie da się unormować jako stanu fizycznego.
Pierwszy nietrywialny mod stojący to n=1.
Lekcja 3 z 3
Spin, układy złożone i metody przybliżone
Jak czysto kwantowe stopnie swobody i przybliżenia poszerzają zbiór rozwiązywalnych modeli?
Stany o spinie 1/2 żyją w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej i transformują się przy obrotach inaczej niż klasyczne strzałki. Układy złożone opisuje się iloczynem tensorowym i mogą być splątane.
Rachunek zaburzeń i metody wariacyjne szacują układy bliskie przypadkom ściśle rozwiązywalnym lub wykraczające poza nie, z wyraźnie podanymi granicami zbieżności i stanów próbnych.
Przykład rozwiązany
Stan o spinie w górę wzdłuż z zostaje zmierzony wzdłuż x. Jakie wychodzą prawdopodobieństwa?
- 1. Zapisz |↑z⟩=(|↑x⟩+|↓x⟩)/√2.
- 2. Zrzutuj na stany własne x.
- 3. Podnieś amplitudy do kwadratu.
Wyniki w górę wzdłuż x i w dół wzdłuż x pojawiają się każdy z prawdopodobieństwem 1/2.
Spróbuj
Wariacyjne oszacowanie stanu podstawowego
Materiały: Notatnik obliczeniowy i sparametryzowana próbna funkcja falowa.
- 1. Unormuj stan próbny.
- 2. Oblicz ⟨H⟩ w funkcji parametru.
- 3. Zminimalizuj numerycznie.
- 4. Porównaj ze znanym wzorcem.
Zwróć uwagę: Minimum wariacyjne jest górnym ograniczeniem prawdziwej energii podstawowej w ramach modelowanego hamiltonianu.
Sprawdź, czy rozumiesz: Czy splątanie pozwala na sterowane przesyłanie wiadomości szybciej niż światło?
Odpowiedź: Nie.
Wyniki lokalne pozostają losowe; korelacje wymagają porównania klasycznym kanałem i respektują zakaz sygnalizowania.
Od wzoru do znaczenia
Przeczytaj równanie zwykłym językiem.
iℏ∂|ψ⟩/∂t=H|ψ⟩
Hamiltonian generuje unitarną ewolucję stanu kwantowego.
⟨A⟩=⟨ψ|A|ψ⟩
Wartość oczekiwana uśrednia wyniki obserwabli w danym stanie.
ΔAΔB≥½|⟨[A,B]⟩|
Nieprzemienne obserwable narzucają zależne od stanu ograniczenie na niepewność.
Praktyka samodzielna
Zestaw zadań
Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.
1. Unormuj ψ(x)=Ae⁻ᵃˣ dla x≥0 przy a>0.
Pokaż podpowiedź
Przyjmij ∫|ψ|²dx=1.
Pokaż rozwiązanie
A=√(2a), przy wyborze dodatniej fazy rzeczywistej.
2. Dla [x,p]=iℏ odtwórz ograniczenie niepewności położenia i pędu.
Pokaż podpowiedź
Skorzystaj z ogólnej nierówności komutatorowej.
Pokaż rozwiązanie
ΔxΔp≥ℏ/2.
3. O ile zaburzenie λx przesuwa w pierwszym rzędzie stan podstawowy o parzystej parzystości?
Pokaż podpowiedź
Oblicz λ⟨0|x|0⟩ i wykorzystaj parzystość.
Pokaż rozwiązanie
Zerowe przesunięcie w pierwszym rzędzie dla stanu parzystego w niezaburzonym układzie symetrycznym względem parzystości.
Pracownia wyprowadzeń
Zbuduj wynik, linijka po linijce.
Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.
Punkt wyjścia
Widmo nieskończonej studni prostokątnej
−(ℏ²/2m)ψ″=Eψ on 0<x<L
- 1. Przyjmij k²=2mE/ℏ².
- 2. Rozwiąż ψ=A sin kx+B cos kx.
- 3. Zastosuj ψ(0)=0, aby otrzymać B=0.
- 4. Zastosuj ψ(L)=0, aby wymusić kL=nπ.
Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)
Kwantowanie energii bierze się z dynamiki falowej połączonej z warunkami brzegowymi.
Punkt wyjścia
Energia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń
H=H₀+λV and |n⟩ expansion in λ
- 1. Wstaw szereg do H|ψ⟩=E|ψ⟩.
- 2. Zbierz wyrazy pierwszego rzędu.
- 3. Zrzutuj z ⟨n⁰|.
- 4. Skorzystaj z ortonormalności i związku własnego H₀.
Eₙ^(1)=⟨n⁰|V|n⁰⟩
Przesunięcie pierwszego rzędu to wartość oczekiwana zaburzenia w stanie niezaburzonym.
Notatnik obliczeniowy
Zamień model w eksperyment.
Ewolucja paczki falowej
Jak dyspersja i rozpraszanie na barierze przekształcają paczkę gaussowską?
Dane wejściowe
- • Środek paczki, szerokość, pęd średni
- • Siatka i krok czasowy
- • Potencjał swobodny albo barierowy
Algorytm
- 1. Zbuduj i unormuj ψ.
- 2. Propaguj stabilną metodą rozdzielonego kroku albo metodą Cranka–Nicolson.
- 3. Śledź normę i energię.
- 4. Zmierz odbicie, przejście i rozpływanie się paczki.
Dowody do uzyskania
- • Wykres gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni i czasie
- • Diagnostyka zachowania normy i energii
- • Odbicie i przejście w funkcji energii
Idź dalej, do dowodów