The Spacetime Metric
Poziom 3 · Trzon studiów licencjackichStudia, rok 1–2Około 16 godzin

Pola i potencjały elektromagnetyczne

Wyprowadź dynamikę Maxwella za pomocą rachunku wektorowego, potencjałów, cechowania, fal, energii i pędu.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Mody pola rozdzielone na podłużne i poprzeczne składowe matematyczne.
Rozkłady potencjału to użyteczna matematyka. O przewidywaniach fizycznych decydują obserwowalne pola i fazy niezmiennicze względem cechowania.

Laboratorium interaktywne

Eksplorator potencjału, pola i cechowania

Przesuwamy punkt próbki między dwoma źródłami, a następnie przesuwamy zero potencjału skalarnego. Wartość potencjału zmienia się wraz z przesunięciem cechowania, podczas gdy pole obserwowalne pozostaje niezmienione.

+−

Potencjalne φ: 0.400 Jednostki znormalizowane

Pole E: (0.384, 0.096)

| E|: 0.396

Przesunięcie wskaźnika: 0.0

Dodanie stałej zmienia etykietę potencjału, ale nie E = −∇φ. Swoboda cechowania zmienia opis; mierzalne siły i różnice fazowe niezmiennicze względem cechowania nie stają się arbitralne.

Poziom 3 · Trzon studiów licencjackich · Zestaw dydaktyczny

Zapisz badanie. Nauczaj rozumowania.

Karta laboratoryjna dla ucznia i przewodnik dla prowadzącego zamieniają model interaktywny w powtarzalne badanie.

Karta ucznia

Rekonstrukcja potencjalnego równoważnika gauge

Które wykreślone wielkości mogą się zmieniać pod transformacją cechowania, podczas gdy obserwable elektryczne i magnetyczne pozostają niezmienione?

Pobierz Markdown dla ucznia

Przewodnik prowadzącego

Nauczaj badania, nie interfejsu

Uczący się rozróżniają reprezentatywną swobodę cechowania od pól, pętli i sił mierzonych niezmienniczych względem cechowania.

Pobierz Markdown dla prowadzącego
Otwórz kompletny zestaw do druku →

Lekcja 1 z 3

Równania Maxwella: lokalne i globalne

Jak źródła wewnątrz obszaru wyznaczają strumień i cyrkulację na jego brzegu?

Twierdzenia Gaussa i Stokesa przekładają prawa różniczkowe na pomiary całkowe. Ładunek jest źródłem dywergencji pola elektrycznego; w standardowym elektromagnetyzmie dywergencja pola magnetycznego pozostaje zerowa.

Indukcja Faradaya i prawo Ampère’a–Maxwella sprzęgają zmienne w czasie pola elektryczne i magnetyczne.

twierdzenie Gaussa · twierdzenie Stokesa · prąd przesunięcia · warunek brzegowy

Przykład rozwiązany

Zastosuj prawo Gaussa do ładunku punktowego o symetrii sferycznej.

  1. 1. Wybierz sferę o promieniu r.
  2. 2. E jest radialne, a jego wartość na sferze stała.
  3. 3. E(4πr²)=q/ε₀.

E=q/(4πε₀r²) r̂.

Spróbuj

Wybór powierzchni całkowania

Materiały: Rysunki pól i kilka kandydujących powierzchni.

  1. 1. Rozpoznaj symetrię.
  2. 2. Wybierz powierzchnie, na których wartość pola jest stała albo pole jest do nich styczne.
  3. 3. Policz poszczególne wkłady strumienia.
  4. 4. Porównaj z ładunkiem zamkniętym wewnątrz.

Zwróć uwagę: Sprytnie dobrany brzeg zamienia trudną całkę z pola w prostą zależność algebraiczną.

Sprawdź, czy rozumiesz: Co stwierdza ∇·B=0?

Odpowiedź: Że w standardowej teorii Maxwella pole magnetyczne nie ma zaobserwowanego lokalnego źródła monopolowego.

Linie strumienia magnetycznego tworzą zamknięte pętle albo przechodzą przez brzegi, nie zaczynając się ani nie kończąc lokalnie.

Lekcja 2 z 3

Potencjały i swoboda cechowania

Jak różne potencjały mogą opisywać te same pola elektromagnetyczne?

B = ∇ × A oraz E=−∇φ−∂A/∂t wyrażają pola przez potencjał skalarny i wektorowy. Dodanie gradientu wygenerowanego przez cechowanie wraz z kompensującą zmianą skalara pozostawia E i B bez zmian.

Swoboda cechowania to nadmiarowość opisu, a nie pozwolenie na wybór nowych obserwabli. Fazy kwantowe mogą zależeć od niezmienniczej względem cechowania informacji o pętli nawet tam, gdzie pola lokalne znikają.

potencjał skalarny · potencjał wektorowy · transformacja cechowania · efekt Aharonowa–Bohma

Przykład rozwiązany

Pokaż, że A′=A+∇χ pozostawia B bez zmian.

  1. 1. Oblicz B′=∇×A′.
  2. 2. Rozpisz ∇×A+∇×∇χ.
  3. 3. Rotacja gradientu jest zerowa.

B′=B.

Spróbuj

Mapy potencjałów równoważnych cechowaniem

Materiały: Notatnik obliczeniowy z prostym polem A i wybranym χ.

  1. 1. Oblicz A′=A+∇χ.
  2. 2. Policz rotacje numerycznie.
  3. 3. Porównaj B i B′.
  4. 4. Wskaż, które elementy wykresu zmieniły się bez zmiany pola fizycznego.

Zwróć uwagę: Składowe potencjału mogą zmienić się radykalnie, podczas gdy pola niezmiennicze względem cechowania pozostają identyczne.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy niezerowy potencjał wektorowy w danym punkcie automatycznie oznacza mierzalną siłę lokalną?

Odpowiedź: Nie.

Lokalna siła Lorentza zależy od E i B; obserwable fazowe w mechanice kwantowej zależą od niezmienniczych względem cechowania kombinacji drogi albo strumienia.

Lekcja 3 z 3

Fale, wnęki i tensor energii-pędu

Jak pola przenoszą energię i pęd przez przestrzeń i przez brzegi?

Równania Maxwella bez źródeł dają fale o prędkości 1/√(μ₀ε₀). Warunki brzegowe wybierają mody wnęki, a odpowiedź materiału zmienia przewidywania dotyczące rzeczywistych sił.

Wektor Poyntinga podaje strumień energii, a tensor naprężeń Maxwella opisuje przekaz pędu i ciśnienie.

wektor Poyntinga · tensor naprężeń Maxwella · mod wnęki · ciśnienie promieniowania

Przykład rozwiązany

Znajdź uśrednione w czasie natężenie fali płaskiej o szczytowym polu elektrycznym E₀.

  1. 1. Amplituda magnetyczna wynosi B₀=E₀/c.
  2. 2. Skorzystaj z S=(1/μ₀)E×B.
  3. 3. Uśrednij cos² po cyklu do 1/2.

⟨S⟩=½cε₀E₀².

Spróbuj

Solver modów wnęki

Materiały: Siatka w notatniku obliczeniowym i wymiary wnęki prostopadłościennej.

  1. 1. Wybierz całkowite wskaźniki modów.
  2. 2. Oblicz dozwolone częstotliwości.
  3. 3. Narysuj węzły pola.
  4. 4. Zmień jeden wymiar i prześledź przesunięcia widma.

Zwróć uwagę: Geometria wybiera mody, ale o rzeczywistej energii i sile decydują materiał wnęki i sposób jej pobudzania.

Sprawdź, czy rozumiesz: Jaką wielkość należy scałkować, aby znaleźć moc elektromagnetyczną przechodzącą przez powierzchnię?

Odpowiedź: Wektor Poyntinga w iloczynie skalarnym z elementem powierzchni.

∫S·dA daje wypadkowe tempo przepływu energii elektromagnetycznej.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

  1. ∇·E=ρ/ε₀; ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t

    Ładunek jest źródłem strumienia elektrycznego; prąd i zmienne pole elektryczne są źródłem cyrkulacji magnetycznej.

  2. B=∇×A; E=−∇φ−∂A/∂t

    Potencjał skalarny i wektorowy generują obserwowalne pola.

  3. S=(1/μ₀)E×B

    Wektor Poyntinga podaje strumień energii elektromagnetycznej.

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Znajdź strumień elektryczny przez powierzchnię zamkniętą obejmującą 3 nC.

    Pokaż podpowiedź

    Skorzystaj z ΦE=q/ε₀.

    Pokaż rozwiązanie

    Około 339 N·m²/C.

  2. 2. Sprawdź, że φ′=φ−∂χ/∂t wraz z A′=A+∇χ pozostawia E bez zmian.

    Pokaż podpowiedź

    Podstaw oba potencjały z primem i skróć pochodne mieszane.

    Pokaż rozwiązanie

    E′=−∇φ+∇∂tχ−∂tA−∂t∇χ=E.

  3. 3. Wiązka o mocy 2 mW zostaje pochłonięta. Oszacuj siłę.

    Pokaż podpowiedź

    Skorzystaj z F=P/c.

    Pokaż rozwiązanie

    Około 6,7×10⁻¹² N.

Pracownia wyprowadzeń

Zbuduj wynik, linijka po linijce.

Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.

  1. Punkt wyjścia

    Równanie fali elektromagnetycznej

    Bez źródeł: ∇×E=−∂B/∂t i ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t

    1. 1. Weź rotację prawa Faradaya.
    2. 2. Skorzystaj z ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E.
    3. 3. Przyjmij bezźródłowe ∇·E=0.
    4. 4. Podstaw prawo Ampère’a–Maxwella.

    ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0

    Sprzężone prawa pola zawierają fale o prędkości c=1/√(μ₀ε₀).

  2. Punkt wyjścia

    Twierdzenie Poyntinga

    Pomnóż skalarnie równanie Ampère’a–Maxwella przez E, a równanie Faradaya przez B

    1. 1. Odejmij od siebie oba iloczyny skalarne.
    2. 2. Skorzystaj z tożsamości wektorowej dla ∇·(E×B).
    3. 3. Zgrupuj pochodne czasowe energii pola.
    4. 4. Rozpoznaj J·E jako pracę wykonaną nad materią.

    ∂u/∂t+∇·S=−J·E

    Lokalna zasada zachowania energii elektromagnetycznej rozdziela magazynowanie w polu, strumień i przekaz do ładunków.

Notatnik obliczeniowy

Zamień model w eksperyment.

  1. Widmo wnęki prostopadłościennej

    Jak geometria i wskaźniki modów kształtują gęstość częstotliwości wnęki?

    Dane wejściowe

    • • Długości boków wnęki
    • • Ograniczenia wskaźników modów
    • • Opcjonalna prędkość fali w materiale

    Algorytm

    1. 1. Wypisz trójki liczb całkowitych.
    2. 2. Oblicz dozwolone częstotliwości.
    3. 3. Posortuj mody i zrób histogram.
    4. 4. Zaburz każdy wymiar.

    Dowody do uzyskania

    • • Tabela częstotliwości i histogram gęstości
    • • Przekroje kształtów modów
    • • Czułość rezonansów na geometrię

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami