The Spacetime Metric
Poziom 3 · Trzon studiów licencjackichStudia, rok 1–2Około 15 godzin

Mechanika Lagrange’a i Hamiltona

Zastąp mozolne zliczanie sił działaniem, współrzędnymi uogólnionymi, symetrią i przestrzenią fazową.

Wyprowadź równania Eulera–Lagrange’a i Hamiltona, powiąż ciągłe symetrie z wielkościami zachowanymi i przygotuj formalny pomost do teorii pola oraz mechaniki kwantowej.

Established foundations

Zanim zaczniesz

  • • Rachunek różniczkowy, wektory i równania różniczkowe
  • • Mechanika z poziomu 2
  • • Pochodne cząstkowe

Na koniec będziesz umieć

  • • Konstruować L=T−V we współrzędnych uogólnionych.
  • • Wyprowadzać i rozwiązywać równania Eulera–Lagrange’a.
  • • Rozpoznawać współrzędne cykliczne i zachowane pędy.
  • • Przechodzić między opisem Lagrange’a, Hamiltona i opisem w przestrzeni fazowej.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Poruszający się stopień swobody przedstawiony razem z odpowiedzią otaczającego pola.
Mechanika wariacyjna wyodrębnia stopnie swobody i działanie, zanim przypisze bezwładności interpretację mikroskopową.

Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →

Lekcja 1 z 3

Działanie i równania Eulera–Lagrange’a

Jak jedna zasada stacjonarnego działania może zakodować równania Newtona?

Działanie S=∫Ldt przypisuje liczbę całej drodze. Droga fizyczna sprawia, że zmiana S w pierwszym rzędzie znika przy wariacjach z ustalonymi końcami.

Dla zwykłych cząstek L=T−V. Równanie Eulera–Lagrange’a wynika z całkowania przez części i działa równie dobrze we współrzędnych niekartezjańskich.

działaniewariacjalagranżjanwspółrzędna uogólniona

Przykład rozwiązany

Dla L=½m q̇²−V(q) wyprowadź równanie ruchu.

  1. 1. ∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. d/dt daje mq̈.
  3. 3. ∂L/∂q=−dV/dq.

mq̈=−dV/dq, czyli zasada dynamiki Newtona dla siły zachowawczej.

Spróbuj

Działanie dla konkurujących dróg

Materiały: Arkusz kalkulacyjny z próbnymi drogami między ustalonymi końcami.

  1. 1. Wybierz lagranżjan oscylatora harmonicznego.
  2. 2. Policz dyskretne działanie dla kilku dróg.
  3. 3. Zaburz drogę bliską rozwiązaniu.
  4. 4. Porównaj zmiany działania w pierwszym rzędzie.

Zwróć uwagę: Stacjonarny nie zawsze znaczy minimalny, ale na drodze fizycznej pobliskie zmiany pierwszego rzędu się znoszą.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego w standardowym wyprowadzeniu wariacje na końcach muszą znikać?

Odpowiedź: Aby zniknął wyraz brzegowy z całkowania przez części.

Porównywane drogi mają tę samą konfigurację początkową i końcową.

Lekcja 2 z 3

Symetria i zasady zachowania

Dlaczego pominięcie współrzędnej bezwzględnej daje zachowany pęd?

Jeśli L nie zależy jawnie od jakiejś współrzędnej, jest ona cykliczna, a sprzężony z nią pęd jest zachowany.

Twierdzenie Noether uogólnia to: ciągłym symetriom działania odpowiadają zachowane prądy albo ładunki.

współrzędna cyklicznapęd sprzężonytwierdzenie Noethersymetria

Przykład rozwiązany

L=½m(ẋ²+ẏ²)−V(y). Co jest zachowane?

  1. 1. L nie zawiera x.
  2. 2. Równanie Eulera–Lagrange’a daje d(∂L/∂ẋ)/dt=0.
  3. 3. ∂L/∂ẋ=mẋ.

Pęd wzdłuż x jest zachowany, bo przesunięcia w x nie zmieniają działania.

Spróbuj

Audyt symetrii

Materiały: Kilka prostych lagranżjanów.

  1. 1. Zaznacz nieobecne współrzędne.
  2. 2. Oblicz pędy sprzężone.
  3. 3. Wskaż niezmienniczość względem przesunięć w czasie.
  4. 4. Przewidź wielkości zachowane, zanim zaczniesz rozwiązywać.

Zwróć uwagę: Zasady zachowania stają się konsekwencją struktury, a nie osobną regułą do zapamiętania.

Sprawdź, czy rozumiesz: Z jaką symetrią wiąże się zasada zachowania energii?

Odpowiedź: Z ciągłą symetrią przesunięć w czasie.

Gdy lagranżjan nie zależy jawnie od czasu, energia typu hamiltonowskiego jest w standardowych warunkach zachowana.

Lekcja 3 z 3

Hamiltoniany i przestrzeń fazowa

Co się zmienia, gdy położenia i pędy stają się niezależnymi współrzędnymi stanu?

Hamiltonian H=Σpᵢq̇ᵢ−L to transformata Legendre’a. Równania Hamiltona pierwszego rzędu ewoluują współrzędne i pędy razem.

Przestrzeń fazowa ujawnia powierzchnie stałych wielkości zachowanych, stabilność i strukturę kanoniczną, która później staje się kluczowa w mechanice statystycznej i kwantowej.

hamiltonianprzestrzeń fazowatransformata Legendre’anawias Poissona

Przykład rozwiązany

Znajdź H dla L=½mq̇²−½kq².

  1. 1. p=∂L/∂q̇=mq̇.
  2. 2. Zapisz q̇=p/m.
  3. 3. Oblicz H=pq̇−L.

H=p²/(2m)+½kq², czyli energia całkowita oscylatora.

Spróbuj

Portret fazowy

Materiały: Notatnik obliczeniowy albo narzędzie do wykresów.

  1. 1. Scałkuj q i p dla oscylatora.
  2. 2. Narysuj wykres p w funkcji q.
  3. 3. Zmień energię początkową.
  4. 4. Powiąż krzywe zamknięte z zasadą zachowania.

Zwróć uwagę: Każda trajektoria o zachowanej energii tworzy w przestrzeni fazowej oscylatora elipsę.

Sprawdź, czy rozumiesz: Ile równań Hamiltona pierwszego rzędu zastępuje jedno równanie drugiego rzędu na każdą współrzędną?

Odpowiedź: Dwa: jedno na q̇ i jedno na ṗ.

Stan w przestrzeni fazowej zawiera zarówno współrzędną, jak i sprzężony pęd.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

S=∫L(q,q̇,t)dt

Działanie przypisuje skalar całej drodze.

d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0

Równania Eulera–Lagrange’a wyznaczają ruch o stacjonarnym działaniu.

q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ; ṗᵢ=−∂H/∂qᵢ

Równania Hamiltona generują przepływ w przestrzeni fazowej.

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Wyprowadź równanie wahadła z L=½mℓ²θ̇²−mgℓ(1−cosθ).

    Pokaż podpowiedź

    Oblicz pochodne względem θ̇ i θ.

    Pokaż rozwiązanie

    θ̈+(g/ℓ)sinθ=0.

  2. 2. Dla swobodnej cząstki we współrzędnych biegunowych wskaż współrzędną cykliczną.

    Pokaż podpowiedź

    L=½m(ṙ²+r²φ̇²).

    Pokaż rozwiązanie

    φ jest cykliczna, więc pφ=mr²φ̇ to zachowany moment pędu.

  3. 3. Zapisz równania Hamiltona dla H=p²/(2m)+V(q).

    Pokaż podpowiedź

    Zróżniczkuj H raz względem każdej zmiennej fazowej.

    Pokaż rozwiązanie

    q̇=p/m oraz ṗ=−dV/dq.

Pracownia wyprowadzeń

Zbuduj wynik, linijka po linijce.

Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.

Punkt wyjścia

Równanie Eulera–Lagrange’a

δS=δ∫L(q,q̇,t)dt=0

  1. 1. Rozwiń δL=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇.
  2. 2. Skorzystaj z δq̇=d(δq)/dt.
  3. 3. Scałkuj drugi wyraz przez części.
  4. 4. Odrzuć wyrazy brzegowe przy ustalonych końcach i zażądaj, by współczynnik przy dowolnym δq znikał.

d/dt(∂L/∂q̇)−∂L/∂q=0

Globalny warunek stacjonarnej drogi staje się lokalnym równaniem różniczkowym.

Punkt wyjścia

Równania Hamiltona z transformaty Legendre’a

H(q,p,t)=pq̇−L with p=∂L/∂q̇

  1. 1. Weź różniczkę zupełną dH.
  2. 2. Podstaw wyrazy dL.
  3. 3. Skróć p d q̇.
  4. 4. Porównaj współczynniki przy dq, dp i dt.

q̇=∂H/∂p and ṗ=−∂H/∂q

Dynamika staje się przepływem kanonicznym w przestrzeni fazowej.

Notatnik obliczeniowy

Zamień model w eksperyment.

Przestrzeń fazowa wahadła nieliniowego

Gdzie przybliżenie małych kątów przestaje zachowywać prawdziwy okres i portret fazowy?

Dane wejściowe

  • • ℓ, g, początkowy kąt i prędkość kątowa
  • • modele: ścisły z sinθ i liniowy z θ

Algorytm

  1. 1. Scałkuj oba równania.
  2. 2. Zmierz okres w funkcji amplitudy.
  3. 3. Narysuj portrety fazowe.
  4. 4. Oblicz względny błąd okresu.

Dowody do uzyskania

  • • Krzywa zależności okresu od amplitudy
  • • Portrety fazowe: ścisły i przybliżony
  • • Uzasadniony próg stosowalności przybliżenia

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami

Wykład 3: Ogólna teoria względności

Ruch po geodezyjnych i równania pola wyłaniają się naturalnie z zasad wariacyjnych.

Rozdział 4: Tensor metryczny

Droga przez działanie do geometrii relatywistycznej i metryk egzotycznych.

Wykład 7: Kwantowa teoria pola i próżnia

Pola rozszerzają lagranżjan ze współrzędnych na wartości w każdym punkcie.