Rachunek różniczkowy, wektory i równania różniczkowe
Zbuduj język matematyczny, który zamienia opowieści o fizyce w lokalne prawa i sprawdzalne trajektorie.
Połącz pochodne, całki, pola wektorowe, algebrę liniową, mody Fouriera i równania różniczkowe ze ścieżkami mechaniki, pól, teorii względności i fizyki kwantowej w tym serwisie.
Zanim zaczniesz
- • Mechanika z poziomu 2
- • Algebra, trygonometria i funkcje
- • Swoboda w czytaniu wykresów
Na koniec będziesz umieć
- • Interpretować fizycznie pochodne i całki.
- • Rachować na wektorach, macierzach, gradientach, dywergencji i rotacji.
- • Rozwiązywać reprezentatywne równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu.
- • Testować model za pomocą analizy wymiarowej, skalowania i całkowania numerycznego.
Model interaktywny
Zbadaj, zanim policzysz
Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →
Lekcja 1 z 3
Pochodne, całki i zmiana lokalna
Jak nieskończenie małe tempo tworzy skończoną, mierzalną historię?
Pochodna to lokalne przybliżenie liniowe: prędkość to dx/dt, przyspieszenie to d²x/dt², a gradient pola daje kierunek najszybszej lokalnej zmiany.
Całka sumuje wkłady lokalne. Przemieszczenie sumuje prędkość; praca sumuje siłę wzdłuż drogi; prawdopodobieństwo sumuje gęstość po obszarze.
Przykład rozwiązany
Cząstka ma v(t)=3t² m/s. Znajdź przemieszczenie od t=0 do 2 s.
- 1. Scałkuj v po czasie.
- 2. ∫₀²3t²dt = [t³]₀².
- 3. Oblicz 8−0.
Przemieszczenie wynosi 8 m.
Spróbuj
Dualność nachylenia i pola
Materiały: Papier w kratkę albo notatnik do wykresów.
- 1. Narysuj wykres x=t³.
- 2. Oszacuj nachylenia stycznych.
- 3. Narysuj wykres v=3t².
- 4. Oszacuj pole pod v i porównaj ze zmianami x.
Zwróć uwagę: Różniczkowanie i całkowanie wiążą jedną historię fizyczną na dwa uzupełniające się sposoby.
Sprawdź, czy rozumiesz: Co przedstawia ∫F·dr?
Odpowiedź: Pracę przekazaną przez siłę wzdłuż drogi.
Iloczyn skalarny zatrzymuje składową równoległą do każdego elementu przemieszczenia.
Lekcja 2 z 3
Pola wektorowe, strumień i cyrkulacja
Jak lokalne strzałki kodują źródła, ujścia i obrót?
Gradient odwzorowuje zmianę skalara, dywergencja mierzy lokalny strumień wychodzący, a rotacja mierzy lokalną cyrkulację. Dzięki tym operatorom równania Maxwella są zwięzłe.
Twierdzenia całkowe łączą lokalne stwierdzenia różniczkowe z mierzalnymi strumieniami przez brzeg i całkami po pętlach.
Przykład rozwiązany
Dla F=(x,y,z) oblicz ∇·F.
- 1. Zróżniczkuj Fx względem x: 1.
- 2. Zróżniczkuj Fy względem y: 1.
- 3. Zróżniczkuj Fz względem z: 1.
∇·F=3, czyli jednorodna dodatnia gęstość źródeł w tym polu matematycznym.
Spróbuj
Szkic topologii pola
Materiały: Kartka papieru i kilka wzorów pól wektorowych.
- 1. Wykreśl strzałki w punktach siatki.
- 2. Zaznacz obszary dodatniej i ujemnej dywergencji.
- 3. Obejdź małą pętlę, aby sprawdzić cyrkulację.
- 4. Porównaj opis lokalny z opisem brzegowym.
Zwróć uwagę: Rysunek może podpowiedzieć topologię, a pochodne ją mierzą.
Sprawdź, czy rozumiesz: Co gwarantuje zerowa dywergencja?
Odpowiedź: Brak lokalnego źródła lub ujścia netto; nie gwarantuje, że pole jest zerowe ani bezwirowe.
Pole o zerowej dywergencji nadal może krążyć.
Lekcja 3 z 3
Równania różniczkowe, mody i obliczenia
Jak prawa wraz z warunkami początkowymi generują trajektorie i widma?
Równanie różniczkowe określa, jak zmienia się stan. Warunki początkowe albo brzegowe wybierają jedno rozwiązanie z całej rodziny.
Układy liniowe rozkładają się na mody; analiza Fouriera przedstawia złożone sygnały jako składowe częstotliwościowe. Krokowe metody numeryczne przybliżają układy bez rozwiązań w postaci zamkniętej.
Przykład rozwiązany
Rozwiąż dx/dt=−kx przy x(0)=x₀.
- 1. Rozdziel zmienne: dx/x=−kdt.
- 2. Scałkuj: ln x=−kt+C.
- 3. Zastosuj x(0)=x₀.
x(t)=x₀e⁻ᵏᵗ, uniwersalna postać relaksacji wykładniczej.
Spróbuj
Zanik: Euler kontra rozwiązanie ścisłe
Materiały: Arkusz kalkulacyjny albo notatnik z kodem.
- 1. Wybierz k i x₀.
- 2. Wykonuj kroki xₙ₊₁=xₙ−k xₙΔt.
- 3. Porównaj z x₀e⁻ᵏᵗ.
- 4. Zmniejsz Δt i zmierz błąd.
Zwróć uwagę: Wyniki numeryczne zbiegają dopiero wtedy, gdy krok jest dostatecznie mały, a schemat stabilny.
Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego warunki brzegowe są niezbędne w zadaniu o modach wnęki?
Odpowiedź: Wybierają, które rozwiązania równania pola są dozwolone.
Samo równanie różniczkowe dopuszcza szerszą rodzinę niż fizyczna geometria.
Od wzoru do znaczenia
Przeczytaj równanie zwykłym językiem.
v=dx/dt; a=d²x/dt²
Kolejne pochodne po czasie zamieniają położenie w prędkość i przyspieszenie.
∇f; ∇·F; ∇×F
Gradient, dywergencja i rotacja opisują ilościowo zmianę skalara, źródła strumienia i cyrkulację.
dy/dt=f(t,y)
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu generuje ewolucję stanu z danych początkowych.
Praktyka samodzielna
Zestaw zadań
Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.
1. Zróżniczkuj x(t)=A cos(ωt) dwukrotnie i wskaż równanie, które spełnia.
Pokaż podpowiedź
Każde różniczkowanie wnosi czynnik ω i zamienia sinus na cosinus.
Pokaż rozwiązanie
x¨=−ω²x, czyli x¨+ω²x=0.
2. Oblicz gradient funkcji f=x²+y²+z².
Pokaż podpowiedź
Zróżniczkuj raz względem każdej współrzędnej.
Pokaż rozwiązanie
∇f=(2x,2y,2z).
3. Oszacuj jeden krok metody Eulera dla dy/dt=−2y, y(0)=1, Δt=0,1.
Pokaż podpowiedź
y₁=y₀+f(y₀)Δt.
Pokaż rozwiązanie
y₁=1−2(1)(0.1)=0.8.
Pracownia wyprowadzeń
Zbuduj wynik, linijka po linijce.
Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.
Punkt wyjścia
Ruch harmoniczny prosty z prawa Hooke’a
F=−kx and F=ma
- 1. Przyjmij m x¨=−kx.
- 2. Podziel przez m: x¨+(k/m)x=0.
- 3. Sprawdź x=A cos(ωt+φ).
- 4. Porównaj współczynniki, aby otrzymać ω²=k/m.
x(t)=A cos(√(k/m)t+φ)
Lokalna siła przywracająca generuje globalną trajektorię okresową; warunki początkowe zadają amplitudę i fazę.
Punkt wyjścia
Równanie falowe dla napiętej struny
Transverse force balance on a short string element
- 1. Weź składowe naprężenia na obu końcach przy małym nachyleniu.
- 2. Wypadkowa siła poprzeczna wynosi T(∂²y/∂x²)Δx.
- 3. Masa elementu to μΔx.
- 4. Zastosuj zasadę dynamiki Newtona i skróć Δx.
∂²y/∂t²=(T/μ)∂²y/∂x²
Prędkość fali c=√(T/μ) wyłania się z przywracającego naprężenia i bezwładności na jednostkę długości.
Notatnik obliczeniowy
Zamień model w eksperyment.
Laboratorium numerycznego oscylatora
Kiedy całkowanie metodą Eulera zniekształca zachowywaną energię oscylatora?
Dane wejściowe
- • m, k, początkowe x i v
- • krok czasowy Δt
- • wybór między metodą Eulera a symplektyczną metodą Eulera
Algorytm
- 1. Całkuj położenie i prędkość.
- 2. Oblicz K+U w każdym kroku.
- 3. Powtórz dla kilku wartości Δt.
- 4. Porównaj dryf fazy i energii.
Dowody do uzyskania
- • Wykresy trajektorii i przestrzeni fazowej
- • Względny błąd energii w funkcji czasu
- • Uzasadniona rekomendacja stabilnego kroku
Idź dalej, do dowodów