The Spacetime Metric
Poziom 3 · Trzon studiów licencjackichStudia, rok 1–2Około 16 godzin

Mechanika statystyczna

Połącz stany mikroskopowe z temperaturą, entropią, fluktuacjami, fazami i statystyką kwantową.

Rozwiń zespoły statystyczne i sumy statystyczne, wyprowadź wielkości termodynamiczne i naucz się, kiedy fluktuacje albo zasoby nierównowagowe mogą — i kiedy nie mogą — dawać użyteczną pracę.

Established foundations

Zanim zaczniesz

  • • Rachunek różniczkowy i prawdopodobieństwo
  • • Termodynamika z poziomu 2
  • • Wprowadzenie do mechaniki kwantowej

Na koniec będziesz umieć

  • • Posługiwać się zespołem mikrokanonicznym, kanonicznym i wielkim kanonicznym.
  • • Wyprowadzać obserwable z sum statystycznych.
  • • Obliczać skale fluktuacji i prawdopodobieństwa faz.
  • • Oddzielać szum równowagowy od nierównowagowych zasobów pracy.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Fluktuujące tło przypominające pole, przedstawione jako wiele lokalnych modów.
Fluktuacje statystyczne wymagają zespołu, dynamiki i definicji pomiaru; sama wizualna burzliwość nie jest źródłem energii.

Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →

Lekcja 1 z 3

Mikrostany, makrostany i zespoły statystyczne

Jak wiele konfiguracji mikroskopowych może dawać jedną zmierzoną temperaturę i jedno ciśnienie?

Makrostan podaje zmienne zgrubne, a realizuje go wiele mikrostanów. Entropia Boltzmanna S=kB lnΩ zlicza zgodne mikrostany.

Zespół statystyczny to model prawdopodobieństwa na mikrostanach przy zadanych więzach. Wybór zespołu oznacza zadeklarowanie, co może wymieniać energię, cząstki albo objętość.

mikrostanmakrostanzespół statystycznyentropia Boltzmanna

Przykład rozwiązany

Makrostan ma czterokrotnie więcej mikrostanów niż inny. Znajdź różnicę entropii.

  1. 1. Skorzystaj z ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Wstaw stosunek 4.
  3. 3. Zostaw postać logarytmiczną albo oblicz wartość.

ΔS=kB ln4.

Spróbuj

Zliczanie krotności

Materiały: Monety albo symulacja stanów dwuwartościowych.

  1. 1. Wypisz liczby orłów dla małego N.
  2. 2. Oblicz krotności dwumianowe.
  3. 3. Narysuj wykres krotności w funkcji makrostanu.
  4. 4. Zwiększ N.

Zwróć uwagę: Makrostany przypominające równowagę dominują, bo realizuje je nieporównanie więcej mikrostanów.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy wysoka entropia oznacza, że każdy mikrostan jest nieuporządkowany w subiektywnym, wizualnym sensie?

Odpowiedź: Nie.

Entropię definiuje się z prawdopodobieństw stanów albo z krotności przy zadanych więzach makroskopowych.

Lekcja 2 z 3

Sumy statystyczne i pochodne termodynamiczne

Jak jedna ważona suma może dawać energię, entropię, pojemność cieplną i obsadzenia?

Kanoniczna suma statystyczna Z=Σe⁻ᵝᴱ waży stany własne energii w kontakcie ze zbiornikiem ciepła. Jej logarytm generuje wielkości termodynamiczne.

Energia swobodna F=−kBT lnZ równoważy energię i entropię oraz wyznacza równowagę przy ustalonej temperaturze i objętości.

suma statystycznaczynnik Boltzmannaenergia swobodnapojemność cieplna

Przykład rozwiązany

Dla układu dwupoziomowego o energiach 0 i ε znajdź Z.

  1. 1. Nadaj stanowi podstawowemu wagę 1.
  2. 2. Nadaj stanowi wzbudzonemu wagę e⁻ᵝε.
  3. 3. Dodaj wagi dozwolonych stanów.

Z=1+e⁻ᵝε, a obsadzenie stanu wzbudzonego wynosi e⁻ᵝε/Z.

Spróbuj

Pojemność cieplna układu dwupoziomowego

Materiały: Notatnik obliczeniowy i zakres temperatur.

  1. 1. Oblicz obsadzenie stanu wzbudzonego w funkcji T.
  2. 2. Oblicz energię średnią.
  3. 3. Zróżniczkuj numerycznie, aby otrzymać pojemność cieplną.
  4. 4. Znajdź jej maksimum.

Zwróć uwagę: Pojemność cieplna ma szczyt tam, gdzie energia cieplna konkuruje z przerwą między poziomami.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego Z zwykle nie jest samo w sobie prawdopodobieństwem?

Odpowiedź: Jest sumą normalizującą wagi Boltzmanna.

Pojedyncze prawdopodobieństwa wynoszą e⁻ᵝᴱ/Z.

Lekcja 3 z 3

Fluktuacje, fazy i statystyka kwantowa

Kiedy zbiorowe fluktuacje ujawniają przejście, a nie nowy zbiornik energii?

Wariancja energii w zespole kanonicznym jest związana z pojemnością cieplną. Fluktuacje względne zwykle maleją wraz z rozmiarem układu, ale rosną w pobliżu niektórych punktów krytycznych.

Bozony i fermiony podlegają różnym statystykom obsadzeń. Gradienty nierównowagowe mogą napędzać pracę; równowaga szczegółowa zabrania biernego prostowania szumu w trwały wynik cykliczny.

fluktuacyjno-dyssypacyjnyprzejście fazoweBose–EinsteinFermi–Dirac

Przykład rozwiązany

Jeśli N niezależnych wkładów fluktuuje z odchyleniem standardowym proporcjonalnym do √N, jak skaluje się fluktuacja względna?

  1. 1. Wartość średnia skaluje się jak N.
  2. 2. Odchylenie standardowe skaluje się jak √N.
  3. 3. Podziel √N/N.

Fluktuacje względne skalują się jak 1/√N i makroskopowo stają się małe.

Spróbuj

Badanie faz w modelu typu Isinga

Materiały: Prosta symulacja sieci.

  1. 1. Uruchom symulację w wysokiej i niskiej temperaturze.
  2. 2. Śledź namagnesowanie i energię.
  3. 3. Przejdź powoli przez przejście fazowe.
  4. 4. Narysuj fluktuacje i sprawdź histerezę.

Zwróć uwagę: Porządek zbiorowy i duże fluktuacje wyłaniają się z oddziaływań lokalnych, nie sugerując darmowej energii spoza modelowanej kąpieli cieplnej.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy izotermiczna zapadka może w nieskończoność biernie prostować równowagowy szum cieplny?

Odpowiedź: Nie.

Sama zapadka też fluktuuje; równowaga szczegółowa znosi trwałą pracę w wyróżnionym kierunku przy jednej temperaturze.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

S=k_B lnΩ

Entropia mierzy krotność jednakowo prawdopodobnych mikrostanów przy zadanych więzach.

Z=Σ_i e^(−βE_i)

Suma statystyczna normalizuje kanoniczne wagi stanów.

F=−k_BT lnZ

Energia swobodna Helmholtza generuje termodynamikę równowagową przy ustalonej temperaturze.

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Znajdź stosunek prawdopodobieństw p₂/p₁ dla stanów oddzielonych o ΔE w temperaturze T.

    Pokaż podpowiedź

    Podziel przez siebie ich czynniki Boltzmanna.

    Pokaż rozwiązanie

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Dla Z=1+e⁻ᵝε znajdź energię średnią.

    Pokaż podpowiedź

    Wkład ε wnosi tylko stan wzbudzony.

    Pokaż rozwiązanie

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. Krotność układu się podwaja. Znajdź ΔS.

    Pokaż podpowiedź

    Skorzystaj ze stosunku krotności.

    Pokaż rozwiązanie

    ΔS=kB ln2.

Pracownia wyprowadzeń

Zbuduj wynik, linijka po linijce.

Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.

Punkt wyjścia

Rozkład kanoniczny

Small system plus large isolated reservoir with fixed total energy

  1. 1. Prawdopodobieństwo energii układu E jest proporcjonalne do krotności zbiornika ΩR(Etot−E).
  2. 2. Rozwiń entropię zbiornika SR wokół Etot.
  3. 3. Skorzystaj z ∂S/∂E=1/T.
  4. 4. Weź eksponentę zmiany entropii w pierwszym rzędzie i unormuj.

p_i=e^(−βE_i)/Z

Wagi Boltzmanna biorą się ze zliczania stanów zgodnych ze zbiornikiem.

Punkt wyjścia

Wariancja energii a pojemność cieplna

⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

  1. 1. Zróżniczkuj ⟨E⟩ względem β.
  2. 2. Rozpoznaj drugi moment minus kwadrat średniej.
  3. 3. Skorzystaj z dβ/dT=−1/(kBT²).
  4. 4. Powiąż d⟨E⟩/dT z pojemnością cieplną.

Var(E)=kBT²C_V

Równowagowe fluktuacje energii są ilościowo powiązane z odpowiedzią układu.

Notatnik obliczeniowy

Zamień model w eksperyment.

Zespoły: układ dwupoziomowy i oscylator

Jak dyskretne widma kształtują energię, entropię i pojemność cieplną w funkcji temperatury?

Dane wejściowe

  • • Przerwa energetyczna albo częstotliwość oscylatora
  • • Siatka temperatur
  • • Obcięcie liczby stanów dla oscylatora

Algorytm

  1. 1. Zbuduj wagi Boltzmanna.
  2. 2. Unormuj prawdopodobieństwa.
  3. 3. Oblicz E, F, S i C.
  4. 4. Sprawdź zbieżność względem obcięcia.

Dowody do uzyskania

  • • Krzywe obsadzeń i wielkości termodynamicznych
  • • Porównanie szczytów pojemności cieplnej
  • • Raport zbieżności numerycznej

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami

Rozdział 6: Pozyskiwanie energii z próżni

Granice termodynamiczne i informacyjne dla protokołów energii próżni.

Wykład 8: Efekt Casimira

Zjawiska równowagowe i wymuszone na brzegach, rozdzielone eksperymentalnie.

Rozdział 5: Teoria nadciekłej próżni

Analogie z materii skondensowanej, mody zbiorowe i ich granice.