The Spacetime Metric
Poziom 3 · Trzon studiów licencjackichStudia, rok 1–2Około 16 godzin

Mechanika statystyczna

Połącz stany mikroskopowe z temperaturą, entropią, fluktuacjami, fazami i statystyką kwantową.

Model interaktywny

Zbadaj, zanim policzysz

Baza modów pola wewnątrz wyidealizowanej wnęki z rozproszonym rozkładem stanów zamiast piany cząstek.
Fluktuacje statystyczne wymagają zespołu, dynamiki i definicji pomiaru; stan pola sam w sobie nie jest wizualną burzliwością ani źródłem energii.

Laboratorium interaktywne

Kanoniczny zespół dwupoziomowy

Zmieniają różnicę poziomową, temperaturę i wielokrotność stanu wzbudzonego. Wagi Boltzmanna zamieniają mikroskopijne możliwości w mierzalne populacje, energię, entropię i pojemność cieplną.

Stadionwszystkie wzbudzone mikrostany

Podekscytowani mieszkańcy: 27.55%

Średnia energia: 6.89 meV

Entropia: 0.589 kB

Pojemność cieplna: 0.187 kB

Są to prawdopodobieństwa równowagi dla zadeklarowanego złoża. Same wahania populacji nie zapewniają długotrwałej pracy cyklicznej; gradient, napęd, zasób pomiarowy lub inna zmiana nierównowagi musi zostać wprowadzona do księgi rejestru.

Poziom 3 · Trzon studiów licencjackich · Zestaw dydaktyczny

Zapisz badanie. Nauczaj rozumowania.

Karta laboratoryjna dla ucznia i przewodnik dla prowadzącego zamieniają model interaktywny w powtarzalne badanie.

Karta ucznia

Dwupoziomowa mapa populacji i mocy cieplnej zespołów

Jak temperatura, luka energetyczna i degeneracja zamieniają mikroskopijne możliwości w makroskopowe średnie?

Pobierz Markdown dla ucznia

Przewodnik prowadzącego

Nauczaj badania, nie interfejsu

Uczniowie wyprowadzają jakościowe zachowanie zespołu na podstawie wag Boltzmanna i rozróżniają mnogość mikrostanów od samej energii.

Pobierz Markdown dla prowadzącego
Otwórz kompletny zestaw do druku →

Lekcja 1 z 3

Mikrostany, makrostany i zespoły statystyczne

Jak wiele konfiguracji mikroskopowych może dawać jedną zmierzoną temperaturę i jedno ciśnienie?

Makrostan podaje zmienne zgrubne, a realizuje go wiele mikrostanów. Entropia Boltzmanna S=kB lnΩ zlicza zgodne mikrostany.

Zespół statystyczny to model prawdopodobieństwa na mikrostanach przy zadanych więzach. Wybór zespołu oznacza zadeklarowanie, co może wymieniać energię, cząstki albo objętość.

mikrostan · makrostan · zespół statystyczny · entropia Boltzmanna

Przykład rozwiązany

Makrostan ma czterokrotnie więcej mikrostanów niż inny. Znajdź różnicę entropii.

  1. 1. Skorzystaj z ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
  2. 2. Wstaw stosunek 4.
  3. 3. Zostaw postać logarytmiczną albo oblicz wartość.

ΔS=kB ln4.

Spróbuj

Zliczanie krotności

Materiały: Monety albo symulacja stanów dwuwartościowych.

  1. 1. Wypisz liczby orłów dla małego N.
  2. 2. Oblicz krotności dwumianowe.
  3. 3. Narysuj wykres krotności w funkcji makrostanu.
  4. 4. Zwiększ N.

Zwróć uwagę: Makrostany przypominające równowagę dominują, bo realizuje je nieporównanie więcej mikrostanów.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy wysoka entropia oznacza, że każdy mikrostan jest nieuporządkowany w subiektywnym, wizualnym sensie?

Odpowiedź: Nie.

Entropię definiuje się z prawdopodobieństw stanów albo z krotności przy zadanych więzach makroskopowych.

Lekcja 2 z 3

Sumy statystyczne i pochodne termodynamiczne

Jak jedna ważona suma może dawać energię, entropię, pojemność cieplną i obsadzenia?

Kanoniczna suma statystyczna Z=Σe⁻ᵝᴱ waży stany własne energii w kontakcie ze zbiornikiem ciepła. Jej logarytm generuje wielkości termodynamiczne.

Energia swobodna F=−kBT lnZ równoważy energię i entropię oraz wyznacza równowagę przy ustalonej temperaturze i objętości.

suma statystyczna · czynnik Boltzmanna · energia swobodna · pojemność cieplna

Przykład rozwiązany

Dla układu dwupoziomowego o energiach 0 i ε znajdź Z.

  1. 1. Nadaj stanowi podstawowemu wagę 1.
  2. 2. Nadaj stanowi wzbudzonemu wagę e⁻ᵝε.
  3. 3. Dodaj wagi dozwolonych stanów.

Z=1+e⁻ᵝε, a obsadzenie stanu wzbudzonego wynosi e⁻ᵝε/Z.

Spróbuj

Pojemność cieplna układu dwupoziomowego

Materiały: Notatnik obliczeniowy i zakres temperatur.

  1. 1. Oblicz obsadzenie stanu wzbudzonego w funkcji T.
  2. 2. Oblicz energię średnią.
  3. 3. Zróżniczkuj numerycznie, aby otrzymać pojemność cieplną.
  4. 4. Znajdź jej maksimum.

Zwróć uwagę: Pojemność cieplna ma szczyt tam, gdzie energia cieplna konkuruje z przerwą między poziomami.

Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego Z zwykle nie jest samo w sobie prawdopodobieństwem?

Odpowiedź: Jest sumą normalizującą wagi Boltzmanna.

Pojedyncze prawdopodobieństwa wynoszą e⁻ᵝᴱ/Z.

Lekcja 3 z 3

Fluktuacje, fazy i statystyka kwantowa

Kiedy zbiorowe fluktuacje ujawniają przejście, a nie nowy zbiornik energii?

Wariancja energii w zespole kanonicznym jest związana z pojemnością cieplną. Fluktuacje względne zwykle maleją wraz z rozmiarem układu, ale rosną w pobliżu niektórych punktów krytycznych.

Bozony i fermiony podlegają różnym statystykom obsadzeń. Gradienty nierównowagowe mogą napędzać pracę; równowaga szczegółowa zabrania biernego prostowania szumu w trwały wynik cykliczny.

fluktuacyjno-dyssypacyjny · przejście fazowe · Bose–Einstein · Fermi–Dirac

Przykład rozwiązany

Jeśli N niezależnych wkładów fluktuuje z odchyleniem standardowym proporcjonalnym do √N, jak skaluje się fluktuacja względna?

  1. 1. Wartość średnia skaluje się jak N.
  2. 2. Odchylenie standardowe skaluje się jak √N.
  3. 3. Podziel √N/N.

Fluktuacje względne skalują się jak 1/√N i makroskopowo stają się małe.

Spróbuj

Badanie faz w modelu typu Isinga

Materiały: Prosta symulacja sieci.

  1. 1. Uruchom symulację w wysokiej i niskiej temperaturze.
  2. 2. Śledź namagnesowanie i energię.
  3. 3. Przejdź powoli przez przejście fazowe.
  4. 4. Narysuj fluktuacje i sprawdź histerezę.

Zwróć uwagę: Porządek zbiorowy i duże fluktuacje wyłaniają się z oddziaływań lokalnych, nie sugerując darmowej energii spoza modelowanej kąpieli cieplnej.

Sprawdź, czy rozumiesz: Czy izotermiczna zapadka może w nieskończoność biernie prostować równowagowy szum cieplny?

Odpowiedź: Nie.

Sama zapadka też fluktuuje; równowaga szczegółowa znosi trwałą pracę w wyróżnionym kierunku przy jednej temperaturze.

Od wzoru do znaczenia

Przeczytaj równanie zwykłym językiem.

  1. S=k_B lnΩ

    Entropia mierzy krotność jednakowo prawdopodobnych mikrostanów przy zadanych więzach.

  2. Z=Σ_i e^(−βE_i)

    Suma statystyczna normalizuje kanoniczne wagi stanów.

  3. F=−k_BT lnZ

    Energia swobodna Helmholtza generuje termodynamikę równowagową przy ustalonej temperaturze.

Praktyka samodzielna

Zestaw zadań

Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.

  1. 1. Znajdź stosunek prawdopodobieństw p₂/p₁ dla stanów oddzielonych o ΔE w temperaturze T.

    Pokaż podpowiedź

    Podziel przez siebie ich czynniki Boltzmanna.

    Pokaż rozwiązanie

    p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).

  2. 2. Dla Z=1+e⁻ᵝε znajdź energię średnią.

    Pokaż podpowiedź

    Wkład ε wnosi tylko stan wzbudzony.

    Pokaż rozwiązanie

    ⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).

  3. 3. Krotność układu się podwaja. Znajdź ΔS.

    Pokaż podpowiedź

    Skorzystaj ze stosunku krotności.

    Pokaż rozwiązanie

    ΔS=kB ln2.

Pracownia wyprowadzeń

Zbuduj wynik, linijka po linijce.

Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.

  1. Punkt wyjścia

    Rozkład kanoniczny

    Mały układ i duży rezerwuar tworzące razem izolowaną całość o stałej energii całkowitej

    1. 1. Prawdopodobieństwo energii układu E jest proporcjonalne do krotności zbiornika ΩR(Etot−E).
    2. 2. Rozwiń entropię zbiornika SR wokół Etot.
    3. 3. Skorzystaj z ∂S/∂E=1/T.
    4. 4. Weź eksponentę zmiany entropii w pierwszym rzędzie i unormuj.

    p_i=e^(−βE_i)/Z

    Wagi Boltzmanna biorą się ze zliczania stanów zgodnych ze zbiornikiem.

  2. Punkt wyjścia

    Wariancja energii a pojemność cieplna

    ⟨E⟩=−∂lnZ/∂β

    1. 1. Zróżniczkuj ⟨E⟩ względem β.
    2. 2. Rozpoznaj drugi moment minus kwadrat średniej.
    3. 3. Skorzystaj z dβ/dT=−1/(kBT²).
    4. 4. Powiąż d⟨E⟩/dT z pojemnością cieplną.

    Var(E)=kBT²C_V

    Równowagowe fluktuacje energii są ilościowo powiązane z odpowiedzią układu.

Notatnik obliczeniowy

Zamień model w eksperyment.

  1. Zespoły: układ dwupoziomowy i oscylator

    Jak dyskretne widma kształtują energię, entropię i pojemność cieplną w funkcji temperatury?

    Dane wejściowe

    • • Przerwa energetyczna albo częstotliwość oscylatora
    • • Siatka temperatur
    • • Obcięcie liczby stanów dla oscylatora

    Algorytm

    1. 1. Zbuduj wagi Boltzmanna.
    2. 2. Unormuj prawdopodobieństwa.
    3. 3. Oblicz E, F, S i C.
    4. 4. Sprawdź zbieżność względem obcięcia.

    Dowody do uzyskania

    • • Krzywe obsadzeń i wielkości termodynamicznych
    • • Porównanie szczytów pojemności cieplnej
    • • Raport zbieżności numerycznej

Idź dalej, do dowodów

Następna lektura, z jej źródłami