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L. H. Ford, Adam Helfer et Thomas Roman partent du fait que les champs quantiques peuvent produire des densités d’énergie négatives locales après renormalisation. C’est possible parce que la renormalisation implique une soustraction infinie, même si la densité d’énergie classique semble définie positive. Pour un champ scalaire libre sans masse, ils construisent des états superposant le vide et des états à deux particules multimodes. Ces états peuvent placer une quantité arbitrairement grande d’énergie négative dans une région donnée de l’espace à un instant fixé. Chaque état de la suite utilisée est de forme de Hadamard, si bien que la densité d’énergie peut être rendue aussi négative que voulu avec des états physiquement acceptables. On obtient ainsi un contre-exemple explicite : il n’existe pas d’inégalité quantique moyennée spatialement dans l’espace-temps à quatre dimensions.

Spatially Averaged Quantum Inequalities Do Not Exist in Four-Dimensional Spacetime