Relatividad especial sin atajos
Usa eventos, conos de luz, transformaciones de Lorentz y cuadrivectores de forma cuantitativa.
Ve más allá de los eslóganes hasta el intervalo invariante, la dilatación del tiempo, la contracción de longitudes, el momento relativista y la estructura causal.
Antes de empezar
- • Curso de espacio-tiempo del nivel 1
- • Mecánica
- • Álgebra y raíces cuadradas
Al terminar, podrás
- • Calcular factores de Lorentz y dilatación del tiempo.
- • Usar el intervalo invariante para clasificar la separación entre eventos.
- • Relacionar la energía y el momento de forma relativista.
- • Explicar por qué el movimiento local nunca supera c en una métrica de curvatura.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Lección 1 de 3
El factor de Lorentz y los relojes en movimiento
¿Cuánto tiempo propio se acumula a lo largo de trayectorias inerciales distintas?
El factor de Lorentz γ = 1/√(1−v²/c²) cuantifica con cuánta intensidad se mezclan las coordenadas de espacio y de tiempo. A velocidades cotidianas, γ es casi uno.
El tiempo propio es lo que registra un reloj a lo largo de su propia trayectoria. Entre los mismos eventos de partida y de reencuentro, trayectorias distintas pueden acumular tiempos propios distintos.
Ejemplo resuelto
Una nave se mueve a 0.80c. Halla γ.
- 1. Calcula v²/c² = 0.64.
- 2. Calcula √(1−0.64) = 0.60.
- 3. Toma el inverso.
γ ≈ 1.67; 1.0 años de nave abarcan unos 1.67 años en el marco terrestre elegido.
Pruébalo
Tabla del factor de Lorentz
Materiales: Calculadora y hoja de cálculo o papel cuadriculado.
- 1. Calcula γ a 0, 0.1c, 0.5c, 0.8c, 0.95c y 0.99c.
- 2. Representa γ frente a v/c.
- 3. Identifica la región no lineal.
- 4. Explica por qué ningún γ finito alcanza c.
Fíjate: Los efectos relativistas crecen de golpe cerca de c, no de forma lineal con la velocidad.
Comprueba lo que entendiste: ¿La dilatación del tiempo significa que el mecanismo del reloj de un observador está defectuoso?
Respuesta: No.
Cada reloj local funciona con normalidad; el tiempo transcurrido depende de la trayectoria en el espacio-tiempo entre los eventos comparados.
Lección 2 de 3
Intervalos invariantes y conos de luz
¿Qué eventos pueden influirse entre sí?
El intervalo combina la separación temporal y la espacial en una cantidad en la que coinciden todos los observadores inerciales. Los eventos separados de tipo temporal pueden conectarse con un movimiento más lento que la luz; los de tipo luz, con luz; los de tipo espacial no pueden enlazarse causalmente sin una influencia superlumínica.
Los observadores pueden discrepar sobre el orden temporal de eventos de tipo espacial, pero coinciden en su clasificación causal.
Ejemplo resuelto
Dos eventos están separados 5 segundos-luz en el espacio y 3 segundos en el tiempo.
- 1. En 3 segundos, la luz solo podría recorrer 3 segundos-luz.
- 2. La separación espacial supera cΔt.
- 3. Clasifica el intervalo como de tipo espacial.
Ninguna señal que viaje a c o por debajo puede conectar esos eventos en ese marco, y todos los observadores inerciales coinciden en que son de tipo espacial.
Pruébalo
Dibuja un mapa de conos de luz
Materiales: Papel cuadriculado con ct en vertical y x en horizontal.
- 1. Dibuja rayos de luz a 45° desde un evento.
- 2. Sitúa ejemplos de tipo temporal, de tipo luz y de tipo espacial.
- 3. Dibuja la línea de universo de un observador más lento.
- 4. Comprueba qué puntos pueden recibir una señal.
Fíjate: El cono es una frontera causal, no una cáscara física que viaje por el espacio.
Comprueba lo que entendiste: ¿Pueden dos observadores inerciales discrepar sobre si dos eventos son de tipo espacial?
Respuesta: No.
La clasificación del intervalo es invariante aunque las diferencias de coordenadas cambien.
Lección 3 de 3
Energía y momento relativistas
¿Qué sustituye a las fórmulas clásicas de energía cinética cerca de la velocidad de la luz?
El momento relativista p = γmv crece sin límite a medida que un objeto con masa se acerca a c. La energía total y el momento cumplen E² = (pc)² + (mc²)².
La luz tiene masa en reposo cero, pero energía y momento distintos de cero. Una propuesta de espacio-tiempo de curvatura cambia la geometría en lugar de acelerar una nave local a través de c.
Ejemplo resuelto
Halla la energía total de un objeto de 1 kg a 0.80c en unidades de su energía en reposo.
- 1. Usa E = γmc².
- 2. A 0.80c, γ ≈ 1.67.
- 3. Divide entre mc².
La energía total es unas 1.67 veces la energía en reposo; la energía cinética es de unos 0.67mc².
Pruébalo
Comparación entre lo clásico y lo relativista
Materiales: Calculadora u hoja de cálculo.
- 1. Calcula la ½mv² clásica y la (γ−1)mc² relativista para varios valores de v/c.
- 2. Normaliza las dos dividiendo entre mc².
- 3. Representa la diferencia.
- 4. Marca dónde el error clásico supera el 1%.
Fíjate: La mecánica clásica es una aproximación excelente a baja velocidad y falla cada vez más cerca de c.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué puede la luz transportar momento sin masa en reposo?
Respuesta: Para m = 0, la relación energía-momento se convierte en E = pc.
La masa en reposo no hace falta para tener momento relativista.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
γ = 1/√(1−v²/c²)
El factor de Lorentz mide la mezcla relativista a la velocidad v.
Unidades: dimensionless
Δs² = c²Δt² − Δx²
El intervalo espacio-temporal es invariante entre marcos inerciales.
Unidades: m²
E² = (pc)² + (mc²)²
La energía, el momento y la masa en reposo forman una sola relación relativista.
Unidades: J²
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Halla γ a 0.60c.
Ver la pista
Calcula 1/√(1−0.36).
Ver la solución
γ = 1.25.
2. Un muón experimenta 2.2 μs mientras se mueve con γ = 10. ¿Qué vida media se mide en el marco del laboratorio?
Ver la pista
Δt = γΔτ.
Ver la solución
22 μs.
3. Un fotón tiene una energía de 3.0 eV. Expresa su momento de forma simbólica.
Ver la pista
Haz m = 0 en la relación energía-momento.
Ver la solución
p = E/c = 3.0 eV/c.
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Clase 2: La relatividad especial
La secuencia visual completa de eventos, intervalos y cuadrivectores.
Clase 4: La métrica de Alcubierre
Separa los límites locales de velocidad de la geometría global del espacio-tiempo.
Capítulo 4: El tensor métrico
El puente que va del espacio-tiempo plano a las geometrías de curvatura y de agujero de gusano.