Relatividade restrita sem atalhos
Use eventos, cones de luz, transformações de Lorentz e quadrivetores de forma quantitativa.
Vá além dos slogans até o intervalo invariante, a dilatação do tempo, a contração do comprimento, o momento relativístico e a estrutura causal.
Antes de começar
- • Curso de espaço-tempo do Nível 1
- • Mecânica
- • Álgebra e raízes quadradas
Ao final, você consegue
- • Calcular fatores de Lorentz e dilatação do tempo.
- • Usar o intervalo invariante para classificar a separação entre eventos.
- • Relacionar energia e momento de forma relativística.
- • Explicar por que o movimento local nunca ultrapassa c numa métrica de dobra.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Lição 1 de 3
Fator de Lorentz e relógios em movimento
Quanto tempo próprio se acumula ao longo de caminhos inerciais diferentes?
O fator de Lorentz γ = 1/√(1−v²/c²) quantifica com que intensidade as coordenadas de espaço e de tempo se misturam. Em velocidades do dia a dia, γ é quase um.
O tempo próprio é o que um relógio registra ao longo do seu próprio caminho. Entre os mesmos eventos de partida e reencontro, caminhos diferentes podem acumular tempos próprios diferentes.
Exemplo resolvido
Uma nave se move a 0,80c. Encontre γ.
- 1. Calcule v²/c² = 0,64.
- 2. Calcule √(1−0,64) = 0,60.
- 3. Tome o inverso.
γ ≈ 1,67; 1,0 ano de nave abrange cerca de 1,67 ano no referencial terrestre escolhido.
Experimente
Tabela do fator de Lorentz
Materiais: Calculadora e planilha ou papel quadriculado.
- 1. Calcule γ em 0, 0,1c, 0,5c, 0,8c, 0,95c e 0,99c.
- 2. Trace γ versus v/c.
- 3. Identifique a região não linear.
- 4. Explique por que nenhum γ finito alcança c.
Repare: Os efeitos relativísticos crescem de forma acentuada perto de c, e não linearmente com a velocidade.
Verifique o que entendeu: A dilatação do tempo quer dizer que o mecanismo do relógio de um dos observadores está com defeito?
Resposta: Não.
Cada relógio local funciona normalmente; o tempo decorrido depende do caminho no espaço-tempo entre os eventos comparados.
Lição 2 de 3
Intervalos invariantes e cones de luz
Quais eventos podem influenciar uns aos outros?
O intervalo combina a separação temporal e a espacial numa grandeza sobre a qual todos os observadores inerciais concordam. Eventos separados de forma tipo-tempo podem ser ligados por movimento mais lento que a luz; eventos tipo-luz, pela luz; eventos tipo-espaço não podem ser ligados causalmente sem influência superluminal.
Observadores podem discordar sobre a ordem temporal de eventos tipo-espaço, mas concordam sobre a classificação causal.
Exemplo resolvido
Dois eventos estão a 5 segundos-luz de distância no espaço e a 3 segundos de distância no tempo.
- 1. A luz cruzaria apenas 3 segundos-luz em 3 segundos.
- 2. A separação espacial ultrapassa cΔt.
- 3. Classifique o intervalo como tipo-espaço.
Nenhum sinal viajando a c ou abaixo consegue ligar os eventos naquele referencial, e todos os observadores inerciais concordam que eles são tipo-espaço.
Experimente
Desenhe um mapa de cone de luz
Materiais: Papel quadriculado com ct na vertical e x na horizontal.
- 1. Desenhe raios de luz a 45° a partir de um evento.
- 2. Coloque exemplos tipo-tempo, tipo-luz e tipo-espaço.
- 3. Desenhe a linha de mundo de um observador mais lento.
- 4. Teste quais pontos podem receber um sinal.
Repare: O cone é uma fronteira causal, não uma casca física viajando pelo espaço.
Verifique o que entendeu: Dois observadores inerciais podem discordar sobre se dois eventos são tipo-espaço?
Resposta: Não.
A classificação do intervalo é invariante mesmo quando as diferenças de coordenada mudam.
Lição 3 de 3
Energia e momento relativísticos
O que substitui as fórmulas clássicas de energia cinética perto da velocidade da luz?
O momento relativístico p = γmv cresce sem limite conforme um objeto com massa se aproxima de c. A energia e o momento totais obedecem a E² = (pc)² + (mc²)².
A luz tem massa de repouso zero, mas energia e momento diferentes de zero. Uma proposta de espaço-tempo de dobra muda a geometria, em vez de acelerar uma nave local através de c.
Exemplo resolvido
Encontre a energia total de um objeto de 1 kg a 0,80c em unidades da sua energia de repouso.
- 1. Use E = γmc².
- 2. A 0,80c, γ ≈ 1,67.
- 3. Divida por mc².
A energia total é cerca de 1,67 vez a energia de repouso; a energia cinética é cerca de 0,67mc².
Experimente
Comparação entre clássico e relativístico
Materiais: Calculadora ou planilha.
- 1. Calcule o clássico ½mv² e o relativístico (γ−1)mc² para vários valores de v/c.
- 2. Normalize os dois por mc².
- 3. Trace a diferença.
- 4. Marque onde o erro clássico ultrapassa 1%.
Repare: A mecânica clássica é uma excelente aproximação em baixas velocidades e falha progressivamente perto de c.
Verifique o que entendeu: Por que a luz pode carregar momento sem massa de repouso?
Resposta: Para m = 0, a relação energia-momento se torna E = pc.
A massa de repouso não é necessária para o momento relativístico.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
γ = 1/√(1−v²/c²)
O fator de Lorentz mede a mistura relativística na velocidade v.
Unidades: dimensionless
Δs² = c²Δt² − Δx²
O intervalo do espaço-tempo é invariante entre referenciais inerciais.
Unidades: m²
E² = (pc)² + (mc²)²
Energia, momento e massa de repouso formam uma única relação relativística.
Unidades: J²
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Encontre γ a 0,60c.
Ver a dica
Calcule 1/√(1−0,36).
Ver a solução
γ = 1,25.
2. Um múon vive 2,2 μs no seu tempo próprio enquanto se move com γ = 10. Que tempo de vida é medido no referencial do laboratório?
Ver a dica
Δt = γΔτ.
Ver a solução
22 μs.
3. Um fóton tem energia de 3,0 eV. Expresse o momento dele de forma simbólica.
Ver a dica
Faça m = 0 na relação energia-momento.
Ver a solução
p = E/c = 3,0 eV/c.
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Aula 2: Relatividade restrita
A sequência visual completa de eventos, intervalos e quadrivetores.
Aula 4: A métrica de Alcubierre
Separa os limites locais de velocidade da geometria global do espaço-tempo.
Capítulo 4: O tensor métrico
A ponte do espaço-tempo plano para as geometrias de dobra e de buraco de minhoca.