Cálculo tensorial y geometría diferencial
Aprende a calcular geometría sin confundir las coordenadas con la estructura física.
Desarrolla las variedades, los tensores, las métricas, las derivadas covariantes, las geodésicas, la curvatura, las formas diferenciales y los diagnósticos invariantes como requisito matemático para la relatividad general y para el análisis de la ingeniería de la métrica.
Antes de empezar
- • Cálculo, vectores y ecuaciones diferenciales
- • Mecánica lagrangiana
- • Álgebra lineal y cálculo multivariable
Al terminar, podrás
- • Transformar vectores, covectores y tensores entre cartas de coordenadas.
- • Calcular conexiones de Levi-Civita y geodésicas a partir de una métrica.
- • Calcular tensores de curvatura y contracciones invariantes.
- • Separar los efectos de coordenadas de los efectos geométricos medibles.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Lección 1 de 3
Cartas, espacios tangentes y tensores
¿Qué cantidades cambian con las coordenadas y qué enunciados geométricos sobreviven a cualquier carta?
Una variedad se coordina localmente, pero no es idéntica a ninguna malla de coordenadas concreta. Los vectores tangentes actúan como derivadas direccionales, los covectores actúan sobre los vectores y los tensores son aplicaciones multilineales con una ley de transformación definida.
La métrica es un tensor de rango dos simétrico y no degenerado. Convierte vectores en covectores, define intervalos y ángulos, y aporta un elemento de volumen una vez elegidas la signatura y la orientación.
Ejemplo resuelto
Transforma la métrica del plano euclídeo de coordenadas cartesianas a polares.
- 1. Escribe x=r cosφ e y=r sinφ.
- 2. Deriva para obtener dx y dy.
- 3. Sustitúyelos en ds²=dx²+dy².
- 4. Agrupa los términos en dr², dr dφ y dφ².
ds²=dr²+r²dφ²; la geometría es plana aunque las componentes de la métrica varíen.
Pruébalo
Auditoría de coordenadas frente a curvatura
Materiales: Un cuaderno simbólico o papel
- 1. Escribe la métrica del plano en la carta cartesiana y en la polar.
- 2. Compara las derivadas de las componentes.
- 3. Calcula o consulta la curvatura escalar.
- 4. Explica por qué unas componentes que varían no implican curvatura.
Fíjate: Una malla de coordenadas puede curvarse sobre el papel mientras la curvatura invariante sigue siendo cero.
Comprueba lo que entendiste: ¿Se puede decidir si un espacio está curvado mirando si varían las componentes de la métrica?
Respuesta: No.
La variación de las componentes puede deberse a las coordenadas; la curvatura exige un cálculo invariante como el del tensor de Riemann.
Lección 2 de 3
Conexiones, transporte paralelo y geodésicas
¿Cómo pueden las derivadas comparar vectores que viven en espacios tangentes distintos?
Una conexión corrige las derivadas ordinarias de las componentes para que el resultado se transforme como un tensor. La conexión de Levi-Civita, sin torsión y compatible con la métrica, queda determinada por la métrica a través de los símbolos de Christoffel.
Las geodésicas transportan en paralelo su propio vector tangente. Bajo las condiciones habituales son caminos localmente extremales para el intervalo, pero la aceleración en coordenadas a lo largo de ellas no tiene por qué anularse.
Ejemplo resuelto
Halla los símbolos de Christoffel no nulos del plano en polares.
- 1. Usa g_rr=1 y g_φφ=r².
- 2. Evalúa Γᵃ_bc=½gᵃᵈ(∂_b g_dc+∂_c g_db−∂_d g_bc).
- 3. Solo sobreviven las derivadas radiales de r².
- 4. Aplica la simetría en los índices inferiores.
Γʳ_φφ=−r y Γᵠ_rφ=Γᵠ_φr=1/r.
Pruébalo
Geodésicas sobre una esfera
Materiales: Un globo terráqueo, hilo y un cuaderno
- 1. Tensa el hilo entre dos puntos siguiendo un círculo máximo.
- 2. Compáralo con un paralelo de latitud.
- 3. Escribe la métrica esférica.
- 4. Identifica qué camino es localmente geodésico.
Fíjate: Una geodésica es intrínseca a la superficie y no tiene por qué parecer recta en un espacio de inmersión.
Comprueba lo que entendiste: ¿Son los símbolos de Christoffel componentes de un tensor?
Respuesta: No.
Su término de transformación no homogéneo es justo lo que repara las derivadas y las convierte en derivadas covariantes.
Lección 3 de 3
Curvatura, invariantes y formas diferenciales
¿Qué medición distingue la curvatura verdadera de los artefactos de coordenadas?
El tensor de Riemann mide el fallo de las derivadas covariantes al conmutar y la dependencia del camino en el transporte paralelo. Sus contracciones dan el tensor de Ricci y la curvatura escalar.
Las formas diferenciales empaquetan con limpieza la integración, la orientación y la conservación. La derivada exterior es independiente de las coordenadas y el teorema de Stokes unifica el gradiente, el rotacional, la divergencia y las leyes de contorno.
Ejemplo resuelto
¿Qué prueba de curvatura distingue las coordenadas polares en un plano de una esfera?
- 1. Calcula un invariante de curvatura en lugar de derivadas de las componentes.
- 2. Para el plano, R=0.
- 3. Para una esfera de radio a, la curvatura gaussiana es 1/a².
- 4. Concluye que los espacios son intrínsecamente distintos.
En un espacio plano puede haber singularidades de coordenadas; los invariantes de curvatura no nulos no se pueden eliminar con un cambio de coordenadas.
Pruébalo
La holonomía del transporte paralelo
Materiales: Un globo terráqueo y una flecha recortada
- 1. Lleva la flecha hacia el norte por un meridiano.
- 2. Desplázala a lo largo del ecuador.
- 3. Vuelve por otro meridiano.
- 4. Compara la orientación final con la inicial.
Fíjate: La rotación tras recorrer un lazo cerrado registra la curvatura integrada.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué el escalar de Ricci por sí solo no basta para caracterizar toda la curvatura?
Respuesta: Tensores de Riemann distintos pueden compartir la misma contracción escalar.
Un solo escalar descarta la información direccional y de marea.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
ds²=g_μν dx^μdx^ν
La métrica convierte los desplazamientos de coordenadas en un intervalo invariante.
Γ^ρ_μν=½g^ρσ(∂_μg_σν+∂_νg_σμ−∂_σg_μν)
La conexión de Levi-Civita se construye con las primeras derivadas de la métrica.
R^ρ_σμν=∂_μΓ^ρ_νσ−∂_νΓ^ρ_μσ+Γ^ρ_μλΓ^λ_νσ−Γ^ρ_νλΓ^λ_μσ
La curvatura registra la no conmutatividad del transporte covariante.
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Calcula la inversa y el determinante de diag(−1,a²,b²,c²).
Ver la pista
Invierte cada elemento diagonal y multiplica la diagonal para el determinante.
Ver la solución
g^{μν}=diag(−1,a⁻²,b⁻²,c⁻²), det g=−a²b²c².
2. Demuestra que una métrica constante en coordenadas cartesianas tiene conexión de Levi-Civita nula.
Ver la pista
Todos los términos de Γ contienen una derivada de la métrica.
Ver la solución
Todos los términos ∂g se anulan, así que Γ^ρ_μν=0 en esa carta.
3. Una dos-esfera tiene R=2/a². ¿Qué ocurre cuando a→∞?
Ver la pista
Piensa en el límite local de radio grande.
Ver la solución
R→0; un parche lo bastante pequeño se acerca a un plano.
Taller de derivación
Construye el resultado, línea a línea.
Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.
Punto de partida
La ecuación de las geodésicas a partir del intervalo estacionario
S=½∫g_μν ẋ^μẋ^ν dλ
- 1. Trata el integrando como un lagrangiano.
- 2. Calcula las derivadas respecto a ẋ^ρ y a x^ρ.
- 3. Aplica la ecuación de Euler–Lagrange.
- 4. Sube un índice y reconoce la combinación de Christoffel.
ẍ^ρ+Γ^ρ_μνẋ^μẋ^ν=0
El movimiento libre es recto en sentido covariante aunque las componentes en coordenadas aceleren.
Punto de partida
La curvatura a partir de un conmutador
[∇_μ,∇_ν]V^ρ
- 1. Desarrolla las dos derivadas covariantes.
- 2. Cancela las segundas derivadas parciales.
- 3. Agrupa las derivadas de Γ y los términos cuadráticos en Γ.
- 4. Saca factor común de las componentes del vector.
[∇_μ,∇_ν]V^ρ=R^ρ_σμνV^σ
La curvatura es un obstáculo operativo para comparar vectores de forma independiente del camino.
Cuaderno computacional
Convierte el modelo en un experimento.
Laboratorio de geodésicas y curvatura
¿Cómo cambian las trayectorias en coordenadas y la curvatura invariante en un plano, una esfera y una silla de montar?
Entradas
- • Componentes métricas de tres superficies bidimensionales
- • Posición y vector tangente iniciales
- • Paso de integración y rango afín
Algoritmo
- 1. Calcula Γ a partir de cada métrica.
- 2. Integra la ecuación de las geodésicas.
- 3. Evalúa la curvatura escalar.
- 4. Compara las trayectorias en cada carta con los diagnósticos invariantes.
Evidencia que producir
- • Gráficas de geodésicas en cada carta
- • Tabla de curvaturas
- • Una explicación de artefacto de coordenadas frente a geometría
Taller de lectura de artículos
Interroga la fuente, no su reputación.
Reconstruye las suposiciones, reproduce un cálculo y detente en el límite de la evidencia publicada.
Reconstruye una afirmación sobre una métrica
¿La fuente establece una geometría nueva, una descripción en coordenadas o solo un ansatz propuesto?
- 1. Copia la métrica y declara la signatura y las coordenadas.
- 2. Enumera las simetrías y las condiciones de contorno.
- 3. Calcula al menos un invariante.
- 4. Sigue el rastro de cada interpretación física hasta un tensor o un observable.
Cálculo que reproducir: Reproduce la métrica inversa, el determinante, un coeficiente de conexión y un invariante de curvatura.
Límite de la evidencia: Una métrica matemáticamente consistente no es evidencia de que la energía-momento necesaria exista ni de que se pueda construir.
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Clase 1: ¿Qué es una métrica?
El puente conceptual que va de las coordenadas a la medición invariante.
Capítulo 4: El tensor métrico, los motores de curvatura y los agujeros de gusano
Aplica las herramientas geométricas a las métricas estándar y a las propuestas conservando las fronteras de la evidencia.
Clase 5: Los agujeros de gusano de Morris–Thorne
Una geometría resuelta con condiciones explícitas de garganta y de ensanchamiento.