Spacetime Metric — Season 1 — 02-special-relativity-and-four-vectors Transcript (pt) — translated from the English narration; the video is narrated in English. Duas pessoas. Dois cronômetros. Duas réguas. Uma delas está parada numa plataforma. A outra passa rolando num trem. As duas observam o mesmo evento — um flash dispara, em algum ponto entre elas — e as duas anotam o que mediram. Quanto tempo o flash durou. A que distância ele aconteceu. Com que rapidez a luz dele se moveu. Quando comparam as anotações depois, elas não concordam. A da plataforma anota uma duração; a do trem anota uma duração diferente. A da plataforma anota uma distância; a do trem anota uma distância diferente. As duas são honestas. Os cronômetros estão calibrados. As réguas estão certas. E elas discordam. Por uns duzentos e cinquenta anos, a física tratou essa discordância como um problema de medição. Alguém tinha que estar errado. O trabalho do teórico era descobrir quem. Em 1905, um funcionário de escritório de patentes de vinte e seis anos, em Berna, na Suíça, publicou um artigo que dizia algo diferente. Ele disse: nenhum dos dois está errado. Os dois estão medindo honestamente. A razão de discordarem é que estão medindo duas coisas diferentes. E por baixo da discordância há algo mais profundo — algo que nenhum dos dois estava medindo diretamente — sobre o que os dois, se fizessem a álgebra com cuidado, concordariam exatamente. Esta é a Aula Dois. A coisa mais profunda se chama intervalo de espaço-tempo. A geometria que faz isso concordar se chama espaço de Minkowski. E a contabilidade que permite escrever qualquer coisa física de um jeito que tanto o observador da plataforma quanto o do trem vão aceitar — essa contabilidade se chama quadrivetor. No fim da aula, você vai conseguir ler tudo isso. Na aula passada, construímos um único objeto. Uma métrica. A regra para converter passos de coordenada infinitesimalmente pequenos numa distância física ao quadrado. Num plano, escrevemos ds^2 = dx^2 + dy^2. Numa esfera, escrevemos ds^2 = dtheta^2 + sin^2theta dphi^2. Na forma geral completa, escrevemos ds^2 = g{munu} dx^mu dx^nu, onde g{munu} é uma tabela de números que depende de onde você está. Todo exemplo da Aula Um era uma métrica no espaço. A folha plana. A superfície de uma esfera. Um pedaço de uma superfície bidimensional ondulada à deriva pelo espaço. Você pode esticar qualquer desses exemplos para três dimensões espaciais sem problema — a contabilidade só fica mais longa. Mas a aula que você está ouvindo agora é sobre o esticamento seguinte. Não de duas dimensões espaciais para três. De espaço para espaço-tempo. De uma métrica com que dois observadores parados na mesma sala concordariam, para uma métrica com que dois observadores em velocidades diferentes também vão concordar. Esse segundo esticamento é mais difícil do que parece. É mais difícil porque, à primeira vista, tempo e espaço não parecem coisas que se possa colocar na mesma métrica. O tempo tem unidade de segundos. O espaço tem unidade de metros. Um cronômetro não é uma régua. Parecem tipos diferentes de grandeza. E antes de 1905 eram tratados como tipos diferentes de grandeza. O salto de 1905 foi colocá-los no mesmo diagrama. Insistir que existe um único objeto, quadridimensional, que contém os dois, e que a regra para medir distância nesse objeto é aquilo sobre o que os observadores físicos de fato concordam. A discordância na plataforma do trem acontece porque o observador da plataforma e o do trem estão projetando esse objeto quadridimensional na sua própria divisão privada de três mais um — três de espaço, uma de tempo — e as divisões deles estão inclinadas uma em relação à outra. O objeto quadridimensional por baixo é o mesmo. O que muda é a divisão. Esta aula constrói esse objeto quadridimensional. Depois constrói a contabilidade em que você escreve grandezas físicas, para que elas vivam no objeto quadridimensional em vez de viver na divisão de um observador em particular. Depois te entrega a alça da próxima aula: o tensor energia-momento. Esse objeto vai ficar no lado direito das equações de campo de Einstein na Aula 3, e é a coisa a que a geometria responde. Mas antes de tudo isso — precisamos falar de por que a regra do dia a dia para somar velocidades, a regra que você usa desde o ginásio, tem que quebrar. Aqui está a regra com que você cresceu. Você está num trem, a quarenta milhas por hora. Você caminha para frente, dentro do trem, a três milhas por hora. Com que rapidez você se move em relação à plataforma? Quarenta e três. Você soma as velocidades. Mesma ideia: uma bola de beisebol lançada para frente a noventa milhas por hora de um carro que anda a trinta — a bola faz cento e vinte em relação à estrada. Essa regra tem um nome. É a adição galileana de velocidades, em homenagem a Galileu, que articulou o princípio da relatividade subjacente em 1632 em seu Diálogo sobre os Dois Máximos Sistemas do Mundo: as leis da mecânica são as mesmas em qualquer referencial inercial, então um marinheiro no porão de um navio em movimento suave não consegue, por nenhum experimento mecânico, dizer se o navio está se movendo ou parado. Se você aceita esse princípio e aceita a noção cotidiana de tempo universal — a mesma leitura de relógio para todo mundo, independentemente de como cada um se move — então a adição de velocidades decorre disso. Sua velocidade em relação à plataforma é sua velocidade em relação ao trem, mais a velocidade do trem em relação à plataforma. Pronto. A regra funciona. Funciona para trens. Funciona para bolas de beisebol lançadas. Funciona para carros, bicicletas e ritmo de caminhada. Funciona para tudo na experiência humana, até a velocidade de um caça, até a velocidade de uma bala de rifle, até a velocidade de um míssil hipersônico. É uma regra empiricamente excelente em toda a faixa de velocidades que alguém já tinha medido com cuidado, por duzentos e cinquenta anos depois de Galileu. E então, na segunda metade do século dezenove, alguém começou a medir a luz. O problema era este. Por volta de 1860, James Clerk Maxwell tinha escrito um conjunto de quatro equações — o que hoje chamamos de equações de Maxwell — que descrevem como campos elétricos e magnéticos se propagam. Dessas equações cai um número específico. Uma velocidade. A velocidade com que uma onda eletromagnética viaja pelo espaço vazio. Esse número é de cerca de trezentos mil quilômetros por segundo. Nós o chamamos de c. E as equações de Maxwell não dizem "c em relação a quem". O número simplesmente está ali, embutido na estrutura do eletromagnetismo. Isso é um problema para a adição galileana. Porque se a luz viaja a c, e você se move em direção a uma lanterna à metade de c, então pela regra do dia a dia a luz deveria chegar até você fazendo um e meio c. E se você se afasta da mesma lanterna à metade de c, a luz deveria chegar fazendo meio c. São duas respostas diferentes, dependendo do seu movimento. Mas as equações de Maxwell dão uma resposta. A mesma. Então, ou as equações de Maxwell só são verdadeiras em um referencial especial — o referencial de algum meio hipotético, que os físicos do fim do século dezenove chamavam de éter luminífero — ou a adição galileana está errada sobre a luz. Em 1887, num porão do campus do que então se chamava Case School of Applied Science, em Cleveland, Ohio, dois experimentalistas — Albert Michelson e Edward Morley — construíram um aparato preciso o bastante para resolver a questão. Eles dividiram um feixe de luz em dois caminhos perpendiculares, refletiram em espelhos, recombinaram e procuraram o padrão de interferência. Como a Terra se move em torno do Sol a cerca de trinta quilômetros por segundo, o aparato se move pelo suposto éter em direções diferentes em épocas diferentes do ano. Se o éter existisse e a adição galileana estivesse certa, a velocidade da luz na direção do movimento do aparato deveria diferir da velocidade da luz perpendicular a ele, e o padrão de interferência deveria se deslocar ao longo do ano. O padrão não se deslocou. Na precisão do aparato — que era muito boa — a velocidade da luz saiu a mesma em toda direção, em toda época do ano, independentemente de como a Terra estivesse se movendo. O experimento foi refinado e repetido por décadas. O resultado nulo se manteve. Então agora você tem uma escolha, como físico em 1900. Você pode manter a adição galileana de velocidades, manter o tempo universal e tentar remendar as equações de Maxwell — o que vários físicos muito bons, incluindo Lorentz e Poincaré, tentaram. Ou você pode manter as equações de Maxwell exatamente como Maxwell as escreveu, aceitar que a velocidade da luz é a mesma em todo referencial inercial como um dado empírico, e descobrir o que tem que ceder em outro lugar. Em 1905 Einstein escolheu a segunda opção, e o que teve que ceder foi a suposição de tempo universal. Dois observadores em movimento relativo não compartilham um relógio. A leitura do relógio e a leitura da régua se misturam uma na outra de um jeito específico e calculável quando você passa do referencial de um observador para o de outro. A regra de mistura se chama transformação de Lorentz — Hendrik Lorentz, o físico holandês, tinha escrito as equações de transformação corretas em 1904, mas as interpretou como uma peculiaridade de como réguas e relógios interagem com o éter; o artigo de Einstein de 1905 as aceitou como uma afirmação sobre o próprio espaço e o próprio tempo. A transformação de Lorentz, em sua forma mais simples — uma direção de movimento relativo, chame de direção x, com velocidade relativa v — é: $t' = gamma left(t - frac{vx}{c^2}right), quad x' = gamma (x - vt), quad y' = y, quad z' = z$ onde gamma = 1/sqrt{1 - v^2/c^2} é o fator de Lorentz. Para velocidades do dia a dia — v muito menor que c — gamma é essencialmente um, o termo vx/c^2 na equação do tempo é essencialmente zero, e as equações desabam de volta para "t' = t, x' = x - vt" — a regra de Galileu. O afastamento de Galileu está escondido dentro de correções que escalam com v^2/c^2. Em velocidades do dia a dia, essas correções são menores que partes por trilhão. A um décimo da velocidade da luz, são de um por cento. A nove décimos da velocidade da luz, gamma é cerca de 2,3, e as correções são o quadro inteiro. Esse é o cenário empírico e histórico. O resto desta aula é sobre o que essas transformações de Lorentz estão fazendo geometricamente — e a resposta, devida a Hermann Minkowski em 1908, é que elas são rotações num espaço-tempo de quatro dimensões, e há uma métrica nesse espaço-tempo que elas deixam intacta. Essa métrica é aquilo sobre o que o observador da plataforma e o do trem secretamente concordam, mesmo quando discordam de todo o resto. Aqui está o objeto central. A métrica do espaço-tempo plano — o espaço-tempo da relatividade especial, ainda sem gravidade — escrita na mesma notação de elemento de linha que a Aula Um usou. Prepare-se, mas a equação é curta. $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ Essa equação é o conteúdo inteiro da relatividade especial. Todo o resto desta aula é contabilidade para torná-la utilizável. Então vamos nomear cada peça. O lado esquerdo, ds^2 — o mesmo intervalinho ao quadrado que encontramos na Aula Um. A generalização com letras gregas vale. É a regra para converter quatro passos infinitesimais de coordenada — três no espaço, um no tempo — numa única grandeza física com que os observadores vão concordar. Os quatro termos da direita são os quatro passos de coordenada. Um passo de tempo, dt, multiplicado por -c^2. Três passos de espaço, dx, dy, dz, cada um só elevado ao quadrado com sinal de mais. Essa é a métrica inteira. Na notação de tabela g_{munu} da Aula Um, a métrica de Minkowski é uma tabela diagonal de quatro por quatro — -c^2 na casa tempo-tempo, +1 em cada uma das três casas espaço-espaço, zeros em todo o resto fora da diagonal. Três perguntas que vale fazer sobre essa métrica. As mesmas três perguntas que fizemos sobre a regra de Pitágoras no plano, porque estamos fazendo o mesmo tipo de trabalho. Primeira — por que o sinal de menos na frente do termo de tempo. Esse é o sinal mais importante da física do século vinte. O sinal de menos é a razão inteira de o tempo não ser só uma quarta direção do espaço. Se o termo de tempo viesse com sinal de mais — se a métrica fosse ds^2 = c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, os quatro termos positivos — então o espaço-tempo seria um espaço euclidiano de quatro dimensões. Não haveria cone de luz. Não haveria passado e futuro. Não haveria noção de causa e efeito embutida na geometria. O sinal de menos é o que faz o tempo ser diferente do espaço, e ainda assim deixa tempo e espaço na mesma equação. Para ver o que o sinal de menos faz de fato, olhe o caso mais simples. Finja que você tem uma direção de espaço e uma de tempo, então a métrica se simplifica para ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2. Agora pergunte: o que significa ds^2 ser zero? Faça -c^2 dt^2 + dx^2 = 0. Rearranje: dx^2 = c^2 dt^2, o que significa dx/dt = pm c. Os passos de coordenada que produzem intervalo zero são exatamente os passos que correspondem a movimento na velocidade da luz. Então a métrica, sozinha, seleciona a velocidade da luz como a velocidade para a qual a "distância no espaço-tempo" é zero. Esse é o desenho que os físicos chamam de diagrama de espaço-tempo. Espaço na horizontal, tempo na vertical — o tempo multiplicado por c para as unidades baterem. As duas linhas diagonais a quarenta e cinco graus são os caminhos que a luz percorre. Tudo dentro da cunha de cima é um lugar aonde você poderia chegar a partir da origem movendo-se mais devagar que a luz. Tudo dentro da cunha de baixo é um lugar de onde você poderia ter vindo movendo-se mais devagar que a luz. Tudo nas cunhas laterais, esquerda e direita, é um lugar que você não alcança a partir da origem sem exceder a velocidade da luz. O sinal de menos na métrica é o que talha o diagrama nessas cunhas. E ele nos dá um vocabulário para os três tipos de separação entre dois eventos. Se dois eventos têm ds^2 < 0 — intervalo ao quadrado negativo — eles são separados por um intervalo do tipo tempo. A diferença de tempo entre eles domina a diferença de espaço. Um sinal mais lento que a luz pode conectá-los. O cronômetro do observador da plataforma batendo uma vez e o mesmo cronômetro batendo duas vezes são eventos separados por um intervalo do tipo tempo: mesmo lugar no espaço, tempo diferente, e ds^2 = -c^2 dt^2, que é negativo. Se dois eventos têm ds^2 > 0 — intervalo ao quadrado positivo — eles são separados por um intervalo do tipo espaço. A diferença de espaço domina a diferença de tempo. Nenhum sinal viajando na velocidade da luz ou abaixo dela pode conectá-los. Dois eventos simultâneos em pontas opostas de uma sala comprida são separados por um intervalo do tipo espaço. Se dois eventos têm ds^2 = 0 — intervalo ao quadrado exatamente zero — eles são separados por um intervalo do tipo luz, ou nulo. Um raio de luz pode conectá-los, e nada mais lento que a luz consegue. O flash disparando e o fóton desse flash chegando ao seu olho são eventos separados por um intervalo do tipo luz. Segunda pergunta — o que significa dois observadores concordarem sobre ds^2 quando discordam sobre dt e dx. É aqui que a transformação de Lorentz mostra seu valor. Pegue dois eventos quaisquer. Calcule ds^2 no referencial da plataforma, usando o relógio e a régua do observador da plataforma. Você obtém um número. Depois transforme as coordenadas de tempo e espaço para o referencial do trem usando a transformação de Lorentz, e calcule ds^2 no referencial do trem. Você obtém o mesmo número. A demonstração são duas linhas de álgebra; ela sai da transformação de Lorentz porque a transformação de Lorentz foi projetada para deixar essa combinação invariante. Observadores diferentes medem dt's diferentes e dx's diferentes. Eles anotam o mesmo ds^2. Esse é o sentido geométrico da relatividade especial. O observador da plataforma e o do trem são dois sistemas de coordenadas diferentes sobre um único espaço-tempo de quatro dimensões. A transformação de Lorentz é a regra de mudança de coordenadas entre eles. E a métrica de Minkowski é a estrutura no espaço-tempo que sobrevive à mudança. Terceira pergunta — e quanto ao tempo próprio, a coisa que um relógio de fato marca. Para um par de eventos separados por intervalo do tipo tempo — digamos, duas batidas de um cronômetro carregado por um observador em movimento — há um referencial que é especial: aquele em que o cronômetro está em repouso. Nesse referencial, a diferença espacial entre as duas batidas é zero. A métrica se reduz a ds^2 = -c^2 dt^2, onde dt é o tempo que o próprio cronômetro registra entre as duas batidas. Os físicos chamam isso de dtau, o tempo próprio — o tempo lido por um relógio que está presente nos dois eventos. Então, para intervalos do tipo tempo, ds^2 = -c^2 dtau^2. O intervalo ao quadrado e o tempo próprio ao quadrado diferem por um fator de menos c^2. Tempo próprio é a noção natural, para a geometria, de "quanto tempo passou para a coisa que estava de fato ali". Todo observador, qualquer que seja seu movimento, vai calcular o mesmo tempo próprio para o mesmo relógio. Essa é a concordância mais profunda por baixo da discordância na plataforma do trem. O observador da plataforma e o do trem discordam sobre qual relógio bateu quando. Eles concordam sobre o que o próprio relógio em movimento marcou entre duas de suas batidas. Todo o edifício da relatividade especial se apoia nessa única invariância. Três perguntas depois, já temos a geometria. O passo seguinte é trazer um físico que passou a carreira pensando no que essa geometria te dá, matemática e fisicamente. A voz que quero trazer aqui pertence a um físico cujo livro-texto é a razão de a maioria dos relativistas em atividade saber o que sabe. Kip Thorne. Richard P. Professor Emérito Feynman de Física Teórica no Caltech. Bacharelado no Caltech em 1962, PhD em Princeton em 1965 sob John Wheeler. Prêmio Nobel de Física de 2017, dividido com Rainer Weiss e Barry Barish, por contribuições decisivas ao detector LIGO e à observação de ondas gravitacionais. Coautor, com Charles Misner e o mesmo John Wheeler, do livro-texto Gravitation, publicado pela W. H. Freeman em 1973 — um livro que os físicos chamam de "MTW", pelas iniciais dos autores, e que continua, cinquenta e três anos depois, sendo o texto canônico de pós-graduação em relatividade geral. Thorne passou seis décadas pensando no que a linguagem da métrica faz pela física. Em Black Holes and Time Warps, seu livro de 1994 publicado pela W. W. Norton, ele expõe o quadro geométrico da relatividade para o público geral, numa linguagem que foi tomada emprestada por todo tratamento de divulgação desde então. O que segue é uma paráfrase, na voz de sua posição publicada — não uma citação literal, mas uma síntese do enquadramento que ele usou em MTW, no material da palestra do Nobel e em Black Holes and Time Warps — do que a métrica de Minkowski está fazendo. O ponto que quero que você leve da métrica de Minkowski é este. A relatividade especial não diz que observadores em movimento medem as mesmas coisas. Ela diz o oposto. Dois observadores em movimento relativo vão medir tempos decorridos diferentes entre o mesmo par de eventos; vão medir distâncias espaciais diferentes; vão medir sequências diferentes de qual evento aconteceu primeiro. Eles vão discordar essencialmente de toda afirmação dependente de coordenadas que você lhes perguntar. Do que eles não vão discordar é da geometria. Existe um único espaço-tempo de quatro dimensões. Cada observador tem seu próprio jeito de fatiá-lo — três dimensões que ele chama de espaço, uma que ele chama de tempo — e os fatiamentos deles estão inclinados um em relação ao outro. O fatiamento depende do observador. A coisa quadridimensional que está sendo fatiada, não. A métrica é o que te diz o que depende do observador e o que não depende. Um passo de coordenada como dt ou dx depende do observador; depende do fatiamento. A combinação -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — o intervalo ao quadrado — é independente do observador. É o mesmo número para todo observador inercial. Esse é o conteúdo da invariância de Lorentz. Pense no que isso faz com sua noção de realidade física. Antes de 1905, os físicos tratavam tempo e espaço como coisas separadas. Cada um tinha sua própria métrica. O relógio que batia na plataforma era o mesmo relógio que batia no trem, só lido por duas pessoas diferentes. A relatividade da simultaneidade mudou isso. O relógio do trem não é o relógio da plataforma. São dois relógios, dois fatiamentos diferentes do mesmo objeto subjacente. Hermann Minkowski, em 1908 em Colônia, tirou a conclusão certa. Ele disse: de agora em diante, o espaço por si só, e o tempo por si só, estão condenados a se desvanecer em meras sombras. Só uma união dos dois preservará uma realidade independente. Essa é a famosa frase de abertura de Minkowski, e não é retórica. É a afirmação geométrica de que o que é real, na relatividade especial, é a coisa quadridimensional — e o que cada observador mede é uma projeção dela. A razão de isso importar para tudo o que vem depois é que, uma vez que você tem uma métrica num objeto de quatro dimensões, toda a maquinaria geométrica que você desenvolveu para superfícies bidimensionais na Aula Um — o que é uma reta, o que é uma distância, como transportar paralelamente um vetor — vale igual. A matemática não se importa que uma direção tenha sinal de menos. A matemática se importa que você tenha uma métrica. Você tem uma métrica. Então você pode fazer geometria no espaço-tempo exatamente como fez geometria numa esfera. Quando Einstein passou da relatividade especial em 1905 para a relatividade geral em 1915, o movimento que ele fez foi deixar a métrica variar de ponto a ponto. A métrica plana de Minkowski — a que você acabou de aprender — é o espaço-tempo da relatividade especial. A g_{munu} geral — a que varia, a que responde a massa e energia — é o espaço-tempo da relatividade geral. A métrica de Minkowski é o que você recupera, localmente, em qualquer pedaço pequeno o bastante de qualquer espaço-tempo, porque toda variedade lisa parece plana se você der zoom suficiente. Essa é a arquitetura geométrica que o livro-texto de Misner, Thorne e Wheeler apresenta. O espaço-tempo é a arena. A métrica é a estrutura que faz dele uma geometria, e não um conjunto de pontos. A invariância de Lorentz é a simetria local de cada pedaço. E todo observador que carrega um relógio e uma régua está medindo projeções — projeções de um objeto quadridimensional sobre o seu fatiamento particular dele. O objeto quadridimensional é o que você deve considerar fisicamente real. A afirmação geométrica que Thorne acabou de percorrer é o que torna possível a contabilidade da próxima seção. Se os observadores discordam sobre coordenadas mas concordam sobre geometria, então o jeito de escrever uma grandeza física — uma velocidade, um momento, uma energia — é numa forma que viva na geometria, e não nas coordenadas de um observador em particular. Essa forma é o quadrivetor. Aqui está a contabilidade. Na física tridimensional comum, um vetor é uma grandeza com três componentes — três números, um para cada direção do espaço. A velocidade de uma bola de beisebol lançada tem três componentes: quão rápido ela vai para o leste, quão rápido para o norte, quão rápido para cima. O momento da bola é massa vezes velocidade, também três componentes. Quando você troca de um observador para outro — digamos, você gira seus eixos de coordenada — as três componentes do vetor se misturam de um jeito calculável, mas o vetor em si, a seta por baixo, não muda. A relatividade especial pede que você faça o mesmo truque com quatro componentes em vez de três. Um quadrivetor tem uma componente de tempo mais três de espaço, e quando você troca de um observador inercial para outro por uma transformação de Lorentz, as quatro componentes se misturam — mas o quadrivetor em si, a seta por baixo no espaço-tempo, não muda. O quadrivetor mais simples é o que registra onde e quando um evento acontece. Chame-o de quadrivetor posição. No referencial do observador da plataforma, suas quatro componentes são (ct, x, y, z). O fator c na frente de t está ali para que as quatro componentes tenham as mesmas unidades. Os físicos costumam escrever isso com um índice grego, então o quadrivetor posição vira x^mu, com mu indo de zero a três: x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z. O índice grego é o mesmo tipo de rótulo contábil que encontramos na Aula Um — ele rotula qual componente, não que número. Agora faça o mesmo truque com o movimento. Na física comum, velocidade é a taxa de variação da posição — derivada de (x, y, z) em relação ao tempo. Na relatividade especial, há a pergunta de qual tempo: o t do observador da plataforma, o t do observador do trem, ou o tempo próprio tau que a própria coisa em movimento carrega? A resposta certa é o tempo próprio. Se você toma a derivada do quadrivetor posição em relação ao tempo próprio do objeto em movimento — o tempo que o relógio dele marca — você obtém uma grandeza sobre a qual todos os observadores inerciais vão concordar, porque todos concordam sobre aquele relógio. Essa grandeza é a quadrivelocidade, u^mu: $u^mu = frac{dx^mu}{dtau}$ A quadrivelocidade é o que você obtém quando pergunta: "como a posição da coisa em movimento no espaço-tempo está mudando, por unidade da leitura do relógio dela?" Sua componente zero, u^0, é c cdot dt/dtau = c cdot gamma — fator gamma vezes a velocidade da luz. Suas componentes espaciais são gamma vezes a tri-velocidade comum. Então, em velocidades do dia a dia, em que gamma é essencialmente um, a quadrivelocidade é basicamente (c, vx, vy, v_z) — sua velocidade de sempre, com a velocidade da luz grudada como componente zero. Conforme a velocidade se aproxima de c, gamma explode, e a quadrivelocidade fica mais interessante. Em seguida: momento. Na física comum, momento é massa vezes velocidade. Na relatividade especial, quadrimomento é massa vezes quadrivelocidade: $p^mu = m u^mu$ onde m é a massa de repouso — a massa que um observador mede quando a coisa está em repouso no referencial dele. O quadrimomento tem quatro componentes. A componente zero é m c gamma. As três componentes espaciais são gamma m vezes a tri-velocidade comum. Se você faz uma expansão de Taylor de gamma para v/c pequeno, a componente zero fica aproximadamente mc + frac{1}{2} m v^2 / c + ldots, e você reconhece o segundo termo: energia cinética, dividida por c. Então a componente zero do quadrimomento, multiplicada por c, é a energia total do objeto em movimento. Os físicos escrevem isso como $p^0 = E/c$ e o quadrimomento, em sua forma padrão, é $p^mu = (E/c, px, py, p_z)$ Esse arranjo é o que faz a relatividade especial dizer algo marcante. Energia e momento não são grandezas separadas. São quatro componentes de um único quadrivetor. Um observador em repouso em relação a uma partícula mede uma energia e momento zero. Um observador em movimento em relação à partícula mede uma energia diferente e um momento não nulo. Os dois observadores estão medindo divisões diferentes do mesmo quadrimomento subjacente em sua peça temporal e suas peças espaciais. O quadrimomento em si é o mesmo. Agora o desfecho. Uma vez que você tem um quadrivetor e uma métrica, você pode calcular um comprimento ao quadrado do quadrivetor — usando a mesma métrica que te deu o intervalo ao quadrado entre eventos. Para o quadrimomento, esse comprimento ao quadrado, na convenção desta aula, dá: $p^mu p_mu = -m^2 c^2$ O índice embaixo aqui — pmu com o índice abaixado — é a versão contraída pela métrica de p^mu, que no espaço plano de Minkowski é pmu = (-E/c, px, py, pz) — a componente temporal troca de sinal, as espaciais não. Quando você calcula p^mu pmu, você soma sobre mu e usa a convenção de soma de Einstein da Aula Um. Três linhas de álgebra depois você obtém -E^2/c^2 + px^2 + py^2 + p_z^2 = -m^2 c^2. Rearranje, multiplique tudo por -c^2, e você tem a equação que os estudantes de física aprendem sob um apelido um pouco diferente: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ Essa é a relação relativística entre energia e momento. Para uma partícula em repouso — sem momento, p = 0 — ela desaba para E = mc^2, a equação mais famosa da física. Para uma partícula sem massa, como o fóton — sem massa de repouso, m = 0 — ela vira E = pc, a relação energia-momento da luz. Para tudo no meio do caminho, essa é a equação que amarra energia, momento e massa de repouso num único invariante. E o conteúdo geométrico é a parte para guardar. O lado direito, -m^2 c^2, é independente do observador — massa de repouso ao quadrado é o mesmo número em todo referencial. O lado esquerdo, p^mu p_mu, é construído a partir do quadrimomento e da métrica, ambos os quais se transformam sob transformações de Lorentz de maneiras que se cancelam exatamente. Então a equação é verdadeira em todo referencial, mesmo que E e p, separadamente, dependam do referencial em que você está. É isso que a "contabilidade de quadrivetores" te dá. Você escreve uma grandeza física uma vez, na linguagem dos quadrivetores. Cada observador pode então ler o seu próprio fatiamento dela. Os fatiamentos discordam. O quadrivetor não. Há mais um objeto para pôr na mesa, porque tudo no Bloco B e no Bloco D desta série vai voltar a ele. O quadrimomento, p^mu, é o que você escreve para uma única partícula se movendo pelo espaço-tempo. Mas a matéria em geral não é uma partícula. A matéria é campos, ou fluidos, ou coleções — energia e momento espalhados por um volume. Para esse caso, você precisa de algo um degrau acima. Não um quadrivetor, mas uma tabela quatro por quatro de quadrivetores. Um objeto com dois índices em vez de um. Os físicos chamam isso de tensor energia-momento, e escrevem T^{munu} — ou, com os dois índices abaixados, T_{munu}. Cada um dos dois índices vai de zero a três, então a tabela tem dezesseis entradas. Por simetria, só dez delas são independentes. Cada entrada tem um significado físico. T^{00} é a densidade de energia — quanta energia está num pequeno volume em dado ponto. T^{0i}, com i percorrendo as três direções espaciais, é a densidade de momento — quanto momento está fluindo em cada direção espacial. T^{ii}, as componentes espaciais diagonais, são pressão — força por área empurrando para fora em cada direção. T^{ij} fora da diagonal, com i ne j, são tensões de cisalhamento — as mesmas grandezas em que um engenheiro estrutural pensa quando pergunta se uma viga vai torcer. O que é o tensor energia-momento, em uma frase: é a contabilidade completa de como energia e momento estão distribuídos e fluindo por uma região do espaço-tempo. Todo tipo de matéria física — poeira, gás, campos eletromagnéticos, o vácuo quântico, energia escura, qualquer coisa para a qual você consiga escrever uma lagrangiana — tem um tensor energia-momento. O que ele faz, nesta aula, é preparar a próxima. Porque aqui está a ponte. Em 1915, Einstein escreveu uma equação de campo que diz, grosso modo, $G{munu} = frac{8pi G}{c^4} T{munu}$ O lado esquerdo, G{munu}, é o tensor de Einstein — uma combinação específica da métrica g{munu} e de suas derivadas, que vamos construir na Aula 3. Ele codifica a curvatura local do espaço-tempo. O lado direito é o tensor energia-momento, vezes algumas constantes. A equação, em linguagem simples, diz: a curvatura do espaço-tempo, em cada ponto, é determinada pela energia e pelo momento presentes naquele ponto. Geometria à esquerda. Matéria à direita. A equação é o elo. A métrica é a geometria. O tensor energia-momento é aquilo a que a geometria responde. A Aula 3 é a aula sobre como a resposta funciona. A Aula 6 é a aula sobre quais tensores energia-momento o universo vai e não vai deixar você ter. A Aula 8 é a aula sobre uma região do vácuo quântico onde as entradas T^{ii} foram medidas como negativas — o efeito Casimir, a janela experimental mais limpa para saber se o lado da fonte da equação de Einstein pode ser objeto de engenharia. A Aula 10 é a aula sobre se alguém, como afirmação publicada, manipulou a geometria local fazendo engenharia de T_{munu}. Segure o quadro. O quadrivetor p^mu é a contabilidade de uma partícula. O tensor T{munu} é a contabilidade de uma distribuição inteira de energia e momento. A métrica de Minkowski é a geometria do espaço-tempo plano e vazio. A g{munu} geral é a geometria depois que T_{munu} deu sua palavra. Essa é a arquitetura que esta aula construiu. Antes de fecharmos, há a outra voz na sala. A voz cética desta aula pertence a Sean Carroll. PhD em física teórica, Harvard, 1993. Atualmente Homewood Professor de Filosofia Natural na Johns Hopkins, nomeado em 2022. Autor de Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, publicado pela Addison-Wesley em 2004 — o livro-texto que muitos programas de pós em física usam como texto de RG do primeiro ano, ao lado do MTW. Apresentador do podcast Mindscape desde 2018. O trabalho de Carroll nesta aula é traçar uma linha que a relatividade especial, sozinha, não traça. A linha entre o que a geometria permite como objeto matemático e o que o universo permite como objeto físico. É a mesma linha que Hossenfelder traçou na Aula Um, em outro registro. Vamos ouvir essa mesma disciplina aplicada a um tipo específico de exagero — o salto de "o quadrimomento é um quadrivetor" para "portanto dá para produzir quadrimomentos arbitrários por engenharia". A posição publicada de Carroll sobre o salto análogo na propulsão sem propelente está registrada, em seu post de 2015 no Preposterous Universe, "Warp Drives and Scientific Reasoning". O que segue é o agrupamento literal de frases daquele post, reproduzido palavra por palavra da fonte publicada. Se você quer ir para frente, você tem que empurrar alguma coisa ou impelir alguma coisa para trás. … O que eu quero dessa discussão são cientistas altamente respeitados, trabalhando sob condições primorosamente controladas, produzindo publicações arbitradas. Leia isso duas vezes, devagar. Se você quer ir para frente, você tem que empurrar alguma coisa ou impelir alguma coisa para trás. Essa frase é a terceira lei de Newton num só fôlego. Todo movimento do centro de massa de um corpo exige que o centro de massa de outra coisa se mova no sentido oposto. Conservação do momento. A versão invariante por Lorentz dessa lei de conservação é exatamente que o quadrimomento de um sistema fechado se conserva como quadrivetor — o p^mu total que entra é o p^mu total que sai. Do que Carroll está discordando, no contexto do motor de dobra e da propulsão sem propelente — e o que se transfere para toda afirmação do Bloco D que esta série vai abordar — é do salto de "a matemática admite quadrivetores que fazem coisas interessantes" para "portanto podemos construir quadrivetores que fazem coisas interessantes, sem pagar o custo da conservação do momento". A contabilidade de quadrivetores é uma linguagem. Ela não te dá licença para escrever qualquer quadrivetor que você queira e supor que o universo vai fornecê-lo. O lado direito das equações de campo de Einstein — o lado do T_{munu} — tem que vir de algum lugar. Se você quer uma geometria específica, precisa de uma distribuição específica de energia e momento. E se você quer que o momento vá para frente de um lado sem que nada vá para trás do outro, você está pedindo ao universo que viole a própria lei de conservação que faz o formalismo de quadrivetores significar alguma coisa. Essa é a disciplina. A matemática admite quadrivetores com quaisquer componentes que você consiga escrever no papel. A física exige que esses quadrivetores venham de fontes reais, conservadas de forma consistente, em configurações que o universo já foi observado entregar. O segundo critério é muito, muito mais estrito que o primeiro. A segunda frase de Carroll — o que eu quero dessa discussão são cientistas altamente respeitados, trabalhando sob condições primorosamente controladas, produzindo publicações arbitradas — é o teste editorial. É o teste contra o qual esta série de aulas vai comparar toda afirmação estruturante. O andaime matemático que construímos hoje é impecável: a relatividade especial é a teoria mais testada da história da física, e a contabilidade de quadrivetores é como todo físico de partículas em atividade escreve um cálculo. Mas "o formalismo é impecável" não te compra "qualquer proposta de engenharia específica é legítima". O formalismo é a linguagem. As propostas legítimas são as que pagam os custos de conservação e das condições de energia numa moeda que o universo aceita. Segure essa linha. A relatividade especial te diz qual é a geometria do espaço-tempo plano. O tensor energia-momento te diz o que está alimentando a geometria. A terceira lei de Newton, em sua forma invariante por Lorentz, te diz que a fonte tem que vir de algum lugar. Nada disso é derrubado pela próxima aula, quando deixarmos a métrica se curvar. A disciplina permanece. O que esta aula te comprou foi a linguagem. Quatro peças de linguagem, cada uma das quais vai trabalhar numa aula posterior específica. O elemento de linha de Minkowski — ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — e os três tipos de intervalo que ele admite. Do tipo espaço. Do tipo tempo. Do tipo luz. Essa tricotomia vai fazer trabalho pesado na Aula 5, quando encontrarmos o buraco de minhoca atravessável de Morris-Thorne — Michael Morris e Kip Thorne, American Journal of Physics volume 56, página 395, 1988. A condição de alargamento que Morris e Thorne escreveram para a garganta do buraco de minhoca é, no fundo, uma afirmação sobre quais direções pela garganta são do tipo espaço e quais são do tipo tempo, e sobre qual tensor energia-momento você precisa na garganta para impedir que as direções do tipo espaço colapsem a geometria. Você não consegue ler essa condição sem o vocabulário que acabou de aprender. A quadrivelocidade e o quadrimomento — u^mu e p^mu = (E/c, px, py, p_z). Essa contabilidade vai voltar na Aula 7, quando encontrarmos o vácuo quântico e a expansão em modos de um campo quântico. Cada modo dessa expansão carrega um quadrimomento. O vácuo é o estado em que cada modo está em sua configuração de energia mais baixa, e a energia de ponto zero de cada modo contribui para o T^{00} total do vácuo. O efeito Casimir, que encontramos na Aula 8, é o que acontece quando você remodela as fronteiras que selecionam quais modos são permitidos — e o T^{ii} entre duas placas paralelas é negativo. O tensor energia-momento que acabamos de definir é o objeto que diz isso. O próprio tensor energia-momento T{munu}. Esse tensor é a ponte desta aula para a Aula 3, quando as equações de campo de Einstein aparecem e o lado esquerdo, G{munu}, é construído a partir da curvatura de g{munu}. T{munu} é também o objeto central da Aula 6, sobre condições de energia — as condições de energia fraca, nula, forte e dominante são restrições sobre T{munu}, afirmações sobre quais distribuições de energia e momento o universo se dispõe a entregar. E T{munu} é o objeto central da Aula 10, sobre a série de patentes de Pais — a afirmação de engenharia dessas patentes, lida como física, é que um tipo específico de condição de contorno eletromagnética pode levar T_{munu} a um regime que alimenta um tipo específico de geometria. As patentes e o artigo que as acompanha na IEEE Transactions on Plasma Science existem no registro público. Se o mecanismo proposto faz o que as patentes afirmam é a questão que a Aula 10 vai abordar, com a disciplina que Carroll acabou de articular. Invariância de Lorentz — a afirmação de que a métrica de Minkowski é a mesma em todo referencial inercial. Essa é a simetria local de cada pedaço de cada espaço-tempo desta série. Na relatividade geral, a métrica varia de ponto a ponto, mas numa vizinhança pequena o bastante de qualquer ponto ela parece Minkowski. O princípio da equivalência é a afirmação formal desse fato. A Aula 3 é onde ele mostra seu valor. A terceira lei de Newton, em sua forma invariante por Lorentz — conservação do quadrimomento para um sistema fechado. Essa é a lei de conservação da qual você não escapa indo para o relativístico. A frase de Carroll sobre empurrar alguma coisa atravessa todas as aulas seguintes desta série. Sempre que você vir uma afirmação de propulsão ou de manipulação de geometria, a pergunta a fazer é: para onde está indo o quadrimomento? Contra qual quadrivetor se está empurrando para produzir o quadrivetor que é empurrado para frente? Se a afirmação não responde a essa pergunta, ela ainda não conquistou o formalismo que está invocando. Quatro peças. A métrica. A contabilidade. O tensor que alimenta a métrica. A lei de conservação que disciplina o tensor. A próxima aula entrega essas quatro peças à relatividade geral e deixa a métrica se curvar. Volte para a plataforma. O mesmo ouvinte. As mesmas duas figuras. Uma parada, uma que passou rolando no trem. O cronômetro do observador da plataforma marcou um número para o flash. O cronômetro do observador do trem marcou outro. Os dois estão corretos. A pergunta que você pode fazer agora é mais afiada do que a pergunta com que começou. Você pode perguntar sobre o que as medidas deles concordam. A resposta é o intervalo de espaço-tempo ao quadrado ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 entre o evento do flash e o próximo evento que eles escolherem. Você pode perguntar o que cada um deles está medindo, em termos da geometria subjacente. A resposta é a projeção de uma realidade quadridimensional sobre um fatiamento particular — o dele. Você pode perguntar que tipo de separação existe entre dois eventos quaisquer que lhes interessem. Do tipo espaço, do tipo tempo ou do tipo luz. Você pode perguntar que tipo de lei de conservação do momento a discordância deles ainda respeita. A versão invariante por Lorentz da terceira lei de Newton. Nada disso estava na discordância deles quando a aula começou. Tudo isso está na linguagem agora. A Aula 3 pega onde esta para. Relatividade geral. Símbolos de Christoffel, geodésicas, o tensor de Riemann, as equações de campo de Einstein. A métrica deixa de ser plana. A geometria começa a responder ao que há nela. O mesmo ouvinte. A mesma plataforma. Geometria nova.