Spacetime Metric — Season 1 — 02-special-relativity-and-four-vectors

Transcript (pl) — translated from the English narration; the video is narrated in English.

Dwie osoby.

Dwa stopery.

Dwie linijki.

Jedna z nich stoi na peronie.

Druga przejeżdża obok pociągiem.

Oboje obserwują to samo zdarzenie — gdzieś między nimi błyska lampa błyskowa — i oboje zapisują, co zmierzyli.

Jak długo trwał błysk.

Jak daleko się wydarzył.

Jak szybko poruszało się jego światło.

Kiedy potem porównują notatki, nie zgadzają się.

Ten na peronie zapisuje jeden czas trwania; ten w pociągu zapisuje inny czas trwania.

Ten na peronie zapisuje jedną odległość; ten w pociągu zapisuje inną odległość.

Obaj są uczciwi.

Ich stopery są skalibrowane.

Ich linijki są dokładne.

A oni się nie zgadzają.

Przez jakieś dwieście pięćdziesiąt lat fizyka traktowała tę niezgodę jako problem pomiarowy.

Ktoś musiał się mylić.

Zadaniem teoretyka było ustalić, który.

W 1905 roku dwudziestosześcioletni urzędnik patentowy w Bernie w Szwajcarii opublikował pracę, która mówiła coś innego.

Powiedział: żaden z nich się nie myli.

Obaj mierzą uczciwie.

Nie zgadzają się dlatego, że mierzą dwie różne rzeczy.

A pod tą niezgodą jest coś głębszego — coś, czego żaden z nich nie mierzył bezpośrednio — na co obaj, gdyby starannie zrobili rachunki, zgodziliby się dokładnie.

To jest Wykład Drugi.

Ta głębsza rzecz nazywa się interwałem czasoprzestrzennym.

Geometria, która sprawia, że się zgadza, nazywa się przestrzenią Minkowskiego.

A księgowość, która pozwala zapisać dowolną wielkość fizyczną tak, żeby przyjął ją i obserwator z peronu, i obserwator z pociągu — ta księgowość nazywa się czterowektorem.

Do końca wykładu będziesz umiał to wszystko przeczytać.

W ostatnim wykładzie zbudowaliśmy jeden obiekt.

Metrykę.

Regułę przeliczania nieskończenie małych kroków we współrzędnych na fizyczny kwadrat odległości.

Na płaskiej płaszczyźnie zapisaliśmy ją jako ds^2 = dx^2 + dy^2.

Na sferze zapisaliśmy ją jako ds^2 = dtheta^2 + sin^2theta dphi^2.

W pełnej ogólnej postaci zapisaliśmy ją jako ds^2 = g{munu} dx^mu dx^nu, gdzie g{munu} to tabela liczb zależąca od tego, gdzie jesteś.

Każdy przykład z Wykładu Pierwszego był metryką na przestrzeni.

Płaska kartka.

Powierzchnia sfery.

Skrawek falującej dwuwymiarowej powierzchni dryfującej w przestrzeni.

Możesz rozciągnąć każdy z tych przykładów na trzy wymiary przestrzenne bez kłopotu — księgowość tylko się wydłuży.

Ale wykład, którego teraz słuchasz, jest o kolejnym rozciągnięciu.

Nie z dwóch wymiarów przestrzennych na trzy.

Z przestrzeni na czasoprzestrzeń.

Od metryki, na którą zgodziliby się dwaj obserwatorzy stojący nieruchomo w tym samym pokoju, do metryki, na którą zgodzą się też dwaj obserwatorzy poruszający się z różnymi prędkościami.

To drugie rozciągnięcie jest trudniejsze, niż brzmi.

Jest trudniejsze, bo na pierwszy rzut oka czas i przestrzeń nie wyglądają na rzeczy, które dałoby się wstawić do tej samej metryki.

Czas ma jednostki sekund.

Przestrzeń ma jednostki metrów.

Stoper to nie linijka.

Wydają się różnymi rodzajami wielkości.

I przed 1905 rokiem traktowano je jako różne rodzaje wielkości.

Skokiem 1905 roku było wstawienie ich do tego samego diagramu.

Upieranie się, że istnieje jeden obiekt, czterowymiarowy, który zawiera oba, i że reguła mierzenia odległości w tym obiekcie to jest to, na co fizyczni obserwatorzy naprawdę się zgadzają.

Niezgoda na peronie bierze się stąd, że obserwator z peronu i obserwator z pociągu rzutują ten czterowymiarowy obiekt na własny prywatny podział trzy plus jeden — trzy przestrzenne, jeden czasowy — a ich podziały są względem siebie przechylone.

Czterowymiarowy obiekt pod spodem jest ten sam.

Zmienia się podział.

Ten wykład buduje ten czterowymiarowy obiekt.

Potem buduje księgowość, w której zapisujesz wielkości fizyczne tak, żeby mieszkały w tym czterowymiarowym obiekcie, a nie w podziale konkretnego obserwatora.

Potem podaje ci uchwyt do następnego wykładu: tensor energii-pędu.

Ten obiekt usiądzie po prawej stronie równań pola Einsteina w Wykładzie 3 i to jest ta rzecz, na którą odpowiada geometria.

Ale zanim to wszystko — musimy pogadać o tym, dlaczego codzienna reguła dodawania prędkości, ta, której używasz od podstawówki, musi się załamać.

Oto reguła, z którą dorastałeś.

Jedziesz pociągiem, czterdzieści mil na godzinę.

Idziesz do przodu, w środku pociągu, trzy mile na godzinę.

Jak szybko poruszasz się względem peronu?

Czterdzieści trzy.

Dodajesz prędkości.

Ta sama myśl: piłka baseballowa rzucona do przodu z prędkością dziewięćdziesięciu mil na godzinę z samochodu jadącego do przodu trzydzieści — piłka robi sto dwadzieścia względem drogi.

Ta reguła ma nazwę.

To galileuszowskie dodawanie prędkości, od Galileusza, który wyartykułował leżącą u jego podstaw zasadę względności w 1632 roku w Dialogu o dwu najważniejszych układach świata: prawa mechaniki są takie same w każdym układzie inercjalnym, więc marynarz pod pokładem gładko płynącego statku nie potrafi żadnym eksperymentem mechanicznym stwierdzić, czy statek się porusza, czy stoi.

Jeśli przyjmiesz tę zasadę i przyjmiesz codzienne pojęcie uniwersalnego czasu — tego samego wskazania zegara dla wszystkich, niezależnie od tego, jak się poruszają — to dodawanie prędkości z tego wynika.

Twoja prędkość względem peronu to twoja prędkość względem pociągu plus prędkość pociągu względem peronu.

Gotowe.

Reguła działa.

Działa dla pociągów.

Działa dla rzucanych piłek baseballowych.

Działa dla samochodów, rowerów i tempa marszu.

Działa dla wszystkiego w ludzkim doświadczeniu, aż do prędkości myśliwca, aż do prędkości pocisku karabinowego, aż do prędkości pocisku hipersonicznego.

To empirycznie znakomita reguła w całym zakresie prędkości, jakie ktokolwiek starannie zmierzył, przez dwieście pięćdziesiąt lat po Galileuszu.

A potem, w drugiej połowie dziewiętnastego wieku, ktoś zaczął mierzyć światło.

Kłopot był taki.

Do lat sześćdziesiątych dziewiętnastego wieku James Clerk Maxwell spisał zestaw czterech równań — dziś nazywamy je równaniami Maxwella — które opisują, jak rozchodzą się pola elektryczne i magnetyczne.

Z tych równań wypada konkretna liczba.

Prędkość.

Prędkość, z jaką fala elektromagnetyczna biegnie przez pustą przestrzeń.

Ta liczba to około trzysta tysięcy kilometrów na sekundę.

Nazywamy ją c.

A równania Maxwella nie mówią „c względem kogo”.

Ta liczba po prostu tam siedzi, wpieczona w strukturę elektromagnetyzmu.

To problem dla dodawania galileuszowskiego.

Bo jeśli światło biegnie z prędkością c, a ty poruszasz się w stronę latarki z prędkością pół c, to według codziennej reguły światło powinno dotrzeć do ciebie z prędkością półtora c.

A jeśli oddalasz się od tej samej latarki z prędkością pół c, światło powinno dotrzeć z prędkością pół c.

To dwie różne odpowiedzi, zależnie od twojego ruchu.

Ale równania Maxwella dają jedną odpowiedź.

Tę samą.

Więc albo równania Maxwella są prawdziwe tylko w jednym wyróżnionym układzie — układzie jakiegoś hipotetycznego ośrodka, który fizycy pod koniec dziewiętnastego wieku nazywali eterem świetlonośnym — albo dodawanie galileuszowskie myli się co do światła.

W 1887 roku, w piwnicy na kampusie tego, co wtedy nazywało się Case School of Applied Science w Cleveland w Ohio, dwaj eksperymentatorzy — Albert Michelson i Edward Morley — zbudowali aparaturę na tyle precyzyjną, żeby rozstrzygnąć to pytanie.

Rozdzielili wiązkę światła na dwie prostopadłe drogi, odbili je od luster, złożyli z powrotem i szukali obrazu interferencyjnego.

Ponieważ Ziemia okrąża Słońce z prędkością około trzydziestu kilometrów na sekundę, aparatura porusza się przez rzekomy eter w różnych kierunkach w różnych porach roku.

Gdyby eter istniał i dodawanie galileuszowskie było słuszne, prędkość światła wzdłuż kierunku ruchu aparatury powinna różnić się od prędkości światła prostopadle do niego, a obraz interferencyjny powinien przesuwać się w ciągu roku.

Obraz się nie przesunął.

Z dokładnością aparatury — a była bardzo dobra — prędkość światła wychodziła ta sama w każdym kierunku, o każdej porze roku, niezależnie od tego, jak poruszała się Ziemia.

Eksperyment udoskonalano i powtarzano przez dekady.

Wynik zerowy się utrzymał.

Masz więc teraz wybór, jako fizyk w 1900 roku.

Możesz zatrzymać galileuszowskie dodawanie prędkości i uniwersalny czas, i próbować łatać równania Maxwella — czego próbowało kilku bardzo dobrych fizyków, w tym Lorentz i Poincaré.

Albo możesz zatrzymać równania Maxwella dokładnie w postaci, w jakiej je Maxwell zapisał, przyjąć jako daną empiryczną, że prędkość światła jest ta sama w każdym układzie inercjalnym, i ustalić, co musi ustąpić gdzie indziej.

W 1905 roku Einstein wybrał drugą opcję, a tym, co musiało ustąpić, było założenie uniwersalnego czasu.

Dwaj obserwatorzy w ruchu względem siebie nie dzielą zegara.

Wskazanie zegara i wskazanie linijki mieszają się ze sobą w konkretny, obliczalny sposób, kiedy przechodzisz z układu jednego obserwatora do układu drugiego.

Reguła tego mieszania nazywa się transformacją Lorentza — Hendrik Lorentz, holenderski fizyk, spisał poprawne równania transformacji w 1904 roku, ale interpretował je jako osobliwość tego, jak linijki i zegary oddziałują z eterem; praca Einsteina z 1905 roku przyjęła je jako stwierdzenie o samych przestrzeni i czasie.

Transformacja Lorentza, w najprostszej postaci — jeden kierunek ruchu względnego, nazwijmy go kierunkiem x, z prędkością względną v — brzmi: $t' = gamma left(t - frac{vx}{c^2}right), quad x' = gamma (x - vt), quad y' = y, quad z' = z$ gdzie gamma = 1/sqrt{1 - v^2/c^2} to czynnik Lorentza.

Dla codziennych prędkości — v dużo mniejszych od c — gamma jest w zasadzie jedynką, człon vx/c^2 w równaniu czasu jest w zasadzie zerem, a równania zapadają się z powrotem do „t' = t, x' = x - vt” — reguły Galileusza.

Odejście od Galileusza kryje się w poprawkach, które skalują się jak v^2/c^2.

Przy codziennych prędkościach te poprawki są mniejsze niż części na bilion.

Przy jednej dziesiątej prędkości światła to procent.

Przy dziewięciu dziesiątych prędkości światła gamma wynosi około 2,3, a poprawki to już cały obraz.

To jest tło empiryczne i historyczne.

Reszta tego wykładu jest o tym, co te transformacje Lorentza robią geometrycznie — a odpowiedź, zawdzięczana Hermannowi Minkowskiemu z 1908 roku, brzmi: są obrotami w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a na tej czasoprzestrzeni jest metryka, którą zostawiają w spokoju.

Ta metryka to jest to, na co obserwator z peronu i obserwator z pociągu potajemnie się zgadzają, nawet gdy nie zgadzają się co do wszystkiego innego.

Oto centralny obiekt.

Metryka na płaskiej czasoprzestrzeni — czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności, jeszcze bez grawitacji — zapisana w tej samej notacji elementu liniowego, której użył Wykład Pierwszy.

Przygotuj się, ale równanie jest krótkie. $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ To równanie to cała treść szczególnej teorii względności.

Wszystko inne w tym wykładzie to księgowość, która czyni je użytecznym.

Nazwijmy więc każdy kawałek.

Lewa strona, ds^2 — ten sam mały kwadrat interwału, który poznaliśmy w Wykładzie Pierwszym.

Uogólnienie z greckimi literami się utrzymuje.

To reguła przeliczania czterech nieskończenie małych kroków we współrzędnych — trzech w przestrzeni, jednego w czasie — na jedną wielkość fizyczną, na którą obserwatorzy się zgodzą.

Cztery człony po prawej to cztery kroki we współrzędnych.

Jeden krok czasowy, dt, pomnożony przez -c^2.

Trzy kroki przestrzenne, dx, dy, dz, każdy po prostu podniesiony do kwadratu ze znakiem plus.

To cała metryka.

W notacji tabelarycznej g_{munu} z Wykładu Pierwszego metryka Minkowskiego to tabela cztery na cztery, diagonalna — -c^2 w miejscu czas-czas, +1 w każdym z trzech miejsc przestrzeń-przestrzeń, zera wszędzie poza przekątną.

Trzy pytania warte zadania o tej metryce.

Te same trzy pytania, które zadaliśmy regule Pitagorasa na płaskiej płaszczyźnie, bo wykonujemy ten sam rodzaj pracy.

Pierwsze — dlaczego minus przed członem czasowym.

To najważniejszy pojedynczy znak w fizyce dwudziestego wieku.

Ten minus jest całym powodem, dla którego czas nie jest po prostu czwartym kierunkiem przestrzeni.

Gdyby człon czasowy szedł z plusem — gdyby metryka brzmiała ds^2 = c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, wszystkie cztery człony dodatnie — to czasoprzestrzeń byłaby czterowymiarową przestrzenią euklidesową.

Nie byłoby stożka świetlnego.

Nie byłoby przeszłości i przyszłości.

Nie byłoby pojęcia przyczyny i skutku wbudowanego w geometrię.

Minus jest tym, co czyni czas różnym od przestrzeni, a jednocześnie pozwala czasowi i przestrzeni siedzieć w tym samym równaniu.

Żeby zobaczyć, co ten minus naprawdę robi, spójrz na najprostszy przypadek.

Udawaj, że masz jeden kierunek przestrzenny i jeden czasowy, więc metryka upraszcza się do ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2.

A teraz zapytaj: co to znaczy, że ds^2 jest zerem?

Przyjmij -c^2 dt^2 + dx^2 = 0.

Przekształć: dx^2 = c^2 dt^2, co znaczy dx/dt = pm c.

Kroki we współrzędnych, które dają zerowy interwał, to dokładnie te kroki, które odpowiadają ruchowi z prędkością światła.

Metryka więc, całkiem sama z siebie, wyróżnia prędkość światła jako prędkość, dla której „odległość w czasoprzestrzeni” jest zerem.

To jest obraz, który fizycy nazywają diagramem czasoprzestrzennym.

Przestrzeń w poprzek, czas w górę — czas pomnożony przez c, żeby jednostki pasowały.

Dwie ukośne linie pod czterdziestoma pięcioma stopniami to drogi, którymi biegnie światło.

Wszystko wewnątrz górnego klina to miejsca, do których mógłbyś dotrzeć z początku układu, poruszając się wolniej niż światło.

Wszystko wewnątrz dolnego klina to miejsca, z których mógłbyś przybyć, poruszając się wolniej niż światło.

Wszystko w klinach bocznych, lewym i prawym, to miejsca, do których nie da się dotrzeć z początku układu bez przekroczenia prędkości światła.

Minus w metryce jest tym, co kroi diagram na te kliny.

I daje nam słownictwo na trzy rodzaje separacji między dwoma zdarzeniami.

Jeśli dwa zdarzenia mają ds^2 < 0 — kwadrat interwału ujemny — są rozdzielone czasowo.

Różnica czasu między nimi dominuje nad różnicą przestrzenną.

Sygnał poruszający się wolniej niż światło może je połączyć.

Jedno tyknięcie stopera obserwatora z peronu i drugie tyknięcie tego samego stopera to zdarzenia rozdzielone czasowo: to samo miejsce w przestrzeni, inny czas, i ds^2 = -c^2 dt^2, czyli wartość ujemna.

Jeśli dwa zdarzenia mają ds^2 > 0 — kwadrat interwału dodatni — są rozdzielone przestrzennie.

Różnica przestrzenna dominuje nad różnicą czasu.

Żaden sygnał biegnący z prędkością światła lub wolniej nie może ich połączyć.

Dwa jednoczesne zdarzenia na przeciwnych końcach długiego pokoju są rozdzielone przestrzennie.

Jeśli dwa zdarzenia mają ds^2 = 0 — kwadrat interwału dokładnie zerowy — są rozdzielone świetlnie, czyli zerowo.

Promień światła może je połączyć, a nic wolniejszego od światła nie może.

Błysk lampy i foton z tego błysku docierający do twojego oka to zdarzenia rozdzielone świetlnie.

Drugie pytanie — co to znaczy, że dwaj obserwatorzy zgadzają się co do ds^2, kiedy nie zgadzają się co do dt i dx.

Tu transformacja Lorentza zarabia na siebie.

Weź dowolne dwa zdarzenia.

Policz ds^2 w układzie peronu, korzystając z zegara i linijki obserwatora z peronu.

Dostajesz liczbę.

Potem przetransformuj współrzędne czasowe i przestrzenne do układu pociągu transformacją Lorentza i policz ds^2 w układzie pociągu.

Dostajesz tę samą liczbę.

Dowód to dwie linijki rachunku; wypada z transformacji Lorentza, bo transformacja Lorentza została zaprojektowana tak, żeby zostawiać tę kombinację niezmienioną.

Różni obserwatorzy mierzą różne dt i różne dx.

Zapisują to samo ds^2.

To jest geometryczne znaczenie szczególnej teorii względności.

Obserwator z peronu i obserwator z pociągu to dwa różne układy współrzędnych na jednej czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Transformacja Lorentza to reguła zmiany współrzędnych między nimi.

A metryka Minkowskiego to struktura na czasoprzestrzeni, która tę zmianę przeżywa.

Trzecie pytanie — a co z czasem własnym, tym, co zegar naprawdę wskazuje.

Dla pary zdarzeń rozdzielonych czasowo — powiedzmy dwóch tyknięć stopera niesionego przez poruszającego się obserwatora — jest jeden układ wyróżniony: ten, w którym stoper spoczywa.

W tym układzie różnica przestrzenna między dwoma tyknięciami jest zerem.

Metryka redukuje się do ds^2 = -c^2 dt^2, gdzie dt to czas, który sam stoper odnotowuje między tymi dwoma tyknięciami.

Fizycy nazywają to dtau, czasem własnym — czasem wskazanym przez zegar, który jest obecny przy obu zdarzeniach.

Dla interwałów czasowych mamy więc ds^2 = -c^2 dtau^2.

Kwadrat interwału i kwadrat czasu własnego różnią się o czynnik minus c^2.

Czas własny to naturalne dla geometrii pojęcie „ile czasu upłynęło dla tego, co naprawdę tam było”.

Każdy obserwator, niezależnie od ruchu, policzy ten sam czas własny dla tego samego zegara.

To jest ta głębsza zgoda pod niezgodą na peronie.

Obserwator z peronu i obserwator z pociągu nie zgadzają się, czyj zegar tyknął kiedy.

Zgadzają się co do tego, co sam poruszający się zegar wskazał między dowolnymi dwoma swoimi tyknięciami.

Cała budowla szczególnej teorii względności stoi na tej jednej niezmienniczości.

Po trzech pytaniach mamy już geometrię.

Kolejny ruch to wprowadzenie fizyka, który poświęcił karierę myśleniu o tym, co ta geometria ci daje, matematycznie i fizycznie.

Głos, który chcę tu wprowadzić, należy do fizyka, którego podręcznik jest powodem, dla którego większość czynnych relatywistów wie to, co wie.

Kip Thorne.

Richard P.

Emerytowany profesor fizyki teoretycznej imienia Feynmana w Caltechu.

Licencjat Caltech 1962, doktorat Princeton 1965 pod kierunkiem Johna Wheelera.

Nagroda Nobla z fizyki 2017, wspólnie z Rainerem Weissem i Barrym Barishem, za decydujący wkład w detektor LIGO i obserwację fal grawitacyjnych.

Współautor, razem z Charlesem Misnerem i tym samym Johnem Wheelerem, podręcznika Gravitation, wydanego przez W.

H.

Freemana w 1973 roku — książki, którą fizycy nazywają „MTW”, od inicjałów autorów, i która pozostaje, pięćdziesiąt trzy lata później, kanonicznym tekstem akademickim z ogólnej teorii względności.

Thorne spędził sześć dekad na myśleniu o tym, co język metryki robi dla fizyki.

W Black Holes and Time Warps, swojej popularnej książce z 1994 roku wydanej przez W.

W.

Nortona, przedstawia geometryczny obraz teorii względności dla szerokiej publiczności językiem, który pożyczyło od niego każde późniejsze popularne ujęcie.

To, co następuje, to parafraza, w głosie jego opublikowanego stanowiska — nie dosłowny cytat, ale synteza ujęcia, którego używał w MTW, w materiałach z wykładu noblowskiego i w Black Holes and Time Warps — tego, co robi metryka Minkowskiego.

Rzecz, którą chcę, żebyś wyniósł z metryki Minkowskiego, jest taka.

Szczególna teoria względności nie mówi, że obserwatorzy w ruchu mierzą to samo.

Mówi coś przeciwnego.

Dwaj obserwatorzy w ruchu względnym zmierzą różne czasy, jakie upłynęły między tą samą parą zdarzeń; zmierzą różne odległości przestrzenne; zmierzą różne kolejności tego, które zdarzenie było pierwsze.

Nie zgodzą się w zasadzie co do każdego zależnego od współrzędnych stwierdzenia, o jakie możesz ich zapytać.

To, co do czego się nie poróżnią, to geometria.

Istnieje jedna czterowymiarowa czasoprzestrzeń.

Każdy obserwator ma własny sposób krojenia jej — trzy wymiary, które nazywa przestrzenią, jeden, który nazywa czasem — a ich cięcia są względem siebie przechylone.

Cięcie zależy od obserwatora.

Czterowymiarowa rzecz, która jest krojona, już nie.

Metryka to jest to, co mówi ci, co zależy od obserwatora, a co nie.

Krok we współrzędnych taki jak dt czy dx zależy od obserwatora; zależy od cięcia.

Kombinacja -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — kwadrat interwału — nie zależy od obserwatora.

To ta sama liczba dla każdego obserwatora inercjalnego.

To jest treść niezmienniczości Lorentza.

Pomyśl, co to robi z twoim pojęciem rzeczywistości fizycznej.

Przed 1905 rokiem fizycy traktowali czas i przestrzeń jako oddzielne.

Każde miało własną metrykę.

Zegar, który tykał na peronie, był tym samym zegarem, co ten, który tykał w pociągu, tylko odczytywanym przez dwie różne osoby.

Względność jednoczesności to zmieniła.

Zegar w pociągu nie jest zegarem na peronie.

To dwa zegary, dwa różne cięcia tego samego obiektu pod spodem.

Hermann Minkowski, w 1908 roku w Kolonii, wyciągnął właściwy wniosek.

Powiedział: od teraz przestrzeń sama w sobie i czas sam w sobie są skazane na zblaknięcie do zwykłych cieni.

Tylko połączenie obu zachowa niezależną rzeczywistość.

To jest słynne zdanie otwierające Minkowskiego i nie jest to retoryka.

To geometryczne stwierdzenie, że tym, co rzeczywiste w szczególnej teorii względności, jest ta czterowymiarowa rzecz — a to, co mierzy każdy obserwator, jest jej rzutem.

Powód, dla którego ma to znaczenie dla wszystkiego, co przyjdzie potem, jest taki, że gdy masz już metrykę na obiekcie czterowymiarowym, cała maszyneria geometryczna, którą rozwinąłeś dla powierzchni dwuwymiarowych w Wykładzie Pierwszym — czym jest prosta, czym jest odległość, jak przenosisz wektor równolegle — przenosi się dalej.

Matematyce nie przeszkadza, że jeden kierunek ma minus.

Matematyce zależy na tym, żebyś miał metrykę.

Masz metrykę.

Możesz więc uprawiać geometrię na czasoprzestrzeni dokładnie tak, jak uprawiałeś geometrię na sferze.

Kiedy Einstein przeszedł od szczególnej teorii względności w 1905 roku do ogólnej w 1915, ruch, który wykonał, polegał na dopuszczeniu, żeby metryka zmieniała się z punktu na punkt.

Płaska metryka Minkowskiego — ta, której właśnie się nauczyłeś — to czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności.

Ogólne g_{munu} — to, które się zmienia, które odpowiada na masę i energię — to czasoprzestrzeń ogólnej teorii względności.

Metryka Minkowskiego to jest to, co odzyskujesz, lokalnie, w dowolnie małym skrawku dowolnej czasoprzestrzeni, bo każda gładka rozmaitość wygląda na płaską, jeśli dostatecznie przybliżysz.

To jest architektura geometryczna, którą wykłada podręcznik Misnera-Thorne'a-Wheelera.

Czasoprzestrzeń to arena.

Metryka to struktura, która czyni z niej geometrię, a nie zbiór punktów.

Niezmienniczość Lorentza to lokalna symetria każdego skrawka.

A każdy obserwator, który niesie zegar i linijkę, mierzy rzuty — rzuty czterowymiarowego obiektu na swoje konkretne jego cięcie.

Ten czterowymiarowy obiekt jest tym, co powinieneś uważać za fizycznie rzeczywiste.

Geometryczne stwierdzenie, przez które przed chwilą przeszedł Thorne, jest tym, co umożliwia księgowość z następnej części.

Jeśli obserwatorzy nie zgadzają się co do współrzędnych, ale zgadzają się co do geometrii, to sposobem na zapisanie wielkości fizycznej — prędkości, pędu, energii — jest postać, która mieszka w geometrii, a nie we współrzędnych konkretnego obserwatora.

Tą postacią jest czterowektor.

Oto ta księgowość.

W zwykłej fizyce trójwymiarowej wektor to wielkość o trzech składowych — trzech liczbach, po jednej na każdy kierunek przestrzeni.

Prędkość rzuconej piłki baseballowej ma trzy składowe: jak szybko leci na wschód, jak szybko na północ, jak szybko w górę.

Pęd piłki to masa razy prędkość, też trzy składowe.

Kiedy przełączasz się z jednego obserwatora na drugiego — powiedzmy, obracasz osie współrzędnych — trzy składowe wektora mieszają się ze sobą w obliczalny sposób, ale sam wektor, ta strzałka pod spodem, się nie zmienia.

Szczególna teoria względności prosi cię, żebyś zrobił tę samą sztuczkę z czterema składowymi zamiast trzech.

Czterowektor ma jedną składową czasową plus trzy składowe przestrzenne, a kiedy przechodzisz od jednego obserwatora inercjalnego do drugiego transformacją Lorentza, te cztery składowe mieszają się ze sobą — ale sam czterowektor, ta strzałka w czasoprzestrzeni, się nie zmienia.

Najprostszy czterowektor to ten, który zapisuje, gdzie i kiedy dzieje się zdarzenie.

Nazwij go czterowektorem położenia.

W układzie obserwatora z peronu jego cztery składowe to (ct, x, y, z).

Czynnik c przed t jest po to, żeby wszystkie cztery składowe miały te same jednostki.

Fizycy zwykle zapisują to greckim wskaźnikiem, więc czterowektor położenia staje się x^mu, gdzie mu biegnie od zera do trzech: x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z.

Grecki wskaźnik to ten sam rodzaj księgowej etykiety, jaki poznaliśmy w Wykładzie Pierwszym — mówi, o którą składową chodzi, a nie o jaką liczbę.

A teraz zrób tę samą sztuczkę z ruchem.

W zwykłej fizyce prędkość to tempo zmiany położenia — pochodna (x, y, z) po czasie.

W szczególnej teorii względności pojawia się pytanie, czyjego czasu: t obserwatora z peronu, t obserwatora z pociągu, czy czasu własnego tau, który niesie sama poruszająca się rzecz?

Właściwa odpowiedź to czas własny.

Jeśli weźmiesz pochodną czterowektora położenia po czasie własnym poruszającego się obiektu — po czasie, który wskazuje jego własny zegar — dostaniesz wielkość, co do której zgodzą się wszyscy obserwatorzy inercjalni, bo wszyscy zgadzają się co do tego zegara.

Tą wielkością jest czteroprędkość, u^mu: $u^mu = frac{dx^mu}{dtau}$ Czteroprędkość to jest to, co dostajesz, gdy pytasz: „jak zmienia się położenie poruszającej się rzeczy w czasoprzestrzeni, na jednostkę wskazania jej własnego zegara?”

Jej zerowa składowa, u^0, to c cdot dt/dtau = c cdot gamma — czynnik gamma razy prędkość światła.

Jej składowe przestrzenne to gamma razy zwykła trójprędkość.

Przy codziennych prędkościach, gdzie gamma jest w zasadzie jedynką, czteroprędkość to w gruncie rzeczy (c, vx, vy, v_z) — twoja zwykła prędkość z doczepioną prędkością światła jako składową zerową.

Gdy prędkość zbliża się do c, gamma rośnie bez ograniczeń, a czteroprędkość robi się ciekawsza.

Dalej: pęd.

W zwykłej fizyce pęd to masa razy prędkość.

W szczególnej teorii względności czteropęd to masa razy czteroprędkość: $p^mu = m u^mu$ gdzie m to masa spoczynkowa — masa, którą obserwator mierzy, gdy rzecz spoczywa w jego układzie.

Czteropęd ma cztery składowe.

Składowa zerowa to m c gamma.

Trzy składowe przestrzenne to gamma m razy zwykła trójprędkość.

Jeśli rozwiniesz gamma w szereg Taylora dla małych v/c, składowa zerowa staje się w przybliżeniu mc + frac{1}{2} m v^2 / c + ldots, a drugi człon rozpoznajesz: energia kinetyczna, podzielona przez c.

Zerowa składowa czteropędu, pomnożona przez c, jest więc całkowitą energią poruszającego się obiektu.

Fizycy zapisują to jako $p^0 = E/c$ a czteropęd w standardowej postaci to $p^mu = (E/c, px, py, p_z)$ Ten układ sprawia, że szczególna teoria względności mówi coś uderzającego.

Energia i pęd nie są osobnymi wielkościami.

Są czterema składowymi jednego czterowektora.

Obserwator spoczywający względem cząstki mierzy jedną energię i zerowy pęd.

Obserwator poruszający się względem cząstki mierzy inną energię i niezerowy pęd.

Ci dwaj obserwatorzy mierzą różne rozbicia tego samego czteropędu pod spodem na jego część czasową i części przestrzenne.

Sam czteropęd jest ten sam.

A teraz puenta.

Kiedy masz już czterowektor i metrykę, możesz policzyć kwadrat długości tego czterowektora — tą samą metryką, która dała ci kwadrat interwału między zdarzeniami.

Dla czteropędu ten kwadrat długości, w konwencji tego wykładu, wychodzi: $p^mu p_mu = -m^2 c^2$ Dolny wskaźnik tutaj — pmu z opuszczonym wskaźnikiem — to zwężona z metryką wersja p^mu, która w płaskiej przestrzeni Minkowskiego wynosi pmu = (-E/c, px, py, pz) — składowa czasowa zmienia znak, przestrzenne nie.

Kiedy liczysz p^mu pmu, sumujesz po mu i korzystasz z konwencji sumacyjnej Einsteina z Wykładu Pierwszego.

Trzy linijki rachunku później dostajesz -E^2/c^2 + px^2 + py^2 + p_z^2 = -m^2 c^2.

Przekształć, pomnóż przez -c^2, i masz równanie, które studenci fizyki poznają pod nieco innym aliasem: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ To jest relatywistyczna relacja energia-pęd.

Dla cząstki w spoczynku — bez pędu, p = 0 — zapada się do E = mc^2, najsłynniejszego równania w fizyce.

Dla cząstki bezmasowej, takiej jak foton — bez masy spoczynkowej, m = 0 — staje się E = pc, relacją energia-pęd dla światła.

Dla wszystkiego pomiędzy to jest równanie, które wiąże energię, pęd i masę spoczynkową w jeden niezmiennik.

A treść geometryczna to ta część, której trzeba się trzymać.

Prawa strona, -m^2 c^2, nie zależy od obserwatora — kwadrat masy spoczynkowej to ta sama liczba w każdym układzie.

Lewa strona, p^mu p_mu, jest zbudowana z czteropędu i metryki, a oba transformują się przy transformacjach Lorentza w sposób, który dokładnie się znosi.

Równanie jest więc prawdziwe w każdym układzie, choć E i p osobno zależą od tego, w którym układzie jesteś.

To właśnie kupuje ci „księgowość czterowektorowa”.

Zapisujesz wielkość fizyczną raz, w języku czterowektorów.

Każdy obserwator może potem odczytać swoje własne jej cięcie.

Cięcia się różnią.

Czterowektor nie.

Jest jeszcze jeden obiekt do położenia na stole, bo wszystko w Bloku B i Bloku D tej serii do niego wróci.

Czteropęd, p^mu, to jest to, co zapisujesz dla pojedynczej cząstki poruszającej się przez czasoprzestrzeń.

Ale materia zwykle nie jest jedną cząstką.

Materia to pola, płyny albo zbiory — energia i pęd rozłożone po objętości.

Do tego przypadku potrzebujesz czegoś o krok wyżej.

Nie czterowektora, ale tabeli cztery na cztery złożonej z czterowektorów.

Obiektu z dwoma wskaźnikami zamiast jednego.

Fizycy nazywają go tensorem energii-pędu, albo tensorem naprężeń-energii, i zapisują T^{munu} — albo z oboma wskaźnikami opuszczonymi, T_{munu}.

Oba wskaźniki biegną od zera do trzech, więc tabela ma szesnaście wpisów.

Z symetrii niezależnych jest tylko dziesięć.

Każdy wpis ma znaczenie fizyczne.

T^{00} to gęstość energii — ile energii siedzi w małej objętości w danym punkcie.

T^{0i}, gdzie i przebiega trzy kierunki przestrzenne, to gęstość pędu — ile pędu płynie w każdym kierunku przestrzennym.

T^{ii}, przestrzenne składowe na przekątnej, to ciśnienie — siła na powierzchnię pchająca na zewnątrz w każdym kierunku.

T^{ij} poza przekątną, gdzie i ne j, to naprężenia ścinające — te same wielkości, o których myśli inżynier konstruktor, kiedy pyta, czy belka się skręci.

Czym jest tensor energii-pędu, w jednym zdaniu: to kompletna księgowość tego, jak energia i pęd są rozłożone i jak płyną przez obszar czasoprzestrzeni.

Każdy rodzaj materii fizycznej — pył, gaz, pola elektromagnetyczne, próżnia kwantowa, ciemna energia, cokolwiek, dla czego umiesz zapisać lagranżjan — ma tensor energii-pędu.

To, co on robi w tym wykładzie, to przygotowanie następnego wykładu.

Bo oto pomost.

W 1915 roku Einstein spisał równanie pola, które mówi mniej więcej tyle: $G{munu} = frac{8pi G}{c^4} T{munu}$ Lewa strona, G{munu}, to tensor Einsteina — konkretna kombinacja metryki g{munu} i jej pochodnych, którą zbudujemy w Wykładzie 3.

Koduje lokalną krzywiznę czasoprzestrzeni.

Prawa strona to tensor energii-pędu, razy pewne stałe.

Równanie, prostym językiem, mówi: krzywizna czasoprzestrzeni w każdym punkcie jest wyznaczona przez energię i pęd obecne w tym punkcie.

Geometria po lewej.

Materia po prawej.

Równanie jest ogniwem.

Metryka jest geometrią.

Tensor energii-pędu jest tym, na co geometria odpowiada.

Wykład 3 to wykład o tym, jak działa ta odpowiedź.

Wykład 6 to wykład o tym, jakie tensory energii-pędu wszechświat ci pozwoli mieć, a jakich nie.

Wykład 8 to wykład o obszarze próżni kwantowej, w którym zmierzono, że wpisy T^{ii} są ujemne — o efekcie Casimira, najczystszym oknie eksperymentalnym na pytanie, czy stronę źródłową równania Einsteina da się projektować.

Wykład 10 to wykład o tym, czy ktokolwiek, jako opublikowane twierdzenie, manipulował lokalną geometrią przez inżynierię T_{munu}.

Trzymaj ten obraz.

Czterowektor p^mu to księgowość dla jednej cząstki.

Tensor T{munu} to księgowość dla całego rozkładu energii i pędu.

Metryka Minkowskiego to geometria pustej płaskiej czasoprzestrzeni.

Ogólne g{munu} to geometria po tym, jak T_{munu} powie swoje.

To jest architektura, którą zbudował ten wykład.

Zanim zamkniemy, jest jeszcze drugi głos w pokoju.

Głos sceptyka w tym wykładzie należy do Seana Carrolla.

Doktorat z fizyki teoretycznej, Harvard, 1993.

Obecnie profesor filozofii przyrody imienia Homewooda na Johns Hopkins, mianowany w 2022 roku.

Autor Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, wydanej przez Addison-Wesley w 2004 roku — podręcznika, którego wiele fizycznych studiów doktoranckich używa jako pierwszorocznego tekstu z OTW, obok MTW.

Gospodarz podcastu Mindscape od 2018 roku.

Zadaniem Carrolla w tym wykładzie jest wyrysowanie linii, której sama szczególna teoria względności nie rysuje.

Linii między tym, na co geometria pozwala jako na obiekt matematyczny, a tym, na co wszechświat pozwala jako na obiekt fizyczny.

To ta sama linia, którą Hossenfelder narysowała w Wykładzie Pierwszym, w innym rejestrze.

Usłyszymy tę samą dyscyplinę zastosowaną do jednego konkretnego rodzaju przesady — przejścia od „czteropęd jest czterowektorem” do „a zatem można dowolnie projektować czteropędy”.

Opublikowane stanowisko Carrolla wobec analogicznego przejścia w napędzie bez paliwa jest zapisane, w jego wpisie z 2015 roku na Preposterous Universe, „Warp Drives and Scientific Reasoning”.

To, co następuje, to dosłowna grupa zdań z tego wpisu, odtworzona słowo w słowo z opublikowanego źródła.

Jeśli chcesz ruszyć do przodu, musisz się od czegoś odepchnąć albo coś wyrzucić do tyłu. …

Tym, czego chcę od tej dyskusji, są bardzo szanowani naukowcy, pracujący w wykwintnie kontrolowanych warunkach, wytwarzający recenzowane publikacje.

Przeczytaj to dwa razy, powoli.

Jeśli chcesz ruszyć do przodu, musisz się od czegoś odepchnąć albo coś wyrzucić do tyłu.

To zdanie to trzecia zasada dynamiki Newtona na jednym oddechu.

Każdy ruch środka masy ciała wymaga, żeby środek masy czegoś innego ruszył w przeciwną stronę.

Zasada zachowania pędu.

Lorentzowsko niezmiennicza wersja tego prawa zachowania mówi dokładnie tyle, że czteropęd układu zamkniętego jest zachowany jako czterowektor — całkowite p^mu na wejściu równa się całkowitemu p^mu na wyjściu.

To, przeciw czemu występuje Carroll, w kontekście napędu warp i napędu bez paliwa — i co przenosi się na każde twierdzenie z Bloku D, którym ta seria się zajmie — to przejście od „matematyka dopuszcza czterowektory, które robią ciekawe rzeczy” do „a zatem możemy projektować czterowektory, które robią ciekawe rzeczy, bez płacenia ceny zachowania pędu”.

Księgowość czterowektorowa jest językiem.

Nie daje ci licencji na zapisanie dowolnego czterowektora i założenie, że wszechświat go dostarczy.

Prawa strona równań pola Einsteina — strona T_{munu} — musi skądś się wziąć.

Jeśli chcesz konkretnej geometrii, potrzebujesz konkretnego rozkładu energii i pędu.

A jeśli chcesz, żeby pęd szedł do przodu po jednej stronie, a nic nie szło do tyłu po drugiej, prosisz wszechświat o złamanie tego samego prawa zachowania, które w ogóle nadaje formalizmowi czterowektorów sens.

To jest ta dyscyplina.

Matematyka dopuszcza czterowektory o dowolnych składowych, jakie umiesz zapisać na papierze.

Fizyka wymaga, żeby te czterowektory pochodziły z realnych źródeł, zachowywanych spójnie, w konfiguracjach, o których zaobserwowano, że wszechświat je dostarcza.

Drugie kryterium jest o wiele, wiele surowsze niż pierwsze.

Drugie zdanie Carrolla — tym, czego chcę od tej dyskusji, są bardzo szanowani naukowcy, pracujący w wykwintnie kontrolowanych warunkach, wytwarzający recenzowane publikacje — to test redakcyjny.

To test, wobec którego ta seria wykładów będzie sprawdzać każde niosące ciężar twierdzenie.

Matematyczne rusztowanie, które dziś zbudowaliśmy, jest nienaganne: szczególna teoria względności to najlepiej przetestowana teoria w historii fizyki, a księgowość czterowektorowa to sposób, w jaki każdy czynny fizyk cząstek zapisuje rachunek.

Ale „formalizm jest nienaganny” nie kupuje ci „dowolna konkretna propozycja inżynieryjna jest dozwolona”.

Formalizm jest językiem.

Dozwolone propozycje to te, które płacą koszty zachowania i warunków energetycznych w monecie, którą wszechświat przyjmuje.

Trzymaj tę linię.

Szczególna teoria względności mówi ci, jaka jest geometria płaskiej czasoprzestrzeni.

Tensor energii-pędu mówi ci, co tę geometrię zasila.

Trzecia zasada Newtona, w postaci niezmienniczej wobec Lorentza, mówi ci, że to źródło musi skądś się wziąć.

Nic z tego nie zostaje obalone w następnym wykładzie, kiedy pozwolimy metryce się zakrzywić.

Dyscyplina niesie się dalej.

Tym, co kupił ci ten wykład, jest język.

Cztery kawałki języka, z których każdy wykona pracę w konkretnym późniejszym wykładzie.

Element liniowy Minkowskiego — ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — i trzy rodzaje interwału, które dopuszcza.

Przestrzenny.

Czasowy.

Świetlny.

Ta trychotomia wykona nośną pracę w Wykładzie 5, gdy poznamy przechodni tunel czasoprzestrzenny Morrisa-Thorne'a — Michael Morris i Kip Thorne, American Journal of Physics tom 56, strona 395, 1988.

Warunek rozszerzania, który Morris i Thorne zapisali dla gardzieli tunelu, to w gruncie rzeczy stwierdzenie o tym, które kierunki przez gardziel są przestrzenne, a które czasowe, i jakiego tensora energii-pędu trzeba przy gardzieli, żeby kierunki przestrzenne nie zapadły tej geometrii.

Nie da się przeczytać tego warunku bez słownictwa, którego właśnie się nauczyłeś.

Czteroprędkość i czteropęd — u^mu oraz p^mu = (E/c, px, py, p_z).

Ta księgowość wróci w Wykładzie 7, gdy poznamy próżnię kwantową i rozwinięcie pola kwantowego na mody.

Każdy mod w tym rozwinięciu niesie czteropęd.

Próżnia to stan, w którym każdy mod jest w konfiguracji o najniższej energii, a energia punktu zerowego każdego modu dokłada się do całkowitego T^{00} próżni.

Efekt Casimira, który poznamy w Wykładzie 8, to jest to, co się dzieje, gdy przekształcasz brzegi wybierające, które mody są dozwolone — a T^{ii} między dwiema równoległymi płytkami jest ujemne.

Tensor energii-pędu, który przed chwilą zdefiniowaliśmy, to obiekt, który tak mówi.

Sam tensor energii-pędu T{munu}.

Ten tensor to pomost z tego wykładu do Wykładu 3, kiedy pojawiają się równania pola Einsteina, a lewa strona, G{munu}, zostaje zbudowana z krzywizny g{munu}.

T{munu} jest też centralnym obiektem Wykładu 6, o warunkach energetycznych — słaby, zerowy, silny i dominujący warunek energetyczny to ograniczenia na T{munu}, stwierdzenia o tym, które rozkłady energii i pędu wszechświat jest gotów dostarczyć.

A T{munu} jest centralnym obiektem Wykładu 10, o serii patentów Paisa — twierdzenie inżynieryjne tych patentów, czytane jako fizyka, głosi, że pewien rodzaj elektromagnetycznych warunków brzegowych może wepchnąć T_{munu} w reżim, który zasila pewien rodzaj geometrii.

Patenty i towarzysząca im praca w IEEE Transactions on Plasma Science istnieją w zapisie publicznym.

Czy proponowany mechanizm robi to, co twierdzą patenty, to pytanie, którym zajmie się Wykład 10, z dyscypliną, którą Carroll przed chwilą wyartykułował.

Niezmienniczość Lorentza — stwierdzenie, że metryka Minkowskiego jest taka sama w każdym układzie inercjalnym.

To lokalna symetria każdego skrawka każdej czasoprzestrzeni w tej serii.

W ogólnej teorii względności metryka zmienia się z punktu na punkt, ale w dostatecznie małym otoczeniu dowolnego punktu wygląda jak metryka Minkowskiego.

Zasada równoważności to formalne stwierdzenie tego faktu.

Wykład 3 to miejsce, gdzie zarabia ona na siebie.

Trzecia zasada Newtona, w postaci niezmienniczej wobec Lorentza — zachowanie czteropędu dla układu zamkniętego.

To prawo zachowania, przed którym nie uciekniesz, przechodząc na relatywistykę.

Zdanie Carrolla o odpychaniu się od czegoś niesie się przez każdy kolejny wykład tej serii.

Kiedy tylko widzisz twierdzenie o napędzie albo o manipulacji geometrią, pytanie, które trzeba zadać, brzmi: dokąd idzie czteropęd?

Od jakiego czterowektora się odpycha, żeby wypchnąć do przodu ten drugi czterowektor?

Jeśli twierdzenie nie odpowiada na to pytanie, twierdzenie nie zasłużyło jeszcze na formalizm, na który się powołuje.

Cztery kawałki.

Metryka.

Księgowość.

Tensor, który zasila metrykę.

Prawo zachowania, które dyscyplinuje ten tensor.

Następny wykład oddaje te cztery kawałki ogólnej teorii względności i pozwala metryce się zakrzywić.

Wróć na peron.

Ten sam słuchacz.

Te same dwie postacie.

Jedna nieruchoma, druga przetoczyła się obok pociągiem.

Stoper obserwatora z peronu wskazał dla błysku jedną liczbę.

Stoper obserwatora z pociągu wskazał inną.

Obaj mają rację.

Pytanie, które teraz umiesz zadać, jest ostrzejsze niż to, od którego zacząłeś.

Możesz zapytać, co ich pomiary mają wspólnego.

Odpowiedzią jest kwadrat interwału czasoprzestrzennego ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 między zdarzeniem błysku a kolejnym zdarzeniem, jakie sobie wybiorą.

Możesz zapytać, co każdy z nich mierzy w kategoriach leżącej pod spodem geometrii.

Odpowiedzią jest rzut czterowymiarowej rzeczywistości na konkretne cięcie — ich własne.

Możesz zapytać, jaki rodzaj separacji leży między dowolnymi dwoma zdarzeniami, na których im zależy.

Przestrzenna, czasowa albo świetlna.

Możesz zapytać, jakie prawo zachowania pędu ich niezgoda wciąż respektuje.

Niezmienniczą wobec Lorentza wersję trzeciej zasady Newtona.

Nic z tego nie było w ich niezgodzie, gdy wykład się zaczynał.

Wszystko to jest teraz w języku.

Wykład 3 podejmuje tam, gdzie ten się kończy.

Ogólna teoria względności.

Symbole Christoffela, geodezyjne, tensor Riemanna, równania pola Einsteina.

Metryka przestaje być płaska.

Geometria zaczyna odpowiadać na to, co w niej jest.

Ten sam słuchacz.

Ten sam peron.

Nowa geometria.