Spacetime Metric — Season 1 — 02-special-relativity-and-four-vectors Transcript (es) — translated from the English narration; the video is narrated in English. Dos personas. Dos cronómetros. Dos reglas. Una de ellas está de pie en un andén. La otra pasa rodando en un tren. Ambas ven el mismo suceso — un flash se dispara, en algún punto entre ellas — y ambas anotan lo que midieron. Cuánto duró el destello. A qué distancia ocurrió. A qué velocidad se movió su luz. Cuando después comparan sus notas, no coinciden. La del andén anota una duración; la del tren anota una duración distinta. La del andén anota una distancia; la del tren anota una distancia distinta. Son honestas. Sus cronómetros están calibrados. Sus reglas son precisas. Y no coinciden. Durante unos doscientos cincuenta años, la física trató ese desacuerdo como un problema de medición. Alguien tenía que estar equivocado. El trabajo del teórico era averiguar quién. En 1905, un empleado de patentes de veintiséis años en Berna, Suiza, publicó un artículo que decía otra cosa. Dijo: ninguno de los dos está equivocado. Los dos están midiendo con honestidad. La razón de su desacuerdo es que están midiendo dos cosas distintas. Y bajo el desacuerdo hay algo más profundo — algo que ninguno medía directamente — en lo que ambos, si hicieran el álgebra con cuidado, coincidirían exactamente. Esta es la Clase Dos. Eso más profundo se llama el intervalo espaciotemporal. La geometría que lo hace coincidir se llama espacio de Minkowski. Y la contabilidad que te permite escribir cualquier cosa física de un modo que el observador del andén y el del tren acepten — esa contabilidad se llama cuadrivector. Al final de esta clase, vas a poder leerlo todo. En la clase anterior construimos un solo objeto. Una métrica. La regla para convertir pasos de coordenada infinitesimalmente pequeños en una distancia física al cuadrado. En un plano plano la escribimos como ds^2 = dx^2 + dy^2. En una esfera la escribimos como ds^2 = dtheta^2 + sin^2theta dphi^2. En su forma general completa la escribimos como ds^2 = g{munu} dx^mu dx^nu, donde g{munu} es una tabla de números que depende de dónde estés. Todos los ejemplos de la Clase Uno eran métricas sobre el espacio. La hoja plana. La superficie de una esfera. Un trozo de superficie bidimensional ondulante a la deriva por el espacio. Puedes estirar cualquiera de esos ejemplos a tres dimensiones espaciales sin problema — la contabilidad solo se alarga. Pero la clase que estás escuchando ahora trata del siguiente estiramiento. No de dos dimensiones espaciales a tres. Del espacio al espaciotiempo. De una métrica en la que dos observadores quietos en la misma sala coincidirían, a una métrica en la que también coincidirán dos observadores que se mueven a velocidades distintas. Ese segundo estiramiento es más difícil de lo que suena. Es más difícil porque, a primera vista, el tiempo y el espacio no parecen cosas que puedas meter en la misma métrica. El tiempo tiene unidades de segundos. El espacio tiene unidades de metros. Un cronómetro no es una regla. Se sienten como clases distintas de cantidad. Y antes de 1905 se trataban como clases distintas de cantidad. El salto de 1905 fue ponerlos en el mismo diagrama. Insistir en que hay un solo objeto, de cuatro dimensiones, que contiene ambos, y que la regla para medir distancias en ese objeto es en lo que los observadores físicos realmente coinciden. El desacuerdo del andén ocurre porque el observador del andén y el del tren proyectan ese objeto de cuatro dimensiones sobre su propia división privada de tres más uno — tres de espacio, una de tiempo — y sus divisiones están inclinadas una respecto de la otra. El objeto de cuatro dimensiones que hay debajo es el mismo. Lo que cambia es la división. Esta clase construye ese objeto de cuatro dimensiones. Luego construye la contabilidad en la que escribes las cantidades físicas, para que vivan en el objeto de cuatro dimensiones y no en la división de un observador concreto. Después te entrega el asa de la clase siguiente: el tensor de energía-momento. Ese objeto se sentará en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein en la Clase 3, y es aquello a lo que responde la geometría. Pero antes de nada de eso, tenemos que hablar de por qué la regla cotidiana para sumar velocidades, la que usas desde la secundaria, tiene que romperse. Esta es la regla con la que creciste. Vas en un tren, a cuarenta millas por hora. Caminas hacia delante, dentro del tren, a tres millas por hora. ¿A qué velocidad te mueves respecto del andén? Cuarenta y tres. Sumas las velocidades. La misma idea: una pelota de béisbol lanzada hacia delante a noventa millas por hora desde un coche que avanza a treinta — la pelota va a ciento veinte respecto de la carretera. Esta regla tiene nombre. Es la suma galileana de velocidades, por Galileo, que articuló el principio de relatividad subyacente en 1632 en su Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo: las leyes de la mecánica son las mismas en cualquier marco inercial, así que un marinero bajo cubierta en un barco que navega suavemente no puede, con ningún experimento mecánico, saber si el barco se mueve o está en reposo. Si aceptas ese principio, y aceptas la noción cotidiana de tiempo universal — la misma lectura de reloj para todos, sin importar cómo se muevan — entonces la suma de velocidades se sigue. Tu velocidad respecto del andén es tu velocidad respecto del tren, más la velocidad del tren respecto del andén. Listo. La regla funciona. Funciona para trenes. Funciona para pelotas lanzadas. Funciona para coches y bicicletas y para el paso al caminar. Funciona para todo en la experiencia humana, hasta la velocidad de un caza, la de una bala de fusil, la de un misil hipersónico. Es una regla empíricamente excelente en todo el rango de velocidades que alguien había medido con cuidado, durante doscientos cincuenta años después de Galileo. Y entonces, en la segunda mitad del siglo diecinueve, alguien empezó a medir la luz. El problema era este. Para la década de 1860, James Clerk Maxwell había escrito un conjunto de cuatro ecuaciones — lo que hoy llamamos ecuaciones de Maxwell — que describen cómo se propagan los campos eléctricos y magnéticos. De esas ecuaciones cae un número concreto. Una velocidad. La velocidad a la que viaja una onda electromagnética por el espacio vacío. Ese número es aproximadamente trescientos mil kilómetros por segundo. Lo llamamos c. Y las ecuaciones de Maxwell no dicen "c respecto de quién". El número simplemente está ahí, horneado en la estructura del electromagnetismo. Eso es un problema para la suma galileana. Porque si la luz viaja a c, y tú te mueves hacia una linterna a la mitad de c, entonces por la regla cotidiana la luz debería llegarte a uno y medio c. Y si te alejas de la misma linterna a la mitad de c, la luz debería llegar a medio c. Son dos respuestas distintas, según tu movimiento. Pero las ecuaciones de Maxwell dan una sola respuesta. La misma. Así que o las ecuaciones de Maxwell solo valen en un marco especial — el de algún medio hipotético, que los físicos de finales del siglo diecinueve llamaban el éter luminífero — o la suma galileana se equivoca con la luz. En 1887, en un sótano del campus de lo que entonces se llamaba Case School of Applied Science en Cleveland, Ohio, dos experimentadores — Albert Michelson y Edward Morley — construyeron un aparato lo bastante preciso para zanjar la cuestión. Dividieron un haz de luz en dos trayectorias perpendiculares, las rebotaron en espejos, las recombinaron y buscaron el patrón de interferencia. Como la Tierra se mueve alrededor del Sol a unos treinta kilómetros por segundo, el aparato atraviesa el supuesto éter en direcciones distintas en distintas épocas del año. Si el éter existiera y la suma galileana fuera correcta, la velocidad de la luz en la dirección de movimiento del aparato debería diferir de la velocidad perpendicular a ella, y el patrón de interferencia debería desplazarse a lo largo del año. El patrón no se desplazó. Con la precisión del aparato — que era muy buena — la velocidad de la luz salió igual en todas las direcciones, en toda época del año, sin importar cómo se moviera la Tierra. El experimento se refinó y se repitió durante décadas. El resultado nulo se mantuvo. Así que ahora tienes una elección, como físico en 1900. Puedes conservar la suma galileana de velocidades y el tiempo universal e intentar parchear las ecuaciones de Maxwell — lo que varios muy buenos físicos, entre ellos Lorentz y Poincaré, intentaron. O puedes conservar las ecuaciones de Maxwell exactamente como Maxwell las escribió, aceptar que la velocidad de la luz es la misma en todo marco inercial como dato empírico, y averiguar qué tiene que ceder en otro sitio. En 1905 Einstein tomó la segunda opción, y lo que tuvo que ceder fue la suposición del tiempo universal. Dos observadores en movimiento relativo no comparten un reloj. La lectura del reloj y la de la regla se mezclan entre sí de una manera concreta y calculable cuando pasas del marco de un observador al de otro. La regla de mezcla se llama transformación de Lorentz — Hendrik Lorentz, el físico holandés, había escrito las ecuaciones de transformación correctas en 1904, pero las interpretó como una rareza de cómo interactúan reglas y relojes con el éter; el artículo de Einstein de 1905 las aceptó como una afirmación sobre el espacio y el tiempo mismos. La transformación de Lorentz, en su forma más simple — una dirección de movimiento relativo, llamémosla la dirección x, con velocidad relativa v — es: $t' = gamma left(t - frac{vx}{c^2}right), quad x' = gamma (x - vt), quad y' = y, quad z' = z$ donde gamma = 1/sqrt{1 - v^2/c^2} es el factor de Lorentz. Para velocidades cotidianas — v mucho menor que c — gamma es esencialmente uno, el término vx/c^2 de la ecuación del tiempo es esencialmente cero, y las ecuaciones se colapsan de vuelta a "t' = t, x' = x - vt" — la regla de Galileo. El apartamiento de Galileo está escondido en correcciones que escalan como v^2/c^2. A velocidades cotidianas esas correcciones son menores que partes por billón. A una décima de la velocidad de la luz, son de un por ciento. A nueve décimas de la velocidad de la luz, gamma vale unos 2,3, y las correcciones son todo el cuadro. Ese es el planteamiento empírico e histórico. El resto de esta clase trata de qué hacen geométricamente esas transformaciones de Lorentz — y la respuesta, debida a Hermann Minkowski en 1908, es que son rotaciones en un espaciotiempo de cuatro dimensiones, y hay una métrica en ese espaciotiempo que ellas dejan intacta. Esa métrica es en lo que el observador del andén y el del tren coinciden en secreto, incluso cuando discrepan en todo lo demás. Este es el objeto central. La métrica del espaciotiempo plano — el espaciotiempo de la relatividad especial, todavía sin gravedad — escrita en la misma notación de elemento de línea que usó la Clase Uno. Prepárate, aunque la ecuación es corta. $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ Esa ecuación es todo el contenido de la relatividad especial. Todo lo demás en esta clase es contabilidad para volverla utilizable. Así que nombremos cada pieza. El lado izquierdo, ds^2 — el mismo pequeño intervalo al cuadrado que conocimos en la Clase Uno. La generalización con letras griegas se mantiene. Es la regla para convertir cuatro pasos de coordenada infinitesimales — tres de espacio, uno de tiempo — en una sola cantidad física en la que los observadores coincidirán. Los cuatro términos de la derecha son los cuatro pasos de coordenada. Un paso temporal, dt, multiplicado por -c^2. Tres pasos espaciales, dx, dy, dz, cada uno simplemente al cuadrado con signo más. Esa es toda la métrica. En la notación de tabla g_{munu} de la Clase Uno, la métrica de Minkowski es una tabla diagonal de cuatro por cuatro — -c^2 en la casilla tiempo-tiempo, +1 en cada una de las tres casillas espacio-espacio, ceros fuera de la diagonal. Tres preguntas que vale la pena hacerle a esta métrica. Las mismas tres que le hicimos a la regla de Pitágoras en el plano plano, porque estamos haciendo la misma clase de trabajo. Primera — por qué el signo menos delante del término temporal. Este es el signo más importante de la física del siglo veinte. El signo menos es toda la razón por la que el tiempo no es simplemente una cuarta dirección del espacio. Si el término temporal llevara signo más — si la métrica fuera ds^2 = c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, los cuatro términos positivos — entonces el espaciotiempo sería un espacio euclídeo de cuatro dimensiones. No habría cono de luz. No habría pasado ni futuro. No habría noción de causa y efecto incorporada en la geometría. El signo menos es lo que hace al tiempo distinto del espacio, sin dejar de permitir que tiempo y espacio estén en la misma ecuación. Para ver qué hace de verdad el signo menos, mira el caso más simple. Imagina que tienes una dirección de espacio y una de tiempo, así que la métrica se simplifica a ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2. Ahora pregunta: ¿qué significa que ds^2 sea cero? Pon -c^2 dt^2 + dx^2 = 0. Reordena: dx^2 = c^2 dt^2, lo que significa dx/dt = pm c. Los pasos de coordenada que producen un intervalo nulo son exactamente los que corresponden al movimiento a la velocidad de la luz. Así que la métrica, por sí sola, señala la velocidad de la luz como aquella para la que la "distancia en el espaciotiempo" es cero. Esa es la imagen que los físicos llaman diagrama de espaciotiempo. Espacio a lo ancho, tiempo hacia arriba — el tiempo por c para que cuadren las unidades. Las dos líneas diagonales a cuarenta y cinco grados son los caminos que sigue la luz. Todo lo que está dentro de la cuña superior es un sitio al que podrías llegar desde el origen moviéndote más lento que la luz. Todo lo que está dentro de la cuña inferior es un sitio del que podrías haber venido moviéndote más lento que la luz. Todo lo que está en las cuñas laterales, izquierda y derecha, es un sitio al que no puedes llegar desde el origen sin superar la velocidad de la luz. El signo menos de la métrica es lo que talla el diagrama en esas cuñas. Y nos da un vocabulario para las tres clases de separación entre dos sucesos. Si dos sucesos tienen ds^2 < 0 — intervalo al cuadrado negativo — están separados por un intervalo temporal. La diferencia de tiempo entre ellos domina sobre la de espacio. Una señal más lenta que la luz puede conectarlos. El cronómetro del observador del andén marcando una vez y ese mismo cronómetro marcando dos veces son sucesos con separación temporal: mismo lugar en el espacio, distinto tiempo, y ds^2 = -c^2 dt^2, que es negativo. Si dos sucesos tienen ds^2 > 0 — intervalo al cuadrado positivo — están separados por un intervalo espacial. La diferencia de espacio domina sobre la de tiempo. Ninguna señal que viaje a la velocidad de la luz o por debajo puede conectarlos. Dos sucesos simultáneos en los extremos opuestos de una sala larga tienen separación espacial. Si dos sucesos tienen ds^2 = 0 — intervalo al cuadrado exactamente cero — están separados por un intervalo luminoso, o nulo. Un rayo de luz puede conectarlos y nada más lento que la luz puede hacerlo. El flash disparándose y el fotón de ese destello llegando a tu ojo son sucesos con separación luminosa. Segunda pregunta — qué significa que dos observadores coincidan en ds^2 cuando discrepan en dt y en dx. Aquí es donde la transformación de Lorentz se gana el sueldo. Toma dos sucesos cualesquiera. Calcula ds^2 en el marco del andén, con el reloj y la regla del observador del andén. Obtienes un número. Luego transforma las coordenadas de tiempo y espacio al marco del tren con la transformación de Lorentz, y calcula ds^2 en el marco del tren. Obtienes el mismo número. La demostración son dos líneas de álgebra; sale de la transformación de Lorentz porque la transformación de Lorentz se diseñó para dejar esa combinación invariante. Distintos observadores miden distintos dt y distintos dx. Anotan el mismo ds^2. Ese es el significado geométrico de la relatividad especial. El observador del andén y el del tren son dos sistemas de coordenadas distintos sobre un único espaciotiempo de cuatro dimensiones. La transformación de Lorentz es la regla de cambio de coordenadas entre ellos. Y la métrica de Minkowski es la estructura del espaciotiempo que sobrevive al cambio. Tercera pregunta — y el tiempo propio, lo que un reloj marca de verdad. Para un par de sucesos con separación temporal — digamos, dos tics de un cronómetro que lleva un observador en movimiento — hay un marco especial: aquel en el que el cronómetro está en reposo. En ese marco, la diferencia espacial entre los dos tics es cero. La métrica se reduce a ds^2 = -c^2 dt^2, donde dt es el tiempo que el propio cronómetro registra entre los dos tics. Los físicos llaman a eso dtau, el tiempo propio — el tiempo que lee un reloj presente en ambos sucesos. Así que para intervalos temporales, ds^2 = -c^2 dtau^2. El intervalo al cuadrado y el tiempo propio al cuadrado difieren en un factor de menos c^2. El tiempo propio es la noción natural de la geometría de "cuánto tiempo pasó para lo que estaba realmente ahí". Todo observador, sin importar su movimiento, calculará el mismo tiempo propio para el mismo reloj. Ese es el acuerdo más profundo bajo el desacuerdo del andén. El observador del andén y el del tren discrepan sobre qué reloj marcó cuándo. Coinciden en lo que el reloj en movimiento leyó entre dos cualesquiera de sus tics. Todo el edificio de la relatividad especial se apoya en esa única invariancia. Tres preguntas después, ya tenemos la geometría. El siguiente paso es traer a un físico que ha dedicado su carrera a pensar qué te compra esta geometría, matemática y físicamente. La voz que quiero traer aquí es la de un físico cuyo libro de texto es la razón por la que la mayoría de los relativistas en activo saben lo que saben. Kip Thorne. Richard P. Feynman Professor of Theoretical Physics Emeritus en Caltech. Licenciatura en Caltech 1962, doctorado en Princeton 1965 con John Wheeler. Premio Nobel de Física 2017, compartido con Rainer Weiss y Barry Barish, por contribuciones decisivas al detector LIGO y a la observación de ondas gravitacionales. Coautor, con Charles Misner y ese mismo John Wheeler, del libro de texto Gravitation, publicado por W. H. Freeman en 1973 — un libro que los físicos llaman "MTW", por las iniciales de sus autores, y que sigue siendo, cincuenta y tres años después, el texto canónico de posgrado en relatividad general. Thorne ha dedicado seis décadas a pensar qué hace el lenguaje de la métrica por la física. En Black Holes and Time Warps, su libro de divulgación de 1994 publicado por W. W. Norton, expone la imagen geométrica de la relatividad para un público general en un lenguaje que ha tomado prestado todo tratamiento divulgativo posterior. Lo que sigue es una paráfrasis, en la voz de su posición publicada — no una cita textual, sino una síntesis del encuadre que ha usado en MTW, el material de la conferencia Nobel y Black Holes and Time Warps — de lo que hace la métrica de Minkowski. Lo que quiero que te lleves de la métrica de Minkowski es esto. La relatividad especial no dice que los observadores en movimiento midan las mismas cosas. Dice lo contrario. Dos observadores en movimiento relativo medirán tiempos transcurridos distintos entre el mismo par de sucesos; medirán distancias espaciales distintas; medirán secuencias distintas de qué sucedió primero. Discreparán en prácticamente toda afirmación dependiente de coordenadas que puedas preguntarles. En lo que no discreparán es en la geometría. Hay un solo espaciotiempo de cuatro dimensiones. Cada observador tiene su propia forma de rebanarlo — tres dimensiones que llama espacio, una que llama tiempo — y sus rebanadas están inclinadas una respecto de la otra. El rebanado depende del observador. Lo de cuatro dimensiones que se rebana, no. La métrica es lo que te dice qué depende del observador y qué no. Un paso de coordenada como dt o dx depende del observador; depende del rebanado. La combinación -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — el intervalo al cuadrado — es independiente del observador. Es el mismo número para todo observador inercial. Ese es el contenido de la invariancia de Lorentz. Piensa en lo que eso le hace a tu noción de realidad física. Antes de 1905, los físicos trataban el tiempo y el espacio por separado. Cada uno tenía su propia métrica. El reloj que marcaba en el andén era el mismo reloj que el que marcaba en el tren, solo que leído por dos personas distintas. La relatividad de la simultaneidad cambió eso. El reloj del tren no es el reloj del andén. Son dos relojes, dos rebanados distintos del mismo objeto subyacente. Hermann Minkowski, en 1908 en Colonia, sacó la conclusión correcta. Dijo: de ahora en adelante, el espacio por sí solo y el tiempo por sí solo están condenados a desvanecerse en meras sombras. Solo una unión de ambos preservará una realidad independiente. Esa es la famosa frase inicial de Minkowski, y no es retórica. Es la afirmación geométrica de que lo real, en relatividad especial, es lo de cuatro dimensiones — y lo que mide cada observador es una proyección de ello. La razón por la que esto importa para todo lo que viene es que, una vez que tienes una métrica sobre un objeto de cuatro dimensiones, toda la maquinaria geométrica que desarrollaste para superficies de dos dimensiones en la Clase Uno — qué es una recta, qué es una distancia, cómo transportas un vector en paralelo — se traslada. A las matemáticas no les importa que una dirección lleve signo menos. A las matemáticas les importa que tengas una métrica. Tienes una métrica. Así que puedes hacer geometría sobre el espaciotiempo exactamente como la hiciste sobre una esfera. Cuando Einstein pasó de la relatividad especial en 1905 a la general en 1915, el movimiento que hizo fue dejar que la métrica variara de punto a punto. La métrica plana de Minkowski — la que acabas de aprender — es el espaciotiempo de la relatividad especial. La g_{munu} general — la que varía, la que responde a la masa y la energía — es el espaciotiempo de la relatividad general. La métrica de Minkowski es lo que recuperas, localmente, en cualquier trozo suficientemente pequeño de cualquier espaciotiempo, porque toda variedad suave parece plana si te acercas lo bastante. Esa es la arquitectura geométrica que expone el libro de Misner-Thorne-Wheeler. El espaciotiempo es el escenario. La métrica es la estructura que lo convierte en una geometría y no en un conjunto de puntos. La invariancia de Lorentz es la simetría local de cada trozo. Y todo observador que lleva un reloj y una regla está midiendo proyecciones — proyecciones de un objeto de cuatro dimensiones sobre su rebanado particular. El objeto de cuatro dimensiones es lo que deberías considerar físicamente real. La afirmación geométrica que acaba de recorrer Thorne es lo que hace posible la contabilidad de la sección siguiente. Si los observadores discrepan en las coordenadas pero coinciden en la geometría, entonces la manera de escribir una cantidad física — una velocidad, un momento, una energía — es en una forma que viva en la geometría, no en las coordenadas de un observador concreto. Esa forma es el cuadrivector. Esta es la contabilidad. En la física tridimensional ordinaria, un vector es una cantidad con tres componentes — tres números, uno por cada dirección del espacio. La velocidad de una pelota lanzada tiene tres componentes: cuán rápido va al este, cuán rápido al norte, cuán rápido hacia arriba. El momento de la pelota es masa por velocidad, también tres componentes. Cuando cambias de un observador a otro — digamos, giras tus ejes de coordenadas — las tres componentes del vector se mezclan de una forma calculable, pero el vector en sí, la flecha subyacente, no cambia. La relatividad especial te pide hacer el mismo truco con cuatro componentes en lugar de tres. Un cuadrivector tiene una componente temporal más tres espaciales, y cuando cambias de un observador inercial a otro mediante una transformación de Lorentz, las cuatro componentes se mezclan — pero el cuadrivector en sí, la flecha subyacente en el espaciotiempo, no cambia. El cuadrivector más simple es el que registra dónde y cuándo ocurre un suceso. Llámalo el cuadrivector de posición. En el marco del observador del andén, sus cuatro componentes son (ct, x, y, z). El factor c delante de t está ahí para que las cuatro componentes tengan las mismas unidades. Los físicos suelen escribirlo con un índice griego, así que el cuadrivector de posición pasa a ser x^mu, donde mu va de cero a tres: x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z. El índice griego es la misma clase de etiqueta contable que conocimos en la Clase Uno — etiqueta qué componente, no qué número. Ahora haz el mismo truco con el movimiento. En la física ordinaria, la velocidad es la tasa de cambio de la posición — derivada de (x, y, z) respecto del tiempo. En relatividad especial hay una pregunta sobre el tiempo de quién: ¿la t del observador del andén, la t del observador del tren, o el tiempo propio tau que lleva la propia cosa en movimiento? La respuesta correcta es el tiempo propio. Si tomas la derivada del cuadrivector de posición respecto del tiempo propio del objeto en movimiento — el tiempo que marca su propio reloj — obtienes una cantidad en la que todos los observadores inerciales coincidirán, porque todos coinciden sobre ese reloj. Esa cantidad es la cuadrivelocidad, u^mu: $u^mu = frac{dx^mu}{dtau}$ La cuadrivelocidad es lo que obtienes al preguntar: "¿cómo cambia la posición en el espaciotiempo de la cosa en movimiento, por unidad de lectura de su propio reloj?" Su componente cero, u^0, es c cdot dt/dtau = c cdot gamma — el factor gamma por la velocidad de la luz. Sus componentes espaciales son gamma por la trivelocidad ordinaria. Así que a velocidades cotidianas, donde gamma es esencialmente uno, la cuadrivelocidad es básicamente (c, vx, vy, v_z) — tu velocidad de siempre, con la velocidad de la luz añadida como componente cero. A medida que la velocidad se acerca a c, gamma se dispara, y la cuadrivelocidad se pone más interesante. Siguiente: el momento. En la física ordinaria, el momento es masa por velocidad. En relatividad especial, el cuadrimomento es masa por cuadrivelocidad: $p^mu = m u^mu$ donde m es la masa en reposo — la masa que mide un observador cuando la cosa está en reposo en su marco. El cuadrimomento tiene cuatro componentes. La componente cero es m c gamma. Las tres componentes espaciales son gamma m por la trivelocidad ordinaria. Si haces un desarrollo de Taylor de gamma para v/c pequeño, la componente cero queda aproximadamente mc + frac{1}{2} m v^2 / c + ldots, y reconoces el segundo término: la energía cinética, dividida por c. Así que la componente cero del cuadrimomento, multiplicada por c, es la energía total del objeto en movimiento. Los físicos escriben esto como $p^0 = E/c$ y el cuadrimomento, en su forma estándar, es $p^mu = (E/c, px, py, p_z)$ Esa disposición es lo que hace que la relatividad especial diga algo llamativo. La energía y el momento no son cantidades separadas. Son cuatro componentes de un solo cuadrivector. Un observador en reposo respecto de una partícula mide una energía y momento cero. Un observador en movimiento respecto de la partícula mide una energía distinta y un momento no nulo. Los dos observadores miden divisiones distintas del mismo cuadrimomento subyacente en su pieza temporal y sus piezas espaciales. El cuadrimomento en sí es el mismo. Ahora el remate. Una vez que tienes un cuadrivector y una métrica, puedes calcular una longitud al cuadrado del cuadrivector — con la misma métrica que te dio el intervalo al cuadrado entre sucesos. Para el cuadrimomento, esa longitud al cuadrado, en el convenio de esta clase, sale: $p^mu p_mu = -m^2 c^2$ El índice de abajo aquí — pmu con el índice bajado — es la versión contraída con la métrica de p^mu, que en el espacio plano de Minkowski es pmu = (-E/c, px, py, pz) — la componente temporal cambia de signo, las espaciales no. Cuando calculas p^mu pmu, sumas sobre mu y usas el convenio de suma de Einstein de la Clase Uno. Tres líneas de álgebra después obtienes -E^2/c^2 + px^2 + py^2 + p_z^2 = -m^2 c^2. Reordena, multiplica todo por -c^2, y tienes la ecuación que los estudiantes de física aprenden bajo un alias algo distinto: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ Esa es la relación relativista energía-momento. Para una partícula en reposo — sin momento, p = 0 — se colapsa a E = mc^2, la ecuación más famosa de la física. Para una partícula sin masa como el fotón — sin masa en reposo, m = 0 — queda E = pc, la relación energía-momento de la luz. Para todo lo que hay entre medias, esta es la ecuación que ata energía, momento y masa en reposo en un solo invariante. Y el contenido geométrico es la parte que hay que retener. El lado derecho, -m^2 c^2, es independiente del observador — la masa en reposo al cuadrado es el mismo número en todo marco. El lado izquierdo, p^mu p_mu, está hecho del cuadrimomento y la métrica, y ambos transforman bajo Lorentz de maneras que se cancelan exactamente. Así que la ecuación es cierta en todo marco, aunque E y p por separado dependan del marco en el que estés. Eso es lo que te compra la "contabilidad de cuadrivectores". Escribes una cantidad física una vez, en el lenguaje de los cuadrivectores. Cada observador puede entonces leer su propio rebanado de ella. Los rebanados discrepan. El cuadrivector no. Queda un objeto más que poner sobre la mesa, porque todo el Bloque B y el Bloque D de esta serie van a volver a él. El cuadrimomento, p^mu, es lo que escribes para una sola partícula moviéndose por el espaciotiempo. Pero la materia no suele ser una sola partícula. La materia es campos, o fluidos, o colecciones — energía y momento repartidos por un volumen. Para ese caso necesitas algo un escalón más arriba. No un cuadrivector, sino una tabla de cuatro por cuatro de cuadrivectores. Un objeto con dos índices en lugar de uno. Los físicos lo llaman tensor de energía-momento, o tensor de tensión-energía, y lo escriben T^{munu} — o con ambos índices bajados, T_{munu}. Los dos índices van cada uno de cero a tres, así que la tabla tiene dieciséis entradas. Por simetría, solo diez de ellas son independientes. Cada entrada tiene un significado físico. T^{00} es la densidad de energía — cuánta energía hay en un volumen pequeño en un punto dado. T^{0i}, donde i recorre las tres direcciones espaciales, es la densidad de momento — cuánto momento fluye en cada dirección espacial. T^{ii}, las componentes espaciales diagonales, son la presión — fuerza por área empujando hacia fuera en cada dirección. T^{ij} fuera de la diagonal, donde i ne j, son esfuerzos cortantes — las mismas cantidades en las que piensa un ingeniero estructural al preguntarse si una viga se torcerá. Qué es el tensor de energía-momento, en una frase: es la contabilidad completa de cómo se distribuyen y fluyen la energía y el momento por una región del espaciotiempo. Toda clase de materia física — polvo, gas, campos electromagnéticos, el vacío cuántico, la energía oscura, cualquier cosa para la que puedas escribir un lagrangiano — tiene un tensor de energía-momento. Lo que hace, en esta clase, es preparar la siguiente. Porque aquí está el puente. En 1915, Einstein escribió una ecuación de campo que dice, a grandes rasgos, $G{munu} = frac{8pi G}{c^4} T{munu}$ El lado izquierdo, G{munu}, es el tensor de Einstein — una combinación concreta de la métrica g{munu} y sus derivadas, que construiremos en la Clase 3. Codifica la curvatura local del espaciotiempo. El lado derecho es el tensor de energía-momento, por unas constantes. La ecuación, en lenguaje llano, dice: la curvatura del espaciotiempo, en cada punto, la determinan la energía y el momento presentes en ese punto. Geometría a la izquierda. Materia a la derecha. La ecuación es el vínculo. La métrica es la geometría. El tensor de energía-momento es aquello a lo que responde la geometría. La Clase 3 es la clase sobre cómo funciona esa respuesta. La Clase 6 es la clase sobre qué tensores de energía-momento te dejará y no te dejará tener el universo. La Clase 8 es la clase sobre una región del vacío cuántico donde se ha medido que las entradas T^{ii} son negativas — el efecto Casimir, la ventana experimental más limpia a si el lado fuente de la ecuación de Einstein se puede diseñar. La Clase 10 es la clase sobre si alguien ha manipulado, como afirmación publicada, la geometría local mediante la ingeniería de T_{munu}. Retén la imagen. El cuadrivector p^mu es la contabilidad de una partícula. El tensor T{munu} es la contabilidad de toda una distribución de energía y momento. La métrica de Minkowski es la geometría del espaciotiempo plano y vacío. La g{munu} general es la geometría una vez que T_{munu} ha dicho lo suyo. Esa es la arquitectura que ha construido esta clase. Antes de cerrar, está la otra voz en la sala. La voz escéptica de esta clase es la de Sean Carroll. Doctorado en física teórica, Harvard, 1993. Actualmente Homewood Professor of Natural Philosophy en Johns Hopkins, nombrado en 2022. Autor de Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, publicado por Addison-Wesley en 2004 — el libro que muchos programas de posgrado usan como texto de relatividad general de primer año, junto con MTW. Presentador del pódcast Mindscape desde 2018. El trabajo de Carroll en esta clase es trazar una línea que la relatividad especial, por sí sola, no traza. La línea entre lo que la geometría permite como objeto matemático y lo que el universo permite como objeto físico. Es la misma línea que trazó Hossenfelder en la Clase Uno, en otro registro. Oiremos esa misma disciplina aplicada a un tipo concreto de exceso — el salto de "el cuadrimomento es un cuadrivector" a "por lo tanto se pueden diseñar cuadrimomentos a voluntad". La posición publicada de Carroll sobre el salto análogo en propulsión sin propelente está en el registro, en su entrada de 2015 en Preposterous Universe, "Warp Drives and Scientific Reasoning". Lo que sigue es el grupo de frases textual de esa entrada, reproducido palabra por palabra de la fuente publicada. Si quieres ir hacia delante, tienes que empujar algo o propulsar algo hacia atrás. … Lo que quiero de esta discusión son científicos muy respetados, trabajando en condiciones exquisitamente controladas, produciendo publicaciones arbitradas. Lee eso dos veces, despacio. Si quieres ir hacia delante, tienes que empujar algo o propulsar algo hacia atrás. Esa frase es la tercera ley de Newton en un suspiro. Todo movimiento del centro de masas de un cuerpo exige que el centro de masas de otra cosa se mueva en sentido contrario. Conservación del momento. La versión invariante Lorentz de esa ley de conservación es exactamente que el cuadrimomento de un sistema cerrado se conserva como cuadrivector — el p^mu total que entra es igual al p^mu total que sale. Lo que Carroll rebate, en el contexto del motor de curvatura y la propulsión sin propelente — y lo que se traslada a toda afirmación del Bloque D que esta serie va a abordar — es el salto de "la matemática admite cuadrivectores que hacen cosas interesantes" a "por lo tanto podemos diseñar cuadrivectores que hagan cosas interesantes, sin pagar el costo de la conservación del momento". La contabilidad de cuadrivectores es un lenguaje. No te da licencia para escribir el cuadrivector que quieras y suponer que el universo lo va a proveer. El lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein — el lado T_{munu} — tiene que venir de algún sitio. Si quieres una geometría concreta, necesitas una distribución concreta de energía y momento. Y si quieres que el momento vaya hacia delante de un lado sin que nada vaya hacia atrás del otro, le estás pidiendo al universo que viole la mismísima ley de conservación que da sentido al formalismo de los cuadrivectores. Esa es la disciplina. Las matemáticas admiten cuadrivectores con las componentes que puedas escribir en papel. La física exige que esos cuadrivectores vengan de fuentes reales, conservadas de forma consistente, en configuraciones que se haya observado que el universo entrega. El segundo criterio es muchísimo más estricto que el primero. La segunda frase de Carroll — lo que quiero de esta discusión son científicos muy respetados, trabajando en condiciones exquisitamente controladas, produciendo publicaciones arbitradas — es la prueba editorial. Es la prueba con la que esta serie de clases medirá toda afirmación que soporte peso. El andamiaje matemático que hemos construido hoy es impecable: la relatividad especial es la teoría más probada de la historia de la física, y la contabilidad de cuadrivectores es cómo todo físico de partículas en activo escribe un cálculo. Pero "el formalismo es impecable" no te compra "cualquier propuesta de ingeniería es lícita". El formalismo es el lenguaje. Las propuestas lícitas son las que pagan los costos de conservación y de condiciones de energía en la moneda que el universo acepta. Sostén esa línea. La relatividad especial te dice cuál es la geometría del espaciotiempo plano. El tensor de energía-momento te dice qué está alimentando la geometría. La tercera ley de Newton, en su forma invariante Lorentz, te dice que la fuente tiene que venir de algún sitio. Nada de esto queda derrocado por la clase siguiente, cuando dejemos que la métrica se curve. La disciplina se mantiene. Lo que esta clase te ha comprado es el lenguaje. Cuatro piezas de lenguaje, cada una de las cuales va a trabajar en una clase posterior concreta. El elemento de línea de Minkowski — ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — y las tres clases de intervalo que admite. Espacial. Temporal. Luminoso. Esa tricotomía va a soportar peso en la Clase 5, cuando conozcamos el agujero de gusano transitable de Morris-Thorne — Michael Morris y Kip Thorne, American Journal of Physics volumen 56, página 395, 1988. La condición de ensanchamiento que Morris y Thorne escribieron para la garganta del agujero de gusano es, en el fondo, una afirmación sobre qué direcciones a través de la garganta son espaciales y cuáles temporales, y qué tensión-energía necesitas en la garganta para que las direcciones espaciales no colapsen la geometría. No puedes leer esa condición sin el vocabulario que acabas de aprender. La cuadrivelocidad y el cuadrimomento — u^mu y p^mu = (E/c, px, py, p_z). Esa contabilidad volverá en la Clase 7, cuando conozcamos el vacío cuántico y el desarrollo en modos de un campo cuántico. Cada modo de ese desarrollo lleva un cuadrimomento. El vacío es el estado en el que cada modo está en su configuración de menor energía, y la energía de punto cero de cada modo contribuye al T^{00} total del vacío. El efecto Casimir, que veremos en la Clase 8, es lo que pasa cuando remodelas los contornos que seleccionan qué modos están permitidos — y el T^{ii} entre dos placas paralelas es negativo. El tensor de energía-momento que acabamos de definir es el objeto que lo dice. El propio tensor de energía-momento T{munu}. Ese tensor es el puente de esta clase a la Clase 3, cuando aparecen las ecuaciones de campo de Einstein y el lado izquierdo, G{munu}, se construye a partir de la curvatura de g{munu}. T{munu} es también el objeto central de la Clase 6, sobre condiciones de energía — las condiciones de energía débil, nula, fuerte y dominante son restricciones sobre T{munu}, afirmaciones sobre qué distribuciones de energía y momento está dispuesto a entregar el universo. Y T{munu} es el objeto central de la Clase 10, sobre la serie de patentes de Pais — la afirmación de ingeniería de esas patentes, leída como física, es que cierto tipo de condición de contorno electromagnética puede llevar a T_{munu} a un régimen que alimenta cierto tipo de geometría. Las patentes y el artículo asociado en IEEE Transactions on Plasma Science existen en el registro público. Si el mecanismo propuesto hace lo que las patentes afirman es la pregunta que abordará la Clase 10, con la disciplina que Carroll acaba de articular. La invariancia de Lorentz — la afirmación de que la métrica de Minkowski es la misma en todo marco inercial. Esa es la simetría local de cada trozo de cada espaciotiempo de esta serie. En relatividad general la métrica varía de punto a punto, pero en un entorno suficientemente pequeño de cualquier punto se parece a Minkowski. El principio de equivalencia es la formulación formal de ese hecho. La Clase 3 es donde se gana el sueldo. La tercera ley de Newton, en su forma invariante Lorentz — conservación del cuadrimomento para un sistema cerrado. Esa es la ley de conservación de la que no escapas volviéndote relativista. La frase de Carroll sobre empujar algo atraviesa todas las clases siguientes de esta serie. Cada vez que veas una afirmación de propulsión o de manipulación de la geometría, la pregunta es: ¿adónde va el cuadrimomento? ¿Contra qué cuadrivector se empuja para producir el cuadrivector que se empuja hacia delante? Si la afirmación no responde a esa pregunta, la afirmación aún no se ha ganado el formalismo que invoca. Cuatro piezas. La métrica. La contabilidad. El tensor que alimenta la métrica. La ley de conservación que disciplina al tensor. La clase siguiente entrega esas cuatro piezas a la relatividad general y deja que la métrica se curve. Vuelve al andén. El mismo oyente. Las mismas dos figuras. Una quieta, la otra habiendo pasado en el tren. El cronómetro del observador del andén marcó un número para el destello. El del observador del tren marcó otro. Los dos tienen razón. La pregunta que ya puedes hacer es más afilada que la que tenías al empezar. Puedes preguntar en qué coinciden sus mediciones. La respuesta es el intervalo espaciotemporal al cuadrado ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 entre el suceso del destello y el siguiente suceso que elijan. Puedes preguntar qué mide cada uno, en términos de la geometría subyacente. La respuesta es la proyección de una realidad de cuatro dimensiones sobre un rebanado particular — el suyo. Puedes preguntar qué clase de separación hay entre dos sucesos cualesquiera que les importen. Espacial, temporal o luminosa. Puedes preguntar qué ley de conservación del momento sigue respetando su desacuerdo. La versión invariante Lorentz de la tercera ley de Newton. Nada de esto estaba en su desacuerdo cuando empezó la clase. Todo está ahora en el lenguaje. La Clase 3 retoma donde esta se detiene. Relatividad general. Símbolos de Christoffel, geodésicas, el tensor de Riemann, las ecuaciones de campo de Einstein. La métrica deja de ser plana. La geometría empieza a responder a lo que hay en ella. El mismo oyente. El mismo andén. Geometría nueva.